2023-2024学年浙江省温州市温州龙湾、瑞安 -九年级上学期12月月考数学试题

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卷Ⅰ
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A. 一匹马奔跑的速度是100米/秒B. 射击运动员射击一次，命中10环
C. 班里有两名同学的生日在同一天D. 在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
【答案】A
【解析】
【分析】根据随机事件的相关概念可进行求解．
【详解】解：A、一匹马奔跑的速度是100米/秒，是不可能事件，故符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中10环；随机事件，故不符合题意；
C、班里有两名同学的生日在同一天，是随机事件；故不符合题意；
D、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，是必然事件，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查随机事件，熟练掌握随机事件的相关概念是解题的关键．
2. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．根据比例设，，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴设，，
则．
故选：B．
3. 已知的直径是10，点P到圆心O的距离是10，则点P与的位置关系是（ ）
A. 点P在内B. 点P在上C. 点P在外D. 点P在圆心
【答案】C
【解析】
【分析】根据的半径为r和点P到圆心的距离的大小关系判断即可．
【详解】解：∵的直径是10，
∴的半径为5，
∵点P到圆心O的距离为10，而，
∴点P在外，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内是解题的关键．
4. 抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移法则“左加右减，上加下减”即可得出答案，熟练掌握平移法则是解此题的关键．
【详解】解：将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线解析式为，
故选：A．
5. 如图，⊙的半径为4，弦，则圆心到弦的距离为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】过O作于C，连接，根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出即可．
【详解】解：过O作于C，连接，
∵，过圆心O，＝，
∴，，
由勾股定理得：＝，
即圆心O到弦AB的距离为2，
故选D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是能熟记垂直于弦的直径平分这条弦这个定理．
6. 如图：，，那么CE的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
，
即，
∴CE＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确列出比例式是解题的关键．
7. 如图，在中，弦半径，与相交于M，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由圆周角定理得到∠AOC，再由平行得∠A，最后利用三角形的外角性质求出∠AMB．
详解】解：∵∠C=20°，
∴∠AOB=40°，
又∵弦BC∥半径OA，
∴∠OAC=∠C=20°，
∵∠AMB是△AOM的外角，
∴∠AMB=∠OAC+∠AOB=60°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质和三角形的外角定理，掌握定理并熟练运用是解题的关键．
8. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据降价x元，则售价为元，销售量为件，由题意可得等量关系：总销售额为销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
【详解】解：降价x元，则售价为元，销售量为件，
根据题意得，，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出函数表达式，是解题的关键．
9. 剪纸艺术是我国的非物质文化遗产，如图是以正八边形为背景图形设计成的剪纸作品，记正八边形的面积为，图中阴影部分面积，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是正多边形的性质，相似多边形的性质，本题先利用正多边形的性质证明阴影部分多边形是正八边形，再利用相似多边形的性质可得，熟练的利用正多边形的轴对称的性质是解本题的关键．
【详解】解：如图，标注各点，连接，，，分别交阴影八边形于，，，
由正边形的轴对称的性质可得：，
，
∴，，
同理可得：阴影八边形的每一条边都相等，每一个内角都相等，
∴阴影八边形是正八边形，
∴阴影八边形与正八边形相似，
∴阴影八边形与正八边形的面积比等于相似比的平方；
设，而四边形是正方形，
∴，
同理：，
∴，，
结合对称性可得：，
∴，
∴；
故选B
10. 某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻对应的正方形DPEF的面积均相等，当时，则正方形的面积为（ ）
A. 3B. C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得：，，当点在上运动时，由图可得，当点与点重合时，，求出，即，当在上时，由图可得抛物线过点，顶点为，求出抛物线解析式为，从两个函数表达式看，两个函数相同，都为1，则从图象上看关于对称，关于对称，，，结合，求出的值即可得出答案．
【详解】解：由题意可得：，，
当点在上运动时，，
由图可得，当点与点重合时，，
，
或（不符合题意，舍去），
，
当在上时，由图可得抛物线过点，顶点为，
则抛物线的表达式为，
将代入得：，
，
抛物线的表达式为：，
从两个函数表达式看，两个函数相同，都为1，
若存在3个时刻对应的正方形DPEF的面积均相等，则从图象上看关于对称，关于对称，
，，
，
由①③③解得，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到动点问题、面积的计算，读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键．
卷Ⅱ
二、填空题（本题有6题，每小题4分，共24分）
11. 二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是_____．
【答案】（0，1）
【解析】
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【详解】二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是（0，1），
故答案为：（0，1）．
12. 在一个不透明的盒子中有25个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.4，由此可估计盒子中白球的个数约为______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用球的总个数乘以摸到白球的频率稳定值即可．
【详解】解：由题意知，估计盒子中白球的个数约为（个），
故答案：10．
13. 如图，四边形是的内接四边形，是它的一个外角，若，则的度数是___________．
【答案】##100度
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形，对角互补，据此即可作答．
【详解】解：∵，
∴
∵四边形是的内接四边形，
∴
故答案为：
14. 如图，二次函数与一次函数的图象相交于两点，则关于的方程的解为___________．

【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、二次函数与一元二次方程，由图象可知，、图象的交点的横坐标为和，则当或时，，由此即可得到答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可知，、图象的交点的横坐标为和，
当或时，，
关于的方程的解为或，
故答案为：或．
15. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫格点，格点的连线与格点的连线交于点，若经过点作圆，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、求半圆的面积、三角形的面积，作于，延长交于，由题意可得：，从而得出，，进而得出，结合图形求出，最后根据，进行计算即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，延长交于，
，
由题意可得：，
，，
，
相似比为，
，
由图可得：，
，，
，
故答案为：．
16. 如图，在中，是直径，弦于点，点是上一点，弦，连接交于点与的延长线交于点，设，已知，当时，___________．连接，若，则___________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】先根据直径所对的圆周角是以及垂直定义，得，结合，即可证明，得，证明，则，即，故，即可得到；因为，是直径，所以，因为，所以，设，，得到，，由，，，计算即可得到答案：
【详解】解：∵是直径，弦于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
则，
即，
故，
∴，
则；
如图：
当时，是直径，弦于点，
∴，
∵
∴设，，
则，
∴，
∵
∴，
即，
故答案为：，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，平行线的性质：难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
三、解答题（本题有7小题，共66分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. （1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c；
（2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，求AC的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由c是a，b的比例中项，可得，由此求解即可；
（2）根据黄金分割点的定义进行求解即可．
【详解】解：（1）∵a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，
∴，
∴；
（2）∵C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴．
【点睛】本题主要考查了黄金分割点以及比例中项，正确理解比例中项和黄金分割点的定义是解题的关键．
18. 如图，顶点是方格纸中的三个格点，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．
（1）在图1中画出边上的点，使得；
（2）在图2中画出的重心．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图应用与设计，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，三角形的重心，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）利用平行线等分线段定理得到线段的三等点，即可解决问题．
（2）利用平行线等分线段定理得到线段的中点和的中点，连接，交于，即可解决问题．
【小问1详解】
解：（1）如图点即为所求．
【小问2详解】
解：如图，点即为所求．
由图可得：、是边、的中线，
∴G是的重心．
19. 某初中初三年级开展数学课题学习，设置了“视力的变化”，“哪种方式更合算”，“设计遮阳棚”三种课题供学生选择，每名同学只选择一项课题进行学习，根据初三（一）班学生的选择情况，绘制了如下表格：
请综合上述信息回答下列问题：
（1）_________；_________；
（2）某班有3男1女四名学生选择了“视力的变化”课题，老师决定从这四人中随机选取两人作为组长，这两人正好是1男1女的概率是多少？请你用列表或画树状图的方法说明理由．
【答案】19. ；；
20. ，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了频数统计表，利用样本估计总体以及采用列举法求解概率的知识，注重数形结合，并掌握采用列表法或者树状图法列举求解概率的知识，是解答本题的关键．
（1）用1减去选择“哪种方式更合算”、“设计遮阳棚”课题的频率即可求出a，先根据选择“设计遮阳棚”课题的频数除以其频率求出总数，再乘以选择“哪种方式更合算”课题的频率即可求出b；
（2）利用列表法得到所有可能的结果数，再求解符合条件的结果数，再利用概率公式即可求解．
【小问1详解】
解：，；
【小问2详解】
列表如下：

共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果共有6种，
所以P（一男一女）．
20. 如图，在平行四边形ABCD中，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：ADE∽DBE；
（2）若DE＝2cm，AE＝8cm，求DC的长．
【答案】（1）见解析；（2）3cm
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得∠A＝∠C，即可求得∠A＝∠EDB，又由公共角∠E＝∠E，可证得△ADE∽△DBE；
（2）根据相似三角形的对应边成比例，易得，求出BE，即可求得DC的值；
【详解】（1）证明：平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，
又∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）解：平行四边形ABCD中，DC＝AB，
由（1）得△ADE∽△DBE，
∴，
（cm），
AB＝AE﹣BE＝8﹣5＝3（cm），
∴DC＝AB＝3（cm）．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，解题的关键是数形结合思想的应用，要注意仔细识图．
21. 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点.
（1）求证：∠ACD=∠DEC；（2）延长DE、CB交于点P，若PB=BO，DE=2，求PE的长
【答案】（1）见解析；（2）PE=4.
【解析】
【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACD=∠B，然后由圆周角定理可得结论；
（2）连结OE，根据圆周角定理和等腰三角形的性质证明OE∥CD，然后由△POE∽△PCD列出比例式，求解即可.
【详解】解：(1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，∴∠BCD+∠B=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵∠DEC=∠B,
∴∠ACD=∠DEC
（2）证明：连结OE
∵E为BD弧的中点.
∴∠DCE=∠BCE
∵OC=OE
∴∠BCE=∠OEC
∴∠DCE=∠OEC
∴OE∥CD
∴△POE∽△PCD，
∴
∵PB=BO，DE=2
∴PB=BO=OC
∴
∴
∴PE=4
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的性质是解题的关键．
22. 已知二次函数的图象过点，点和点．
（1）若点，求二次函数表达式；
（2）若
①当时，求最大值与最小值的差（用含的代数式表示）
②证明：．
【答案】（1）
（2）①最大值与最小值的差为；②见解析
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
（1）设二次函数解析式为，将代入得：，求出的值即可，
（2）①先求出对称轴为，从而得出，结合，得出当时，函数图象有最小值，此时最小，当时，函数图象有最大值，此时最大，即可得解；②当时，函数图象有最小值为，从而得到当时，存在，即可得证．
【小问1详解】
解：二次函数的图象过点，点，
设二次函数解析式为，
将代入得：，
解得：，
二次函数解析式为；
【小问2详解】
解：①二次函数的图象过点，点，
对称轴为直线，
，
，
，
，，
当时，函数图象有最小值，此时最小，为，
，，，
当时，函数图象有最大值，此时最大，为，
，
最大值与最小值的差为；
②由①可得对称轴直线，
，
当时，函数图象有最小值为，
当时，存在，
．
23. 阅读素材，完成任务．
【答案】（1）12；8；5；（2），；（3）；
【解析】
【分析】任务一：根据每次逆时针旋转，旋转次，可回到起点，即可进行解答；
任务二：构造如图所示三角形，则为等边三角形，根据等边三角形三边相等，即可依次推出各边长度；
任务三：构造如图所示三角形，根据题意可得，，，进而得出，根据等边三角形的面积公式，即可求出S的表达式，即可求解．
【详解】任务一：解：当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：12，8，5．
任务二：构造如图所示的三角形，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，则，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
任务三：如图，构造等边
∴，，，
∵，
∴，
∴，
如图：等边三角形边长为a，高为h，
，
∴等边三角形面积，
∴，
∴，
∴当S最大时，．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角，二次函数的应用，等边三角形的性质，解题的关键是掌握多边形的外角和为，根据题意构造等边三角形，根据等边三角形的性质求解．课题
选择次数
频率
“视力的变化”
4
“哪种方式更合算”
“设计遮阳棚”
20
测试机器人行走路径
素材一
图1是某校科技兴趣小组设计的一个可以帮助餐厅上菜的机器人，该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．如图为机器人所走的路径．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行（表示第次行走的路程），再逆时针旋转，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为，所走路径形成的封闭图形的面积为S．
素材二
如图2，当每次直行路程均为1（即），时，机器人的运动路径为，机器人共走的路程，由图2图3易得所走路径形成的封闭图形的面积为．
素材三
如图4，若，机器人执行六次指令后回到起点处停止．
解决问题
任务
固定变量
探索变量
探索内容
任务一
直行路程
旋转角度与路程
任务二
旋转角度
直行路程
若，求与的值．
任务三
旋转角度，路程
路径形成的封闭图形面积S．
若，请直接写出与之间的数量关系，并求出当S最大时的值．