2023-2024学年山东省济宁市泗水县高二上学期期中考试数学试题

这是一份2023-2024学年山东省济宁市泗水县高二上学期期中考试数学试题，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，若三向量共面，则实数等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
4．过圆内一点作直线交圆O于A，B两点，过A，B分别作圆的切线交于点P，则点P的坐标满足方程（ ）
A．B．C．D．
5．万众瞩目的北京冬奥会于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm
A．B．C．D．
6．如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ）

A．B．
C．D．
7．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数.用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.定义事件：事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．与互斥B．与对立
C．D．A与相互独立
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为.
B．直线的倾斜角为.
C．，“直线与垂直”是“”的必要不充分条件.
D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
11．正方体的棱长为a，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知过点的直线与椭圆交于、两点，则弦长可能是（ ）
A．1B．C．D．3
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知，那么与夹角的余弦值为 ．
14．与圆相交所得的弦长为2，且在轴上截距为的直线方程是
15．一个数字不重复的三位数的百位、十位、个位上的数字依次记为，，，当且仅当，，中有两个不同数字的和等于剩下的一个数字时，称这个三位数为“有缘数”（如213，341等）．现从1，2，3，4这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三位数，则这个三位数为“有缘数”的概率是 ．
16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．(本小题满分10分) 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为．现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的．
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求取球两次终止的概率
（3）求甲取到白球的概率．
18．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，，，，.

(1)若平面，求的值；
(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.
19．(本小题满分12分) 已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线交椭圆于两点，是弦的中点，求直线的方程及弦的长度.
20．(本小题满分12分) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在y轴上的圆C经过两点和，直线的方程为.
(1)求圆C的方程；
(2)过点作圆C切线，求切线方程；
(3)当时，Q为直线上的点，若圆C上存在唯一的点P满足，求点Q的坐标.
21．(本小题满分12分) 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且.

(1)求证：直线平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离.
22．(本小题满分12分) 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，当点到直线的距离取最大值时，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求的面积．
高二数学答案
一、单选题 1-5．DABAB 6-8．CDC
二、多选题 9．ACD 10．BCD 11．BC 12．BC
三、填空题 13．/ 14. 15．/ 16．
三、解答题
17．（1）3个白球（2）（3）
【详解】（1）设袋中原有n个白球，由题意知：，
解得n＝3（舍去n＝﹣2），即袋中原有3个白球
（2）记“取球两次终止”为事件A，
（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次或第3次或第5次取到白球
记“甲取到白球”为事件B，
18．
【详解】（1）分别取中点，连接，
由已知底面是直角梯形，，，，
易得，
∵平面平面，平面平面，
∴，

以为中心，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由题意知为等腰直角三角形，，,
则，
∴，
∵，
∴，
显然是平面的一个法向量，
若平面，则，
即；
（2）由（1）知，，当时，
∴，
设分别为平面与平面的一个法向量，
则有，，
不妨令，则，
则，
设平面与平面的夹角为，
故,
即平面与平面的夹角的余弦值为.
19．
【详解】（1）已知椭圆的两个焦点分别为，设椭圆的标准方程为，且，则①，
又椭圆过点，所以②，联立①②解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知直线的斜率存在，且直线过点，设直线的方程为，即，设，
则，消去得，所以，
又是弦的中点，所以，解得，则，
所以
故直线的方程为，弦为
20．
（1）
设圆的方程为，将M，N坐标代入，得：，
解得，所以圆的方程为；
（2）
当切线斜率不存在时，直线与圆相切；
当切线斜率存在时，设直线方程为，即，
由圆心到直线的距离，
解得，故切线方程为，
综上，切线方程为或；
（3）
设，，则，
化简得，
此圆与圆C相切，
所以有，解得，
所以或
21．
【详解】（1）如图，设交于点，连接，易知底面，，所以，
又是底面圆的内接正三角形，由，可得，.
又，，所以，即，
又，所以，
所以，即，
又平面，直线平面，平面，
所以直线平面.
.
（2）因为平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（3）易知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，

设平面的法向量为，
则，即，令，则，
设，可得，
设直线与平面所成的角为，
则，
即，
令，
则，
当且仅当时，等号成立，所以当时，有最大值4，
即当时，的最大值为1，此时点，
所以，
所以点到平面的距离，
故当直线与平面所成角的正弦值最大时，点到平面的距离为
22．
【详解】解：（1）设椭圆的半焦距为，
当点到直线的距离取最大值时，轴，此时，
又椭圆的离心率，所以，
解得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，直线的方程为．
代入椭圆的方程消去，
得，
，解得，
由韦达定理得，① ，②
若，则， 所以，
代入①②得，，
消去，得，
解得，
所以，
所以的面积为．