陕西省西安市碑林区第二十六中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份陕西省西安市碑林区第二十六中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列各式中，是的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项的系数是3，则一次项的系数是（ ）
A．B．2C．D．4
3．如图，该几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边的中点处，已知，则点到点的距离是（ ）
A．B．C． D．
5．如图，在菱形中，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，某展览大厅有2个入口和2个出口，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口离开的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．陕西某中学的大门口有一排大理石球，小明想测量该球的半径，于是找了两块厚的砖塞在球的两侧（如图所示），他量出两砖之间的距离刚好是，则大理石球的半径是（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
8．如图，点A，，，的坐标分别是，，，，以,,为顶点的三角形与相似，则点的坐标不可能是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．在中，，，，那么 ．
10．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ．
11．若二次函数的图象与轴交于,两点，则点的坐标是 .
12．如图，菱形的对角线，相交于点，若,，则的长为 .
13．已知二次函数，若当时，的最大值是4，则的值为 ．
三、解答题
14．解方程：．
15．计算：．
16．已知反比例函数与一次函数（是常数），它们的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标是，求的值.
17．如图，在中，为边上任意一点，利用尺规作图法，在边上找一点，使得.（不写作法，保留作图痕迹）
18．如图，是的直径，点，在上，若，求的度数．
19．为了让学生养成热爱读书的习惯，陕西某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知2021年该学校用于购买图书的费用为3000元，2023年用于购买图书的费用是3630元，求该校用于买书的资金的年平均增长率.
20．如图，有4张大小、形状和背面完全相同的扑克牌，小康和小新玩扑克游戏．（扑克牌当作数字1）
(1)小康将这4张扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上，小新从中随机抽出一张牌，牌面数字是奇数的概率是 ．
(2)小新将这4张扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上，让小康随机抽取一张（不放回）记下牌面上的数字，接着小新从中抽取一张，再记下牌面上的数字，求他们抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是偶数的概率．
21．在平面直角坐标系中，抛物线与交于点．如图，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点,（点在点左侧），求线段的长．
22．如图，在一个坡角为的斜坡上有一棵树.当太阳光与水平线成角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段,米.
(1)求树根到地面的距离.
(2)求树的高度.（结果保留一位小数，参考数据：，，，）
23．某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品.如图，这是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里的温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
(1)求的值.
(2)求恒温系统在这一天内保持大棚内温度不低于的时间有多长.
24．如图，这是一张以点为圆心，为直径的圆形纸片，点在上，将该圆形纸片沿直线对折，使点落在上的点处，连接，，，与直径交于点，连接，，且．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，求扇形的面积．
25．如图，一小球（看作一个点）从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线可以用抛物线刻画，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用直线刻画，若小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题：
(1)求和的值．
(2)若小球落点为，求点的坐标．
(3)在斜坡上的点处有一棵树（树高看成线段且垂直于轴），点的横坐标为6，树高为2，小球能否飞过这棵树？请通过计算说明理由．
26．问题提出
（1）如图1，是矩形的边上的一点，于点，求证：.
问题探究
（2）如图2，将矩形折叠，使顶点落在边上的点处.已知折痕与边交于点，求证：.
问题解决
（3）如图3，菱形是一座避暑山庄的平面示意图，其中，米，现计划在山庄内修建一个三角形花园，点,分别在线段,上，根据设计要求，需满足，且，问能否建造出符合要求的三角形花园？若能，请找出点，的位置（即求出与的长）；若不能，请说明理由.
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的关键．根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A． ，是反比例函数，故该选项符合题意；
B． ，是正比例函数，故该选项不符合题意；
C． ，是正比例函数，故该选项不符合题意；
D． ，不是的反比例函数，故该选项不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；根据题意化为一般形式，进而即可求解．
【详解】解：
即
∴一次项系数是
故选：C．
3．B
【分析】根据左视图是从物体左面看所得到的图形即可解答．本题考查了简单几何体的左视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形．
【详解】解：根据左视图的概念可知，从物体的左面看得到的视图是：
．
故选：B．
4．D
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得；本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，准确理解是解题的关键．
【详解】解：由题可得是直角三角形，是斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：，
∵，
∴，
∴点到点的距离是，
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，邻补角的性质，由菱形的性质得到，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质得到，即可求出，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
6．C
【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．先画树状图，得到所有的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图得：

所有等可能的情况有4种，其中从入口1进入并从出口B离开的情况有1种，则．
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用垂径定理、勾股定理来分析、判断、解答．如图，作辅助线；首先根据题意求出线段、的长度；设圆的半径为r，运用勾股定理列出关于r的方程，求出r，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接交于点D；
则，
设的半径为r，则，
在直角中，，
由勾股定理得：
解得：．
故选：C．
8．A
【分析】根据题意可得为等腰直角三角形，则为等腰直角三角形，再进行分类讨论：和．本题主要考查了相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
【详解】解：∵点A，B，C的坐标分别是，，，
∴，即为等腰直角三角形，
∵以C，D，E为顶点的三角形与相似，
∴为等腰直角三角形，
当时，如图：，
当时，过点E作于点F，如图：
∵，，
∴点F为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上：点E的坐标可能是：，
∴点的坐标不可能是，
故选：A．
9．
【分析】锐角A的邻边b与斜边c的比叫做的余弦，根据余弦的定义计算即可．
【详解】解：如图，，，，
，
故答案为．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做的余弦是解题的关键．
10．/13度
【分析】本题考查的是切线长定理的应用，切线的性质，掌握切线长定理的含义是解本题的关键；先求解，再结合切线的性质可得答案．
【详解】解：∵，是的切线，，为切点，，
∴，，
∴，
故答案为：
11．
【分析】根据二次函数的性质直接求解即可．本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【详解】解：∵二次函数为，
∴二次函数的对称轴直线为，
∵，关于对称轴直线为对称，
∴
故答案为：
12．5
【分析】利用菱形的面积公式求出，利用菱形的性质得到，，利用勾股定理求出的长即可．本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵,，
∴，
∵菱形的对角线，相交于点，
∴，
∴，
故答案为：5．
13．或-4
【分析】先求出二次函数的对称轴解析式，再分a＞0与a＜0时两种情况，根据二次函数的性质列式解答即可．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线
∵1≤x≤4，
∴当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x=2右侧y随x的增大而增大，
当x=4时y有最大值4，
16a-16a+3a=4，解得：，
当a＜0时，抛物线开口向下，x=2时y有最大值4，
a×22-4a×2+3a=4，
解得a=-4
故答案为：或-4
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的性质，要注意分a＞0与a＜0两种情况讨论求解，有一定的难度．
14．，
【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法．利用配方法求解一元二次方程即可．
【详解】解：，
移项得：
∴
∴
∴或
∴，；
15．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，把特殊角的三角函数值代入计算即可得到结果，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
．
16．4
【分析】设交点坐标为，将交点坐标分别代入到两个解析式中，然后联立即可求出答案．此题考查的是反比例函数和一次函数的交点问题，掌握将交点坐标代入解析式并联立得到方程组是解决此题的关键．
【详解】解：设交点坐标为
∴
解得：
即的值为4．
17．见解析
【分析】本题主要考查相似三角形，以点为圆心，任意长度为半径画弧，交于，交于，以点为圆心，以相同的半径画弧，再以为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于，则，结合可得．
【详解】解：如图，即为所作，
．
18．
【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，先求解，再利用同弧所对的圆周角定理相等可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，，
∴，，
∵，
∴；
19．
【分析】设年该校用于买书资金的年平均增长率为，根据年买书资金年买书资金建立方程，解方程即可得．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
【详解】解：设年该校用于买书资金的年平均增长率为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：该校用于买书的资金的年平均增长率为．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求概率，
（1）根据这4张扑克牌中有2张牌面数字是奇数，利用概率公式进行计算即可；
（2）根据题意，作树状图，然后求解即可．
【详解】（1）解：∵这4张扑克牌中有2张牌面数字是奇数，
∴这4张扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上，小新从中随机抽出一张牌，牌面数字是奇数的概率是，
故答案为：
（2）根据题意，画树状图为：
由树状图可得，共有12种等可能结果，其中两数字之和为偶数的有4种结果，所以
P（数字之和为偶数）．
21．16
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；设抛物线的两对称轴从左往右交于点E、F，则，而的长是两抛物线对称轴间的距离，由此即可求解．
【详解】解：设抛物线的两对称轴从左往右交于点E、F，如图；
∵抛物线与的对称轴分别为直线与直线，
∴这两对称轴间的距离为，即；
由抛物线的对称性知：，
∴．
22．(1)树根到地面的距离为2米
(2)树的高度约为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，关键是理解题意、熟练掌握锐角三角函数．
（1）在中用三角函数解决即可；
（2）先在中，求得的长，再在中，求得的长，最后求得的长度．
【详解】（1）解：由题意，知，
．
，
（米）．
答：树根到地面的距离为2米．
（2）解：在中，，
则（米）．
在中，，
则（米），
则（米）．
答：树的高度约为米．
23．(1)
(2)恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于的时间有13.8小时．
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．
（1）直接将点的坐标代入即可；
（2）观察图象可知：三段函数都有的点，而且段是恒温阶段，，所以计算和两段当时对应的值，相减就是结论．
【详解】（1）把代入中得：
；
（2）如图，
设的解析式为：．
把、代入中得：
，
解得：，
的解析式为：，
当时，，．
，
解得：，
．
答：恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于的时间有13.8小时．
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明，再证明，可得为等边三角形，再进一步可得结论；
（2）由菱形的性质可得，再利用锐角的余弦可得，再利用扇形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵为直径，
∴，
由折叠可得：，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，而，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）∵，四边形是菱形；
∴，而，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，锐角三角函数的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键．
25．(1)，
(2)
(3)小球能飞过这棵树，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
（1）利用最高点的坐标与顶点横坐标的关系即可得到答案；
（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；
（3）把分别代入和，即可得到答案；
【详解】（1）解：∵小球到达的最高点的坐标为，
∴，
∴．
∴；
（2）令
∴，．
当时，．
∴．
（3）当时，．
∴．
当时，．
而，
∴小球可以飞过这棵树．
26．（1）见解析；（2）见解析；（3）能建造出符合要求的三角形花园，此时、的长分别为米、米．
【分析】（1）根据矩形的性质和垂直定义得到，根据余角的性质得到，即可证明；
（2）证明，即可得到；
（3）在上截取，使得，连接，证明是等边三角形，则，，进一步证明，得到，从而进一步可以求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，于点，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）∵矩形折叠，使顶点落在边上的点处，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：能建造出符合要求的三角形花园，
理由如下：在上截取，使得，连接，如图，
在菱形中，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴米，
∵，
∴，
∴米，，
∴，
∴米，
∴米，（米），
综上所述，能建造出符合要求的三角形花园，此时、的长分别为米、米．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质与判定，矩形与折叠，等边三角形的判定与性质，菱形的性质等知识，熟练应用以上知识证明三角形相似是解题的关键．