广东省汕尾市2023-2024学年高一上学期期末教学质量测试数学试卷(含答案)

这是一份广东省汕尾市2023-2024学年高一上学期期末教学质量测试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知命题,,则( )
A.,B.,
C.,D.,
2．设集合,,则图中阴影部分表示的集合为( )
A.B.C.D.
3．下列幂函数中,在定义域内是偶函数且在上是减函数的是( )
A.B.C.D.
4．若函数（,）的图象经过定点P,且点P在角的终边上,则的值等于( )
A.2B.C.-2D.
5．设,,,则( )
A.B.C.D.
6．某市家庭用水的使用量和水费（元）满足关系.已知某家庭2023年前四个月的水费如下表：
若五月份该家庭使用了的水,则五月份的水费为( )
A.32元B.33元C.34元D.35元
7．已知a,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8．若函数,恰有3个零点,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知,且,则下列不等式恒成立的有( )
A.B.C.D.
10．已知函数,则函数( )
A.是奇函数B.是偶函数C.在定义域上递增D.在定义域上递减
11．已知a,b为正数,且,则( )
A.B.C.D.
12．对于区间D上的函数,若满足,且,都有,则称函数为区间D上的“非减函数”.已知为区间上的“非减函数”,都有,且当时,,则下列命题中正确的有( )
A.B.当时,
C.,D.,
三、填空题
13．若,且为第二象限角,则______________.
14．若对,恒成立,则实数a的取值范围是____________.
15．《九章算术》是中国古代的数学名著,其中《方田》一章涉及了弧田面积的计算问题.如图所示,弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分,若弧田所在圆的半径为6,圆心角为,则此弧田的面积为_____________.
16．小明在研究函数时,发现具有其中一个性质：如果常数,那么函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.请你根据以上信息和所学知识解决问题：若函数的定义域为,值域为,则实数a的值是___________.
四、解答题
17．已知.
（1）求的值;
（2）求的值.
18．已知集合,,全集条件：①;②.
（1）当时,求和;
（2）若集合A,B满足条件________,求实数a的取值范围.
19．已知函数.
（1）若关于x的不等式的解集为,求a,b的值;
（2）若,解关于x的不等式.
20．已知函数.
（1）求函数的定义域;
（2）若恒成立,求实数h的取值范围.
21．物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型,如果物体的初始温度为,空气温度为,则x分钟后物体的温度满足（k为常数）.实验测算,当时满足.
（1）求k的值;
（2）茶艺文化是中国传统文化的重要组成部分,涵盖茶的制作、泡法、茶器、茶道等方面.经验表明,茶水的口感与茶叶品种和水温有关,某种茶叶泡制的茶水,刚彻出来时茶水温度为75℃,等茶水温度降至55℃时饮用口感最佳.已知空气温度为25℃,则刚沕出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果保留一位小数,参考数值：,,）
22．平原上两根电线杆间的电线有相似的曲线形态,这些曲线在数学上称为悬链线.悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中,这类曲线的函数表达式可以为,其中a、b为非零实数
（1）利用单调性定义证明：当时,在上单调递增;
（2）若为奇函数,函数,,探究是否存在实数a,使的最小值为-1？若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：由命题“,”,
则,.
故选：D.
2．答案：B
解析：由图可知,阴影部分表示的集合为 ,所以.
故选：B.
3．答案：A
解析：对于A中, 函数,可得其定义域为,关于原点对称,且满足,所以函数 为定义域上的偶函数,再由幂函数的性质,可得函数 在为减函数,所以A正确;
对于B中, 函数,可得函数 为定义域上的奇函数, 所以B不正确;
对于C中,函数 在 为单调增函数,所以C错误;
对于D中,函数的定义域,其中定义域不关于原点对称,所以为非奇非偶函数,所以D不正确.
故选：A.
4．答案：C
解析：因为函数的图象经过定点,
所以函数的图象经过定点 ,
因为点在角的终边上,所以.
故选：A.
5．答案：C
解析：
6．答案：A
解析：根据一月份用水量 ,水费4元,
根据二月份用水量,水费4元,
可知,
,
解得,
所以,
所以令.
故选：A.
7．答案：B
解析：
8．答案：D
解析：由,得,
作出函数的图象,如图所示:
令,则,
由图可知,当时,直线与函数的图象有3个交点,
从而函数有3个零点,
但 对恒成立,即 对恒成立,
又,则,
所以.
故选：D.
9．答案：BC
解析：由已知可得,而b的符号不确定,所以C正确, D错误,
则,所以 ,故A错误;因为,所以,故B正确;
故选：BC.
10．答案：AD
解析：
11．答案：AC
解析：因为,则,解得:,故A正确;
由,即 ,
当且仅当时取等,故B错误;
,
当且仅当,即时取等,故C正确;
由代入可得:
,
设,,
,,所以,故D错误.
故选：AC.
12．答案：ABD
解析：
13．答案：
解析：,且是第二象限角,
,
故答案为：.
14．答案：
解析：由题设,要使 恒成立,
函数开口向上,
只需即可,解得.
故答案为:.
15．答案：
解析：扇形半径,圆心角,
扇形面积为,
C为AB中点,则,由,
有,得,,
,
所以此弧田的面积为.
故答案为：.
16．答案：或
解析：当时,即,在上递增,
故当时,
,解得:,满足题设;
当,即
若,即时,函数在上递减,在上递增,
故,可得或(舍去);
若,即时,函数在上递增,
,解得:,不满足题设.
故答案为：或.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）原式,
所以.
（2）由（1）知,
所以
.
18．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）当时,,,
所以,
或.
（2）若选择条件①,
因为,
所以.
若,满足,则,解得;
若,由,得,
解得.
综上,a的取值范围是或.
若选择条件②,
因为,
所以.
下同选择条件①.
19．答案：（1）,
（2）见解析
解析：（1）将代入,可得,
所以不等式即为不等式,可转化为,
所以原不等式的解集为,
所以.
综上,.
（2）不等式可化为,即.
因为,
所以当,即时,原不等式的解集为或;
当,即时,;
当,即,原不等式的解集为或.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,,
即,
所以.
所以函数的定义域为.
（2）
,
因为（当且仅当时等号成立）,
所以,
所以.
因为恒成立,
所以,
所以实数k的取值范围是.
21．答案：（1）
（2）8.6
解析：（1）由题意可知,
①÷②,得,即,
所以.
（2）设刚沏出来的茶水大约需要放置t分钟才能达到最佳饮用口感,
由题意可知,,,,
所以,
即,
所以
,
所以刚沏出来的茶水大约需要放置8.6分钟才能达到最佳饮用口感.
22．答案：（1）见解析
（2）当时,的最小值为-1
解析：（1）证明：当时,,
设,且,
则
.
因为,
所以,,
所以,,
所以,
即,
所以在上单调递增.
（2）因为为奇函数,
所以,
即,
所以,
所以,
所以.
令,,
则可化为,.
假设存在实数a,使即的最小值为-1,
当,即时,,不符合要求;
当,即时,,此时;
当,即时,,此时,矛盾.
综上,当时,的最小值为-1.
月份
用水量（）
水费（元）
一月
3.5
4
二月
4
4
三月
15
18
四月
20
25