广西柳州高级中学2024届高三上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份广西柳州高级中学2024届高三上学期10月月考数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若(i为虚数单位),则复数z的共轭复数的模是( )
A.B.20C.D.8
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．在底面半径为1的圆锥中,若该圆锥侧面展开图的面积是,则该圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
4．已知角的终边经过点,则的值为( )
A.B.C.D.
5．已知函数,则曲线过点的切线条数为( )
A.3B.2C.1D.0
6．函数的单调减区间是( )
A.B.
C.D.
7．设O为坐标原点,直线与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,若C的焦距为12,则当的面积最大值为( )
A.72B.36C.18D.9
8．如图,有质地均匀的正四面体,正六面体和正八面体骰子各一个.首先抛掷正六面体骰子,向上的点数记为a.若a为奇数,则再抛掷正四面体骰子;若a为偶数,则再抛掷正八面体骰子,记第二次向下的点数为b.设事件;事件;事件;事件;事件,则下列说法错误的是( )
A.C与E为互斥事件B.A与B相互独立
C.D与E为互斥事件D.A与D相互独立
二、多项选择题
9．下列说法中正确的是( )
A.三点确定一个平面
B.三角形一定是平面图形
C.梯形一定是平面图形
D.不重合的平面和平面有不同在一条直线上的三个交点
10．已知奇函数的定义域为R,且在上单调递减,若,则下列命题中正确的是( )
A.有两个零点B.C.D.
11．如图,已知点,,,,是以OD为直径的圆上的一段圆弧,是以BC为直径的圆上的一段圆弧,是以OA为直径的圆上的一段圆弧,三段圆弧构成曲线,则( )
A.曲线与轴围成的面积等于
B.与的公切线的方程为
C.所在圆与所在圆的相交弦所在直线的方程为
D.所在圆截直线所得弦的弦长为
12．如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点E,F,且,则下列结论中正确的是( )
A.平面ABCD
B.直线与平面ABCD所成的角等于
C.的面积与的面积相等
D.三棱锥的体积为定值
三、填空题
13．已知变量x和y的统计数据如右表:若由表中数据得到经验回归直线方程为,则时的残差为________(注:观测值减去预测值称为残差).
14．已知菱形ABCD的边长为a,,则________.
15．有6名男运动员,4名女运动员,其中男,女队长各1名,选派4人外出比赛,既要有队长,又要有女运动员,选派方法有________种
16．已知椭圆的左,右焦点分别为,,点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,且四边形的面积为,则C的离心率为________.
四、解答题
17．已知等比数列的前n项和为,且.
（1）求;
（2）定义为取整数x的个位数,如,,,求的值.
18．如图某公园有一块直角三角形ABC的空地,其中,,AC长a千米,现要在空地上围出一块正三角形区域DEF建文化景观区,其中D,E,F分别在BC,AC,AB上.设.
（1）若,求的边长;
（2）求的边长最小值.
19．如图,在以P,A,B,C,D为顶点的五面体中,四边形ABCD为等腰梯形,,,平面平面PAB,.
（1）求证:;
（2）若,求二面角的余弦值.
20．渔船海上外出作业受天气限制,尤其浪高对渔船安全影响最大,二月份是某海域风浪最平静的月份,浪高一般不超过3m.某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中,随机抽取50天数据作为样本,制成频率分布直方图:(如图)
根据海浪高度将海浪划分为如下等级:
海事管理部门规定:海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业.
（1）某渔船出海作业除受浪高限制外,还受其他因素影响,根据以往经验可知:“微浪”情况下出海作业的概率为0.9,“小浪”情况下出海作业的概率为0.8,“中浪”情况下出海作业的概率为0.6,请根据上面频率分布直方图,估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率,并求该渔船在这天出海作业的概率;
（2）气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”,根据以往经验可知:若某天是“大浪”,则第二天是“大浪”的概率为,“中浪”的概率为;若某天是“中浪”,则第二天是“大浪”的概率为,“中浪”的概率为.现已知某天为“中浪”,记该天的后三天出现“大浪”的天数为X,求X的分布列和数学期望.
21．已知函数.
（1）当时,讨论函数的单调性;
（2）当,时,对任意,有成立,求实数b的取值范围.
22．已知椭圆的焦距为4,左右顶点分别为,,椭圆上异于,的任意一点P,都满足直线,的斜率之积为.
（1）若椭圆上存在两点,关于直线对称,求实数m的取值范围;
（2）过右焦点的直线交椭圆于M,N两点,过原点O作直线MN的垂线并延长交椭圆于点Q.那么,是否存在实数k,使得为定值?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析:,,则,因此,.
故选:C.
2．答案：C
解析:由集合,,
根据集合交集的概念及运算,可得.
故选:C.
3．答案：B
解析:如图底面半径为的圆锥中,侧面积为,
所以,由勾股定理得,
所以该圆锥的体积.
故选:B.
4．答案：C
解析:由题意可得,,
,
则
故选C
5．答案：B
解析:设切点坐标,
由,得,
切线斜率,
所以过的切线方程为,
即,
切线过点,
故,
令,
则,
由,解得或,
当时,,
当时,,
所以的极大值极小值分别为,,
故其图像与x轴交点2个,
也就是切线条数为2.
故选:B
6．答案：B
解析:,其单调递减区间是:,,
即,.
故选:B.
7．答案：C
解析:联立可得,所以,,因为,则,即,
,当且仅当时,等号成立,
因此,的面积最大值为.
故选:C.
8．答案：D
解析:样本空间为:,,,,,,,,
,,,;
,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,.
事件A包含的基本事件为:,
,,,,,,,.
事件B包含的基本事件为:,,,,,.
事件C包含的基本事件为:,,,,,.
事件D包含的基本事件为:,,,,.
事件E包含的基本事件为:,,,.
与为互斥事件,A选项正确.
B选项,,,
事件AB包含的基本事件为:,,
所以,
所以A与B相互独立,B选项正确.
D与E为互斥事件,C选项正确.
D选项,,
事件AD包含的基本事件为:,
所以,
所以A与D不是相互独立事件,D选项错误.
故选:D
9．答案：BC
解析:对于A,不共线的三点确定一个平面,错误;
对于B,三角形的三个顶点不在一条线,可确定唯一一个平面,故三角形一定是平面图形,正确;
对于C,梯形中有两条线平行,可确定唯一一个平面,故梯形一定是平面图形,正确;
对于D,若不重合的两个平面相交,则它们一定有一条交线,所有的两个平面的公共点都在这条交线上,错误.
故选:BC.
10．答案：BD
解析:根据题意可得函数在上为减函数,上为减函数.,由可得.
对于A,由在上为减函数,且,,所以存在,,所以在上有一个零点,同理在上有一个零点,
又因为,所以有三个零点,故A错误;
对于B,因为函数在上为减函数.所以,故B正确;
对于C,因为函数在上为减函数,所以,故C错误;
对于D,,,所以,故D正确.
故选:BD.
11．答案：BC
解析:对于A,,,所在圆的方程分别为,,,曲线与x轴围成的图形为一个半圆,一个矩形和两个圆,
其面积为,故A错误;
对于B,设与的公切线方程为（,）,则,
所以,,所以与的公切线的方程为,
即,故B正确;
对于C,由及两式相减得,
即公共弦所在直线方程,故C正确;
对于D,所在圆的方程为,圆心为,
圆心到直线的距离为,
则所求弦长为,故D错误.
故选:BC.
12．答案：ABD
解析:由,而平面ABCD,平面ABCD,故平面ABCD,
可知平面ABCD,故A正确;
由正方体特点可得底面ABCD,故就是直线与平面ABCD所成的角,显然,故B也正确;
B到的距离为,A到的距离大于上下底面中心的连线,则A到的距离大于1,
所以的面积大于的面积,故C错误;
连接BD交AC于O,如图所示:
则,因为平面ABCD,平面ABCD,所以,
又,平面,平面,所以平面,
所以AO为三棱锥的高,又,,
所以三棱锥的体积为为定值,D正确.
故选:ABD.
13．答案：
解析:由表可知,,
则,解得,
所以
当时,,
所以时的残差为.
故答案为:
14．答案：
解析:连接AC,与BD相交于点E,
因为四边形ABCD为菱形,,边长为a,
所以,,,
故,
,所以.
故答案为:
15．答案：130
解析:①只有男队长,没有女队长:
种,
②只有女队长,没有男队长:
种,
③男,女队长都有,
种,
所以共有种.
故答案为:130.
16．答案：
解析:因为点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,
所以四边形为矩形,即,
所以,
由椭圆定义与勾股定理知:,
所以,所以,所以,
即C的离心率为.
故答案为:
17．答案：（1）,;
（2）495.
解析:（1）
是等比数列
,
（2）,,,,,,,
易知,从第二项起,是周期为4的数列
18．答案：（1）;
（2）
解析:（1）设的边长为x千米,由得,,
中,,,
为等边三角形,,
故,即的边长为.
（2）设的边长为x千米,所以,,
中,,,,
由正弦定理得,,故,
其中,当时,x取得最小值,
即的边长最小值为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析:（1）在等腰梯形ABCD中,作于H,连BD,如图,
则,,且,
则,
即,而,因此,,即,
因平面平面PAB,平面平面,平面PAB,而,
所以平面PAD,又平面PAD,于是有,,PB,平面PBD,
则有平面PBD,平面PBD,因此,.
（2）在平面PAD内过点P作,因平面平面PAB,平面平面,则平面PAB,
因此,易知PB,PA,Pz两两垂直,以点P为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
,,则,,,,,
,有,从而得,,
设平面PBC的一个法向量,则,
令,得,
设平面PCD的一个法向量,则,
令,得,
则有,
由图知,二面角为钝角,所以二面角的余弦值为.
20．答案：（1）“微浪”概率0.2,“小浪”概率0.3,“中浪”概率0.3,“大浪”概率0.2;0.6
（2）分布列见解析,
解析:（1）记这天浪级是“微浪”为事件,浪级是“小浪”为事件,浪级是“中浪”为事件,浪级是“大浪”为事件.该渔船当天出海作业为事件B,则由题意可知:,
,.
.
（2）依题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3,
,
,
,
则X的分布列为
数学期望.
21．答案：（1）当,时,函数在上单调递增;当,时,函数在上单调递减,在上单调递增.
（2）
解析:（1）函数的定义域为.
当时,,所以.
当时,,所以函数在上单调递增.
当时,令,解得,
当时,,所以函数在上单调递减;
当时,,所以函数在上单调递增.
综上所述,当,时,函数在上单调递增;
当,时,函数在上单调递减,在上单调递增.
（2）因为对任意,有成立,所以.
当即时,,.
令,得;令,得.
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
为与中的较大者.
设,
则,
所以在上单调递增,故所以,
从而.
所以即.
设,则.
所以在上单调递增.
又,所以的解为.
因为,所以b的取值范围为.
22．答案：（1）
（2）存在,
解析:（1）由题意得:,,,,
①
点P在C上,代入①式,,,
,,,椭圆C方程,
设,,,
设联立得,
,
,.
,中点在l上,,
.
（2）设联立得,
,,
,
联立得,
则,
,为定值,设为,
,
,,
存在,使得为定值.
x
6
7
8
9
10
y
3.5
4
5
6
6.5
浪高(cm)
海浪等级
微浪
小浪
中浪
大浪
X
0
1
2
3
P