四川省仁寿第一中学南校区2023届高三上学期周考（四）数学（理）试卷(含答案)

这是一份四川省仁寿第一中学南校区2023届高三上学期周考（四）数学（理）试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数的共轭复数为( )
A.B.C.D.
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．给出下列说法:
①命题“若,则”的逆否命题是真命题;
②“若函数的导函数存在,且是的极值点,则”是真命题;
③命题“若,则”的否命题是“若,则”;
④若,,则,.
其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
4．函数的图像大致为( )
A.B.C,D.
5．命题p:“,”为假命题,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．已知函数,函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度,再将所得函数图象保持纵坐标不变,横坐标变为原来的得到,若是函数图象的一条对称轴,则的最小值为( )
A.3B.6C.9D.15
7．设;.若p是q的必要不充分条件,则m的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知直线过函数(,且)图像的定点T,则的最小值为( )
A.4B.6C.D.
9．已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则( )
A.7B.C.D.
10．已知函数是R上的单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
11．定义在R上的函数满足,,当时,,则方程在上解的个数为( )
A.3B.4C.5D.6
12．已知函数,若,且,则的最大值是( )
A.4B.3C.2D.1
二、填空题
13．若,则的值为________
14．若不等式对任意恒成立,则实数m的最小值是______.
15．已知某种食品保鲜时间与储存温度有关,满足函数关系(y为保鲜时间,x为储存温度),若该食品在冰箱中的保鲜时间是144小时,在常温的保鲜时间是48小时,则该食品在高温的保鲜时间是_______小时
16．已知,若方程有6个不同的实数根,则a的取值范围是________
三、解答题
17．已知函数的定义域为集合A,关于x的不等式的解集为B.
（1）当时,求;
（2）若是的充分条件,求实数a的取值范围.
18．社会生活日新月异,看纸质书的人越来越少,更多的年轻人(35岁以下)喜欢阅读电子书籍,他们认为电子书不仅携带方便,而且可以随时随地阅读,而年长者(35岁以上)更喜欢阅读纸质书.现在某书店随机抽取40名顾客进行调查,得到了如下列联表:
（1）请将上面的列联表补充完整,并判断是否有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关;
（2）若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人,为进一步了解情况,再从抽取的7人中随机抽取4人,求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望.
附:,其中.
19．如图所示,在矩形ABCD中,,,E是CD的中点,
O为AE的中点,以AE为折痕将向上折起,使D点折到P点,且.
（1）求证:面ABCE;
（2）求AC与面PAB所成角的正弦值
20．已知向量,,记.
（1）若,且,求sinx的值;
（2）在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且,求角B及的取值范围.
21．已知函数,,.
（1）讨论的单调性;
（2）设有两个极值点,,证明:.(…为自然对数的底数)
22．在平面直角坐标系xy中,已知直线l的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点F的极坐标为,且F在直线l上.
（1）求曲线C内接矩形周长的最大值.
（2）若直线l与曲线C交于A,B两点,求的值;
23．已知函数,.
（1）若,求x的取值范围;
（2）若的最小值为m,且正实数a,b,c,满足,
证明:
参考答案
1．答案：D
解析：
故共轭复数为.
故选:D.
2．答案：C
解析：
3．答案：B
解析：
4．答案：A
解析：
5．答案：A
解析：命题,是假命题,
即,是真命题,
①当时,恒成立,
②当时,则,解得,
综上,实数a的取值范围为.
故选:A.
6．答案：B
解析：函数的图象向右平移个单位,得到的图象,再将所得函数图象保持纵坐标不变,横坐标变为原来的得到的图象,
由于是函数图象的一条对称轴,所以,即;
整理得,
当时,的最小值为6.
故选:B.
7．答案：D
解析：
8．答案：C
解析：函数(且)过定点,
所以,将代入直线,得,即,
因为,,
所以,
当且仅当,即,时,“=”成立.
故选:C.
9．答案：C
解析：
10．答案：D
解析：
11．答案：B
解析：方程在上解的个数,即方程在上解的个数,令,
所以问题转化为函数的图图像与函数的图像在上交点的个数,
因为,
所以函数的图像关于直线对称,
因为,
所以函数是以2为周期的函数,
当时,,
作出函数在上的图像,
因为函数的图像关于直线对称,
所以可得在上图像,即得函数在上的图像,
这样就得到一个周期的图像,
由周期性可得在上的图像,,,
所以在上,单调递增,
在上,单调递减,
所以,
当时,,且,
作出函数的大致图像,
由图像可知,函数的图像与函数的图像在上有4个不同的交点,
所以方程在上有4个不同的解,
故选:B.
12．答案：A
解析：作出函数的图象如图所示:
设,
,则,
由,得,所以,
设,,则,在上单调递减,
故.
故选:A.
13．答案：3
解析：因为,
所以解得.
14．答案：
解析：因为不等式对任意恒成立,
所以对任意恒成立,
因为,所以,
,
当且仅当,即时等号成立.
即的最大值是,
所以m的取值范围是,
故m的最小值为,
故答案为:.
15．答案：16
解析：由题意,,即,于是当时,
.
16．答案：
解析：
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）要使函数有意义,则,解得,
所以,所以,
当时,,
所以.
（2）由（1）得,
因为是的充分条件,则,
①当时,,则,所以;
②当时,,则,所以;
综上所述,实数a的取值范围是.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）根据题意,可得如下的的列联表:
则
所以没有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关.
（2）按照分层抽样的方法在年轻人中抽取7名,
则抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为4名,喜欢阅读纸质书的年轻人数为3名,
所以随机变量的所有可能取值为1,2,3,4,
可得;;
;,
所以X的分布列为
则期望为.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:由题意,可得,,则,
取BC的中点F,连OF,PF,可得,所以,
因为,,且,所以平面,
又因为平面POF,所以.
又由BC与AE为相交直线,所以平面ABCE.
（2）作交AB于G,则
如图建立空间直角坐标系,
则,,,,,,,
设平面PAB的法向量为,则,所以可取,
所以AC与面PAB所成角的正弦值
20．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）,则,
因为,所以,则,
;
（2）由可得,
因为,所以,又因为,所以;
,,因为,
所以,,
所以.
21．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）,,
①当时,,在单调递增;
②当时,令解得,时,,单调递增;
时,,单调递减.
综上,当时,在单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减,
（2）由题意知,,,是的两根,
即,,解得(*),
要证,即证,即,
把(*)式代入得,
所以应证,
令,,即证成立,
而,
所以在上单调递增,
所以,
所以命题得证.
22．答案：（1）16
（2）见解析
解析：（1）因为曲线C的极坐标方程为,
转化为直角坐标方程为,即.
设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为,
由对称性可得椭圆C的内接矩形的周长为,
所以当,即时,椭圆C的内接矩形的周长取得最大值16;
（2）因为点F的极坐标为,转化为直角坐标为,
由题意得,
直线的参数方程(t为参数)等价于(为参数),
代入曲线C的直角坐标方程中,
得,则,所以:.
23．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由知,
,所以或,
x的取值范围为;
（2）因为,
的最小值为m,所以,
所以,
由柯西不等式,
当即时,不等式取等号.
年长者
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3.841
6.635
7.879
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电子书
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20
纸质书
8
12
20
总计
12
28
40
X
1
2
3
4
P