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吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题
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这是一份吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题，共6页。试卷主要包含了设，随机变量的分布列为， 在正方体中，，分别，中点，则， 已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
1.在一组样本数据不全相等的散点图中，若所有的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（ ）
A.2 B.-2 C.-1 D.1
2.某学生要从5门选修课中选择1门，从4个课外活动中选择2个，则不同的选择种数为（ ）
A.11 B.10 C.20 D.30
3.设，随机变量的分布列为
则（ ）
A. B. C. D.
4.已知的展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中第4项的系数为（ ）
A. B.
C. D.
5.（ ）
A.120 B.119 C.110 D.109
6．三棱柱中，所有棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7. 某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，每门课每天至少一节），已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则该生该天课表有（ ）.
A. 444种B. 1776种C. 1440种D. 1560种
5．用1，2，3，4，5，6写出没有重复数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的数有（ ）个
A．18 B．36 C．72 D．86
二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为6 B．双曲线C的渐近线方程为
C双曲线C的焦点到渐近线的距离为4 D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为8
10. 在正方体中，，分别，中点，则（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 与平面成角正弦值为
D. 平面与平面成角余弦值为
11. “杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.请结合“杨辉三角”判断下列叙述，正确的是（ ）
A.
B 第20行中，第11个数最大
C. 记第行的第个数为，则
D. 第34行中，第15个数与第16个数的比为
12. 已知椭圆，双曲线（，），椭圆与双曲线有共同的焦点，离心率分别为，，椭圆与双曲线在第一象限的交点为且，则（ ）
A. 若，则
B. 的最小值为
C. 的内心为，到轴的距离为
D. 的内心为，过右焦点做直线的垂线，垂足为，点的轨迹为圆
三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中项的系数为______．
14. 若直线过直线和交点，且在轴的截距是轴截距的2倍，则直线的方程是__________________.
15. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围为________.
16. 已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知，若.
（1）求的值；
（2）求的值.（结果可以用幂指数表示）
18. （1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（3）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（4）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
19.（12分）
如图，长方体的底面为正方形，为上一点.
（1）证明：.
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值.
20.（12分）
已知双曲线的离心率为，且其焦点到渐近线的距离为1.
（1）求的方程；
（2）若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
21. 设抛物线的焦点为，动直线交抛物线于，两点，当直线过焦点且的中点的横坐标为2时.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，当焦点为为的垂心时，求直线的方程.
22. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E为BC的中点．
（1）证明：．
（2）若二面角平面角为，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值．
CDDAC BBB 9 AC 10 ACD 11 BCD 12 AC
13 80 14 或 15 16
17 （1）11 （2）
18 （1）2；（2）10；（3）65；（4）1560.
19 19.（1）证明：由题可知，平面，所以.
连接，因为四边形为正方形，所以.
又，所以平面，
所以.
（2）与平面夹角的余弦值为.
20 的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，的方程为，此时.
当直线的斜率存在时，不妨设，且.
联立方程组得.
由，得.
联立方程组得.
不妨设与的交点分别为，则.同理可求，所以.
因为原点到的距离，所以.
因为，所以.故的面积为定值，定值为.
21 （1）；
（2）或.
22
如图，取AD的中点F，连接PF，EF．
∵底面ABCD是正方形，，∴，．
∵，平面PEF，∴平面PEF．
又∵平面PEF，∴．
（2）
5
8
9
1.在一组样本数据不全相等的散点图中，若所有的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（ ）
A.2 B.-2 C.-1 D.1
2.某学生要从5门选修课中选择1门，从4个课外活动中选择2个，则不同的选择种数为（ ）
A.11 B.10 C.20 D.30
3.设，随机变量的分布列为
则（ ）
A. B. C. D.
4.已知的展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中第4项的系数为（ ）
A. B.
C. D.
5.（ ）
A.120 B.119 C.110 D.109
6．三棱柱中，所有棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7. 某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，每门课每天至少一节），已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则该生该天课表有（ ）.
A. 444种B. 1776种C. 1440种D. 1560种
5．用1，2，3，4，5，6写出没有重复数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的数有（ ）个
A．18 B．36 C．72 D．86
二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为6 B．双曲线C的渐近线方程为
C双曲线C的焦点到渐近线的距离为4 D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为8
10. 在正方体中，，分别，中点，则（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 与平面成角正弦值为
D. 平面与平面成角余弦值为
11. “杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.请结合“杨辉三角”判断下列叙述，正确的是（ ）
A.
B 第20行中，第11个数最大
C. 记第行的第个数为，则
D. 第34行中，第15个数与第16个数的比为
12. 已知椭圆，双曲线（，），椭圆与双曲线有共同的焦点，离心率分别为，，椭圆与双曲线在第一象限的交点为且，则（ ）
A. 若，则
B. 的最小值为
C. 的内心为，到轴的距离为
D. 的内心为，过右焦点做直线的垂线，垂足为，点的轨迹为圆
三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中项的系数为______．
14. 若直线过直线和交点，且在轴的截距是轴截距的2倍，则直线的方程是__________________.
15. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围为________.
16. 已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知，若.
（1）求的值；
（2）求的值.（结果可以用幂指数表示）
18. （1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（3）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（4）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
19.（12分）
如图，长方体的底面为正方形，为上一点.
（1）证明：.
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值.
20.（12分）
已知双曲线的离心率为，且其焦点到渐近线的距离为1.
（1）求的方程；
（2）若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
21. 设抛物线的焦点为，动直线交抛物线于，两点，当直线过焦点且的中点的横坐标为2时.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，当焦点为为的垂心时，求直线的方程.
22. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E为BC的中点．
（1）证明：．
（2）若二面角平面角为，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值．
CDDAC BBB 9 AC 10 ACD 11 BCD 12 AC
13 80 14 或 15 16
17 （1）11 （2）
18 （1）2；（2）10；（3）65；（4）1560.
19 19.（1）证明：由题可知，平面，所以.
连接，因为四边形为正方形，所以.
又，所以平面，
所以.
（2）与平面夹角的余弦值为.
20 的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，的方程为，此时.
当直线的斜率存在时，不妨设，且.
联立方程组得.
由，得.
联立方程组得.
不妨设与的交点分别为，则.同理可求，所以.
因为原点到的距离，所以.
因为，所以.故的面积为定值，定值为.
21 （1）；
（2）或.
22
如图，取AD的中点F，连接PF，EF．
∵底面ABCD是正方形，，∴，．
∵，平面PEF，∴平面PEF．
又∵平面PEF，∴．
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