2023-2024学年浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团九年级上学期12月月考数学试题

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1. 的值等于（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据特殊角的三角函数值作答即可．
【详解】，
故选B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A. 从地面向上抛的硬币会落下B. 射击运动员射击一次，命中10环
C. 太阳从东边升起D. 有一匹马奔跑的速度是70米/秒
【答案】B
【解析】
【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
【详解】解：A、从地面向上抛的硬币会落下，属于必然事件，本选项不合题意；
B、射击运动员射击一次，命中10环，属于随机事件，本选项符合题意；
C、太阳从东边升起，属于必然事件，本选项不合题意；
D、有一匹马奔跑的速度是70米/秒，属于不可能事件，本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
3. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可获得答案．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，理解并掌握二次函数图像的平移规律是解题关键．
4. 已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（ ）
A. 24B. 22C. 12D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】扇形面积公式为，直接代值计算即可．
【详解】，即，解得．
故选：A
【点睛】此题考查扇形的面积公式，，解题关键是在不同已知条件下挑选合适的公式进行求解．
5. 已知二次函数（为实数，且），当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据当时，y随x的增大而减小，可得抛物线开口方向，进而求解．
【详解】解：当时，y随x的增大而减小，
抛物线开口向上，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．
6. 如图，在中，点是上一点，若，则的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在优弧上找一点，连接，根据圆内接四边形对角互补求得，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，优弧上找一点，连接
∵
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
7. 如图，在中，，边，上的中线，相交于点，若，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，由题意可知为的中位线，即可得到，，，利用勾股定理可得，然后根据平行线分线段成比例定理可得，即可获得答案．
【详解】解：连接，如下图，
∵，分别为边，上的中线，，，
即点为的中点，
∴为的中位线，
∴，且，，
∵，
∴，
∵，
∴△DEF∽△CBF，
∴，即，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形中线、中位线、勾股定理以及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
8. 如图，在中，点，分别在，上，，，且，，则的长为（ ）
A. B. 4C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，可得，从而得到，可证明，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解．
【详解】解：A、当时，可能大于，故本选项不符合题意；
B、当时，可能大于，故本选项不符合题意；
C、当时，，故本选项符合题意；
D、当时，不一定等于，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．
10. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形与正方形的面积之比为，则（ ）

A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】设，，首先根据得到，然后表示出正方形的面积为，正方形的面积为，最后利用正方形与正方形的面积之比为求解即可．
【详解】设，，
∵，，
∴，即，
∴，整理得，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的面积为，
∵正方形的面积为，
∵正方形与正方形的面积之比为，
∴，
∴解得．
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理，解直角三角形，赵爽“弦图”等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由比例的基本性质，可得，进而得，代入计算即可．
【详解】解：
将其代入得：
原式
故答案为：
【点睛】本题考查了比例的性质，及分式的化简计算，如何利用比例关系进行代换是解题的关键．
12. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下表数据：
则估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为____________（结果精确到0．01）．
【答案】0.22
【解析】
【分析】观察表格的数据可以得到杯口朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解．
【详解】解∶依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.22左右，
估计任意抛掷一只纸杯， 杯口朝上的概率约为0.22．
故答案为∶ 0.22．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，能用频率估计概率是解决问题的关键．
13. 已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，它的顶点坐标为，则该二次函数的表达式为____________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点坐标为，可得可设这个二次函数的解析式为，再根据图象的形状和与抛物线相同，可得，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴可设这个二次函数的解析式为，
∵二次函数图象的形状与抛物线相同，，
∴，
∴，
∴这个二次函数的解析式为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，牢记形状相同的二次函数二次项系数的绝对值相等是解题的关键．
14. 如图，正内接于，的半径为10，则的弧长为_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】同圆或等圆中，两弦相等，所对的优弧或劣弧也对应相等，据此求解即可．
【详解】∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴的长等于周长的三分之一，
∵的半径为，
∴的周长，
∴的长等于，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆中弧与弦之间的关系，熟练掌握相关概念是解题关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为，点P在矩形的内部，点E在边上，且满足，当△是等腰三角形时，点P的坐标为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】由题意知，，点P在线段上，分两种情况：当时，点P是线段的垂直平分线与的交点，即点P是的中点；当时，利用相似三角形的性质即可求得点P的坐标．
【详解】解：∵，
∴，
∴，点P在线段上．
∵A点的坐标为，
∴，由勾股定理得：；
如图1所示，当时，点P是线段的垂直平分线与的交点，即点P是的中点，
∴点P是的中点，
∴点P的坐标为；
如图2所示，当时，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点P的坐标为；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，矩形的性质等知识，注意分类讨论思想的运用．
16. 四巧板由一块长方形分成的四块不规则图形组成，如图1所示．其中有大小不同的直角梯形两块，等腰直角三角形一块，凹五边形一块，这几个多边形的内角除直角外，其余为或的角．康康用这副四巧板拼成了如图2所示的“”形（）．
（1）设，则______．
（2）若“”形中的线段，那么图1中的长方形的长与宽的比值是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）先利用勾股定理可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得；
（2）图1中的长方形的宽为，则，，再将图1和图2结合起来看可得出，从而可得，然后根据矩形的判定可得四边形是矩形，根据矩形的性质可得，从而可得，则图1中的长方形的长为，由此即可得出答案．
【详解】解：（1），
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：；
（2）设图1中的长方形的宽为，
则，，
如图1，，
，
四边形是平行四边形，
，
在图2中有，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
图1中的长方形的长为，
则图1中的长方形的长与宽的比值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确观察出图1和图2的线段之间的联系是解题关键．
三、解答题（共8小题，第17-19题每题6分，第20、21每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）
17. 一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球．
（1）从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率．
（2）从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，请画出树状图或列表，并求摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率．
【答案】（1）
（2）画出树状图见详解，
【解析】
【分析】（1）根据简单概率计算公式即可获得答案；
（2）根据题意画出相应的树状图，找出所有等可能结果，进而确定摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的结果个数，然后由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球，
所以从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率为；
【小问2详解】
解：根据题意画出相应树状图如下，
由树状图可知，共有9中等可能结果，其中摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的有4种结果，
∴摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率为．
【点睛】本题主要考查了根据概率公式计算概率以及列举法求概率，根据题意画出相应的树状图是解题关键．
18. 如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．
（1）若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．
【答案】（1）不相似；证明过程见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论；
（2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式．
【小问1详解】
解：不相似．理由如下：
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似．
【小问2详解】
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式．
19. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为6，桥洞的跨度为12，如图建立直角坐标系．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）求离对称轴2处，桥洞离水面的高是多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为顶点式，然后根据抛物线过点，代入即可求解；
（2）根据对称轴为，得出对称轴右边2处为，代入即可求解．
【小问1详解】
解：由题意可得，抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
∵抛物线过点，
∴，解得，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为；
【小问2详解】
解：由题意可知该抛物线的对称轴为，则对称轴右边2处为，
将代入，
可得，解得，
答：离对称轴2处，桥洞离水面的高是．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答此题的关键是明确题意并求出抛物线的解析式．
20. 如图，在等腰中，，，的平分线交边上的中线于点．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】根据平分，可得，再由等腰直角三角形的性质可得，即可求证；
（2）根据勾股定理可得，再由相似三角形的性质，即可求解．
【小问1详解】
证明∶∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明是解题的关键．
21. 在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图所示，测得BC∥AD，斜坡AB的长为6m，坡度i=1：，在点B处测得旗杆顶端E的仰角为70°，点B到旗杆底端C的距离为5m．
（1）求斜坡AB的坡角α的度数．
（2）求旗杆顶端离地面的高度ED．（参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，结果精确到1m）
【答案】（1）α=30°
（2）旗杆顶端离地面的高度ED约为17m
【解析】
【分析】（1）解直角△ABF得到tan∠BAF==i==即可得到答案；
（2）先求出BF=AB=3m，证明四边形BCDF是矩形得到CD=BF=3m，解直角三角形求出EC≈14m，即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵BF⊥AD，垂足为点F，
∴∠AFB=90°．
在Rt△ABF中，tan∠BAF==i==，
∴∠BAF=30°，即α=30°．
答：斜坡AB的坡角α的度数为30°．
【小问2详解】
解：在Rt△ABF中，
∵∠BAF=30°，AB=6m，
∴BF=AB=3m，
∵BC∥AD，EF⊥AD，CD⊥AD，
∴BC⊥EF，
∴四边形BCDF是矩形
∴CD=BF=3m，
在Rt△BCE中，∠BCE=90°，
∵∠EBC=70°，BC=5m，
∴EC=BC·tan∠EBC=5·tan70°≈5×2.75≈14m，
∴ED =EC +CD =14+3=17m，
答：旗杆顶端离地面的高度ED约为17m．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，根据特殊角三角函数值求度数等等，熟知解直角三角形的相关方法是解题的关键．
22. 如图，是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点．
（1）求证：．
（2）当平分，，，求弦的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）2
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理可得，即，再根据圆内接四边形的性质即可得证；
（2）连接OG，BG，OD，根据等腰直角三角形的性质可得，利用垂径定理和解直角三角形可得，在中应用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）弦，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
；
（2）连接OG，BG，OD，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵平分，，
∴，
∵AB是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得或（舍），
∴．
【点睛】本题考查垂径定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、解直角三角形等内容，作出辅助线是解题的关键．
23. 【基础巩固】
（1）如图1，在中，是上一点，过点作的平行线交于点，点是上任意一点，连结交于点，求证：；
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，、恰好将三等分，求的值；
【拓展延伸】
（3）如图3，在等边中，，连结，点在上，若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据，可得，从而得到，同理，进而得到，即可；
（2）根据，可得，，再由、恰好将三等分，可得到，再由直角三角形的性质可得，从而得到，即可；
（3）过作的平行线，分别交、于、．可得也是等边三角形，从再而得到，再证得，可得，由（1）和，得，设，则．可得， ，然后根据，可得，即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵、恰好将三等分，
∴，
∴，
∵，
∴
在中，，
∴，
根据（1）得，；
（3）过作的平行线，分别交、于、．
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴
∴也等边三角形，
∴，
∴，
∴，
又∵
∴
∴
∴．
∴，即，
∴，
由（1）和，得，
设，则．
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键．
24. 如图，的两条弦互相垂直，垂足为，直径交线段于点，且．
（1）求证：．
（2）若的半径为4，，求的长．
（3）设．
①若点为中点，求．
②若，求与的函数表达式．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）连接，，根据直径所对的圆周角是直角，得出，再根据平行线的判定，得出，再根据平行线的性质，得出，再根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得出结论；
（2）连接，，根据直径所对的圆周角是直角，得出，再根据，得出，再根据等边对等角，得出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，再根据等量代换，得出，再根据相似三角形的判定，得出，再根据相似三角形的性质，得出，然后计算即可得出答案；
（3）①连接，根据等腰三角形的判定，得出，再根据等边对等角，对顶角相等以及同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，再根据等角对等边，得出，再根据弧与弦的关系，得出，进而得出，再根据题意，得出，进而得出，再根据对称性，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，进而得出，然后变形，即可得出答案；②连接交于，设，则，设根据全等三角形的判定，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，进而得出，再根据相似三角形的性质，得出，进而得出，解得，再根据平行线分线段成比例定理，得出，然后代入计算，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：连接，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
【小问2详解】
解：连接，，
∵是的直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：①连接，
∵点为中点，与互相垂直，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，由对称性知，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②连接交于，设，则，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
由①知，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查了圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、函数，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．抛掷总次数
100
200
300
400
杯口朝上频数
20
42
66
88
杯口朝上频率
0.2
0.21
0.22
0.22