42，福建省泉州市惠南中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

这是一份42，福建省泉州市惠南中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题，共17页。试卷主要包含了 已知集合，则， 设，，，则的大小顺序是， 函数的零点所在的区间为， 星等是衡量天体光度的量， 函数的单调递减区间是， 已知，若满足，则的取值范围为， 下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题共60分）
一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确选项）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用集合的交运算法则进行运算即可.
【详解】因为集合，
故，
故选：
2. 设，，，则的大小顺序是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用有理数指数幂与对数的运算性质比较，，与和的大小得出答案.
【详解】，
，
，
.
故选：B
3. 函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用排除法，结合指数函数和幂函数的图象特征分析判断即可.
【详解】显然．由，知①是函数的图象，②是函数的图象．
由函数的图象可知，排除A，B．
由②知，函数时有意义，排除C，
故选：D．
4. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.
【详解】因为函数在上都增函数，
所以在上单调递增，
因为，所以的零点所在的区间为.
故选：C.
5. 星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，等星的星等值为.已知两个天体的星等值，，和它们对应的亮度，满足关系式（，），则1等星的亮度是6等星亮度的（ ）
A. 倍B. 10倍C. 倍D. 100倍
【答案】D
【解析】
分析】根据题意建立对数关系式，并结合指对数互化求解.
【详解】由题意得：当，时，，
即：，解之得：，故D项正确.
故选：D.
6. 若不等式的解集为，则函数的零点为（ ）
A. 和B. 和C. 2和D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系求解，然后根据零点的定义求解即可.
【详解】因为的解集为，
所以方程的两根分别为和2，且，
则，解得，
故函数，
则与轴的交点坐标为和，所以零点为和.
故选：D.
7. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性结合对数函数的单调性即可得解.
【详解】由，解得，
故函数的定义域为，
令，其在上单调递增，在上单调递减，
又因为函数为减函数，
所以函数的单调递减区间为.
故选：A.
8. 已知，若满足，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出函数的图象，设，用a表示，利用基本不等式求最值进而得取值范围.
【详解】由题，，
画出函数图象，如图所示，设，则，
，，，
，，
当且仅当，即时等号成立，故，
故选：C.
【点睛】数形结合，当时，将，，用相同参数表示，再构造，通过配凑，用基本不等式求最值，注意检验最值能否取.
二､多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，定义域为，定义域为，定义域不相同，不是同一函数，A错误；
对于B，函数与的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数，故正确；
对于C，函数，函数，两函数的定义域与对应关系都一致，所以是同一函数，故正确；
对于D，，，所以对应关系不相同，定义域也不同，不是同一函数，D错误．
故选：BC
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 若，则
B 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A代入特殊值即可判断A的正误，对于B左边减去右边，根据题意可判断B的正误，对于C由，两边同乘即可判断，对于D由不等式的性质即可判断
【详解】对A：若，则，故A错误；
对B：作差得，
，则，
，则，故B正确；
对C：若，可知，则，故C正确；
对D，又，两式相加，则，故D正确.
故选：BCD.
11. 下列命题正确的是（ ）
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 的最小值为
C. 图象关于点成中心对称
D. 若，则的最大值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用抽象函数的定义域可判定A，利用指数函数的单调性求最值即可判定B，分离常数结合反比例函数的性质可判定C，利用基本不等式可判定D.
【详解】对于：函数的定义域为，所以，
所以函数的定义域为，正确；
对于：令，则，因为，且在定义域内递减，
所以，所以的最小值为，所以正确；
对于C，函数的图象可视为双曲线向左平移2个单位，
再向上平移1个单位而得，因此图象关于点成中心对称，错误；
对于，当时，，当且仅当时取等号，正确.
故选：ABD.
12. 已知的定义域为且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数B.
C. 的图象关于对称D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先由题意得到的图象关于点对称且关于直线对称，进一步是以4为周期的函数，且在是单调递增，对于A，直接由偶函数的定义以及对称性验证即可；对于B，由周期性结合验算即可；对于C，由对称性可知即可判断；对于D，由单调性结合对称性、周期性即可判断.
【详解】为奇函数，为偶函数，
所以的图象关于点对称且关于直线对称，
所以，
，
所以是周期函数，4是它的一个周期.
，
，В正确；
是偶函数，A正确；
因此的图象关于点对称，其中为奇数，得不到C；
对任意的，且，都有，即时，，
所以在是单调递增，
，
，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：由题意首先得到是以4为周期的函数，且在是单调递增，从而即可顺利得解.
第II卷（非选择题）
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知命题p：，，则命题的否定为__________.
【答案】，
【解析】
【分析】先改量词，再否定结论.
【详解】因为命题p：，，所以命题的否定为，.
故答案为：，.
14. 若幂函数的图像经过点，则__________.
【答案】##0.2
【解析】
【分析】设出幂函数的表达式，利用待定系数法求出，再计算可得结果.
【详解】设，则，所以，
则，
故答案为：
15. 已知，则______，满足的x的范围是______．
【答案】 ①. ②. 或.
【解析】
【分析】由分段函数解析式结合定义域可解决第1空，由对数，指数函数单调性结合定义域可解决第2空.
【详解】由题，，则；
当时，；
当时，.
综上，或.
故答案为：或.
16. 已知函数，若关于的方程有4个不等实根，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出的图像，令，数形结合得，的一个根在中，另一个根在中，所以，可得答案.
【详解】函数的图像如图，
关于的方程有4个不等实根，
令，
则的一个根在中，另一个根在中，
所以，可得.
故答案：.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17. 计算：
（1）
（2）.
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）（2）按指对数的运算律计算.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式.
18. 设集合.
（1）求
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用补集的概念计算即可；
（2）先解含参二次不等式，再利用交集的结果分类讨论求参数即可.
【小问1详解】
由，故.
【小问2详解】
由，
而，
当时，不合题意，
当时，则，解得，
当时，则，解得，
综上，或.
19. 对于函数．
（1）判断函数的单调性，并用定义证明；
（2）是否存在实数使函数为奇函数？证明你的结论．
【答案】（1）函数在定义域内单调递减，证明见解析
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用指数函数的图象与性质、函数单调性的定义分析运算即可得解得证.
（2）利用指数函数的图象与性质、函数奇偶性的定义分析运算即可得解得证.
【小问1详解】
解：由题意，函数，，
函数在定义域内单调递减，
证明：设，则
，
由指数函数的图象与性质知，，则，
∴，即，
∴函数在定义域内单调递减.
【小问2详解】
解：当时函数为奇函数.
∵函数为奇函数，
∴由奇偶性的定义知，，
解得：.
证明：当时，，，
∵，
∴函数为奇函数，
∴当时，函数为奇函数.
20. 某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示：
现有以下三种函数模型可供选择：①，②，③，其中均为常数，且.
（1）直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式；
（2）若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到所经过的时间分别为，写出一种满足的等量关系式，并说明理由.
【答案】（1）模型②，
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据表格数据选择函数模型，然后求解析式；
（2）根据指数幂运算公式计算.
【小问1详解】
应选择函数模型②.
依题意，得，
解得，
所以关于的函数解析式为.
【小问2详解】
.
理由：依题意，得，，，
所以，，，
所以，
所以，
所以.
21. 已知函数.
（1）写出函数的定义域并判断其奇偶性；
（2）若存在使得不等式成立，求实数的最大值.
【答案】（1）定义域为，偶函数
（2）
【解析】
【分析】（1）由对数函数的真数大于可求得函数的定义域，知定义域关于原点对称，再由函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性；
（2）若存在使得不等式成立，即求函数的最大值，由最大值大于等于即可，由复合函数单调性，即可判断其单调性，求得函数的最大值，即可求实数的最大值.
【小问1详解】
由函数有意义，
则满足，解得，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又由，
所以函数为定义域上偶函数
【小问2详解】
若存在使得不等式成立，即，
由，其中，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
可得，
所以，即，
所以实数的最大值为
22. 设函数．
（1）若在区间上的最大值为，求的取值范围；
（2）存在实数，使得当时，恒成立，求的最大值及此时的值.
【答案】（1）；
（2）的最大值是3，此时.
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的性质，确定最大值点列式求解即得.
（2）按，，，分类讨论，借助函数对称轴的情况，探讨函数在上的单调性及最值，使时，得到关于，的不等式组求解即得.
【小问1详解】
函数的图象是开口向上的抛物线，
则在区间上的最大值必是和中较大者，而，
于是，即，所以.
【小问2详解】
由当时，恒成立，得，即，
①当时，如图，

显然函数在区间上单调递增，，，
故，即，而函数在上是增函数，
于是，即有，
因此，此时，；
②当时，如图，

显然函数在区间上单调递减，，，
于是，即，则，由不等式性质得，
即，而当时，，因此不可能成立；
③当时，如图，

于是，，则，即，
必有，即，显然此不等式不成立；
④当时，如图，

于是，，则，即，从而，
因此，即，整理得，解得，
所以的最大值是3，此时.
【点睛】思路点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三个影响因素：开口方向、对称轴位置以及区间，常见的题型有：轴定区间定，轴定区间动，轴动区间定及轴动区间动问题，解决的途径都是讨论对称轴和所给区间的位置关系分类讨论求解.一般情况下要分轴在区间左，轴在区间内和轴在区间右三种情况讨论，在求解过程中注意结合二次函数的图象与性质分析.
时间月
1
2
3
4
浮萍的面积
3
5
9
17