35，山西省大同市2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测数学试题

这是一份35，山西省大同市2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测数学试题，共18页。

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答题标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔写在答题卡上．
4．本试卷共100分，考试时间60分钟．考试结束后，将试题和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接由诱导公式计算即可.
【详解】由题意.
故选：D.
2. 已知a，b，c，d为实数，且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】举出反例得到充分性不成立，由不等式性质得到必要性成立，得到答案.
【详解】当，此时满足，，但，
充分性不成立，
当，时，相加得，即，
必要性成立，
故是的必要不充分条件.
故选：B
3. 已知函数定义域是，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式和可得．
【详解】由题意得：，解得：，
由，解得：，
故函数的定义域是，
故选：C.
4. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出函数定义域，再根据复合函数的单调性结合对数函数的单调性即可得解.
【详解】由，解得，
故函数的定义域为，
令，其在上单调递增，在上单调递减，
又因为函数为减函数，
所以函数的单调递减区间为.
故选：A.
5. 已知函数，若函数有四个不同的零点，，，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出函数的大致图象，确定四个零点所在区间，利用函数解析式代入所求算式化简，结合基本不等式求取值范围.
【详解】由指数函数和对数函数的图象，利用函数图象的平移和翻折，
作出函数的大致图象，如图所示，

可知，，
于是，所以，
，即，所以，
于是，
，当且仅当，即时等号成立，
所以的取值范围为.
故选：C．
6. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】，故求出答案.
【详解】因为，，
所以，.
故选：D
7. 已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角恒等变换公式以及正弦函数的图象性质求解.
【详解】,
若，因为，所以，
因为在区间内没有零点，
所以，解得；
若，因为，所以，
因在区间内没有零点，
所以，解得；
综上，，
故选:D.
8. 不等式对于，恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意分离参数得对于，恒成立，通过换元求最值即可求出的取值范围.
【详解】因为不等式对于，恒成立，
所以不等式对于，恒成立，
令，
由对勾函数的性质，函数在上单调递减，
所以，所以，.
故选：A
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，在多项符合题目要求全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. 为第二象限角B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系计算求解即可判断各选项.
【详解】由同角三角函数平分关系可得，
，因为，所以，解得，,
因为，所以是第二象限角，故选项，正确，
有同角三角函数商数关系可得，，故选项错误，
因为，故选项正确.
故选：.
10. 下列表达式正确的是（ ）
A. 若，则
B. 在锐角中，恒成立
C.
D. ，，
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用诱导公式及同角三角函数关系化简判断A、C；由且结合诱导公式判断B；作差法比较大小判断D.
【详解】A：由题设，
又，故，错；
B：由题意且，则，所以，对；
C：，对；
D：由，
又，，故，故，
所以，对.
故选：BCD
11. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
B. 函数为偶函数
C. 函数在上单调递增
D. 若，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】
分析】
函数的图象关于直线对称，可得，，
对于A，根据函数的图象平移可判断；对于B，求出函数的解析式可判断；对于C，求出，根据函数在区间上单调递增可判断；对于D，求出，，的周期可判断.
【详解】函数的图象关于直线对称，
，；
，，，
对于A，函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，故错误；
对于B，函数，根据余弦函数的奇偶性，可得，可得函数是偶函数，故正确；
对于C，由于，，函数在上单调递增，故正确；
对于D，因为，，
又因为，的周期为，
所以则的最小值为，故正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查了的性质.有关三角函数的题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题.
12. 已知，，则（ ）
A. 的最小值为4B. 的最大值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基本不等式即可求解BD，由乘“1”法即可求解A,代换后利用二次函数的性质即可求解C.
【详解】对于A，，，当且仅当，即取等号，故A错误，
，当且仅当，即取等号，故B正确，
，故当时，取到最小值，此时，满足题意，故C正确，
，当且仅当，即时等号成立，所以D正确
故选：BCD
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．把答案写在题中横线上）
13. 若为偶函数，则实数__________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用求解参数.
【详解】若是偶函数，则，
即，所以,
所以，所以,所以，
当时，，定义域为，关于原点不对称，不符合，舍去，
当时，,定义域为，关于原点对称，符合题意.
综上所述，.
故答案为：.
14. 如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，且d与时间t（单位：分钟）之间的关系式为：_______；则d与时间t之间的关系是_________．
【答案】 ①. 且 ②. ，且
【解析】
【分析】根据题意确定关系式，再结合已知及题图求出对应参数，即可得d与时间t之间的关系.
【详解】由题设，d与时间t之间的关系式为且，
筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，则，可得，
筒车半径为3米，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米，则，，
又盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，在水面下则d为负数，
所以，可得，故，
所以，且.
故答案为：且；，且.
15. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间上的值域为，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由三角函数的图像变换得到解析式，由在区间上的值域为，求解的取值范围即可.
【详解】因为将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
所以.
若函数在区间上的值域为，
因为，，
再由的单调性可知.
故答案为：
16. 关于函数有下述结论：
①是偶函数；
②函数是周期函数，且最小正周期为；
③函数在区间上单调递减；
④函数在有3个零点；
⑤函数的最大值为2．
其中所有正确结论的编号是__________．
【答案】①③④⑤
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的概念即可判断①；由判断②；
由，去掉绝对值，得，再根据正弦函数的单调性可判断③；
由函数是偶函数，则只需要考虑上的零点个数，，再根据正弦函数的零点即可判断④；
由函数是偶函数，则考虑的情况即可，写出分段函数解析式即可判断⑤．
【详解】解：①函数的定义域为R，又，
∴函数是偶函数，故①正确；
②当时，，时，，故最小正周期不为，故②错误；
③当时，，在上单调递减，故③正确；
④∵函数是偶函数，∴只需要考虑上的零点个数，
此时，在上有2个零点，为，
∴在有3个零点，为，故④正确；
⑤∵函数是偶函数，
∴考虑的情况即可，
当时，，
∴的最大值为2，故⑤正确．
故答案为：①③④⑤
四、解答题（本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正切的两角和公式化简求值；
（2）利用正弦的两角差公式、二倍角公式，以及三角函数的诱导公式求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
即，
所以.
【小问2详解】
.
18. 设函数.
（1）求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标；
（2）求在上的最值.
【答案】（1）；；
（2），.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用三角函数的性质求得答案；
（2）利用函数的单调性求出最值．
【小问1详解】
因为，
令，解得，
所以的对称轴方程为，
令，得，
可得函数图象的对称中心的坐标为；
【小问2详解】
因为，所以，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，，故.
19. 定义域为R的函数是奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）若存在，使得成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）法一：由奇函数求参数，注意验证是否满足题设；法二：由奇函数性质得到恒等式求参数即可；
（2）根据单调性、奇函数性质，将问题化为在上有解，利用三角恒等变换及正弦型函数性质求左侧的值域，即可确定参数范围.
【小问1详解】
法一：因为是奇函数，所以，即，解得
此时，
故是奇函数，故.
法二：因为是奇函数，
所以，
即对恒成立，所以.
【小问2详解】
由（1）知，则在上为减函数，又是奇函数，
由得：，
所以，即在上有解，
记，则
因为，则，
所以，所以，
所以，即.
20. 如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上.
（1）设，求三角形木块面积；
（2）设，试用表示三角形木块的面积，并求的最大值.
【答案】（1）；（2）,的面积最大值为
【解析】
【分析】（1）构造垂线，将、的长度进行转化，的长度即为的值，的长度即为的值，从而求解出；
（2）根据第（1）问的转化方法，同理可以得出的表达式，然后将看成整体进行换元，进而将面积函数转化为熟悉的二次函数，从而求解出最值.
【详解】解：（1）过点作交于点，设交于点，
所以,
，
所以；
（2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，
所以可只分析时的情况，
，
，
所以
，
令，，
故，
，
，
，
，
，
函数在单调递增，
所以当时，的面积最大，最大值为.
【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了三角函数的值域问题，三角函数中与的联系等等，考查了学生综合应用能力.
21. 函数.
（1）若，求的值域；
（2）最小值为，若，求及此时的最大值.
【答案】21.
22 ，5
【解析】
【分析】（1）代入，对进行配方化简，由的范围，进而得到的值域.
（2）对进行配方化简，对的取值进行讨论，求最小值，由求出，进而求出此时的最大值.
【小问1详解】
若，则，
即，
因为，
所以，则，
所以的值域为.
【小问2详解】
，
因为，所以：
若，即，，
若，即，，
若，即，
由题若，
则时，，无解；
时，，无解；
时，，
即，解得或舍去；
综上：，
此时，，
所以的最大值为.