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03，广东省汕头市潮阳实验学校2023-2024年高三上学期第四次阶段测试数学试卷
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这是一份03，广东省汕头市潮阳实验学校2023-2024年高三上学期第四次阶段测试数学试卷，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，其中为的共轭复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．1
3．对于任意非零向量，若在上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．数列满足,若，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
7．设，分别是双曲线：的左､右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
8．设实数，若对恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）的数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．
下列推断正确的是（ ）
A．这200名学生阅读量的平均数大于25本
B．这200名学生阅读量的中位数一定在区间内
C．这200名学生中的初中生阅读量的分位数可能在区间内
D．这200名学生中的初中生阅读量的分位数一定在区间内
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数在上单调递增
C．函数在的值域为
D．将函数的图象向右平移个单位，所得函数为
11．已知圆：和圆：的交点为A，B，则下列结论中正确的是（ ）
A．公共弦AB所在的直线方程为
B．公共弦AB的长为
C．线段AB的中垂线方程为
D．若P为圆上的一个动点，则三角形PAB周长的最大值为
12．函数，若关于x的方程有4个不同的实数解，它们从小到大依次为，，，则（ ）
A．B．
C．D．函数有3个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为 ．
14．已知等比数列的前项和为，若，则 .
15．正方体的棱长为2，BC棱上一点P满足，则直线PA与平面AB1C所成角的正弦值为 ．
16．已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题10分）在中，，且
(1)求角；
(2)若点为边上一点，且，求的面积.
18．（本题12分）已知数列满足，
(1)证明是等比数列，并求的通项公式
(2)若，求数列的前项和．
19．（本题12分）如图，在四棱锥中，平面平面分别为线段的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本题12分）轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频率与年龄得到如下的频数分布表.
(1)若把年龄在的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频率不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据小概率值的独立性检验判断食用轻食频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，，，求的分布列与期望；
(3)已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为，求小李晚餐选择低卡甜品的概率.
参考公式：，.
附：
21．（本题12分）已知双曲线的左顶点为，焦点到渐近线距离为．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设双曲线E的右顶点为B，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线于M，N两点（异于A，B），记直线MN与x轴的交点为Q；
①求证：Q为定点；
②直线MN交直线于点D，记．求证：为定值．
22．（本题12分）已知函数．
(1)当时，求在处的切线的斜率；
(2)当时，求函数的单调递增区间；
(3)记函数的图像为曲线，设点是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，满足：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”．试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由．
性别
男
7
31
25
30
4
女
8
29
26
32
8
学段
初中
25
36
44
11
高中
使用频率
偶尔1次
30
15
5
10
每周1~3次
40
40
30
50
每周4~6次
25
40
45
30
每天1次及以上
5
5
20
10
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，其中为的共轭复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．1
3．对于任意非零向量，若在上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．数列满足,若，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
7．设，分别是双曲线：的左､右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
8．设实数，若对恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）的数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．
下列推断正确的是（ ）
A．这200名学生阅读量的平均数大于25本
B．这200名学生阅读量的中位数一定在区间内
C．这200名学生中的初中生阅读量的分位数可能在区间内
D．这200名学生中的初中生阅读量的分位数一定在区间内
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数在上单调递增
C．函数在的值域为
D．将函数的图象向右平移个单位，所得函数为
11．已知圆：和圆：的交点为A，B，则下列结论中正确的是（ ）
A．公共弦AB所在的直线方程为
B．公共弦AB的长为
C．线段AB的中垂线方程为
D．若P为圆上的一个动点，则三角形PAB周长的最大值为
12．函数，若关于x的方程有4个不同的实数解，它们从小到大依次为，，，则（ ）
A．B．
C．D．函数有3个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为 ．
14．已知等比数列的前项和为，若，则 .
15．正方体的棱长为2，BC棱上一点P满足，则直线PA与平面AB1C所成角的正弦值为 ．
16．已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题10分）在中，，且
(1)求角；
(2)若点为边上一点，且，求的面积.
18．（本题12分）已知数列满足，
(1)证明是等比数列，并求的通项公式
(2)若，求数列的前项和．
19．（本题12分）如图，在四棱锥中，平面平面分别为线段的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本题12分）轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频率与年龄得到如下的频数分布表.
(1)若把年龄在的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频率不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据小概率值的独立性检验判断食用轻食频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，，，求的分布列与期望；
(3)已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为，求小李晚餐选择低卡甜品的概率.
参考公式：，.
附：
21．（本题12分）已知双曲线的左顶点为，焦点到渐近线距离为．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设双曲线E的右顶点为B，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线于M，N两点（异于A，B），记直线MN与x轴的交点为Q；
①求证：Q为定点；
②直线MN交直线于点D，记．求证：为定值．
22．（本题12分）已知函数．
(1)当时，求在处的切线的斜率；
(2)当时，求函数的单调递增区间；
(3)记函数的图像为曲线，设点是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，满足：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”．试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由．
性别
男
7
31
25
30
4
女
8
29
26
32
8
学段
初中
25
36
44
11
高中
使用频率
偶尔1次
30
15
5
10
每周1~3次
40
40
30
50
每周4~6次
25
40
45
30
每天1次及以上
5
5
20
10
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
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