49，重庆市第十八中学2023-2024 学年高二上学期期末考试数学试题

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考试说明：
1．考试时间：120分钟
2．试题总分：150分
3．试卷页数：共4页
一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知椭圆的一个焦点坐标，则（ ）
A. B. 5C. 5或3D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程和几何性质，准确计算，即可求解.
【详解】由椭圆的一个焦点坐标，
可得椭圆的焦点在 轴，所以，解得.
故选：B.
2. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将抛物线方程化为标准方程，进而可得准线方程.
【详解】因为抛物线的方程为，即，
可知，即，且焦点在y轴正半轴上，
所以准线方程为.
故选：D.
3. 已知向量，，，则（ ）
A. 3B. 9C. 27D. 81
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量共线，列式计算可求出，进而求出，再由向量的模长公式求解即可.
【详解】向量，且，
则，解得，所以，
所以，
所以.
故选：A.
4. 设等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A. 54B. 53C. 52D. 51
【答案】C
【解析】
【分析】由题意结合等比数列及其前项和的基本量的计算即可得解.
【详解】由题意等比数列的前n项和为，所以，（是公比），
同理，所以.
故选：C.
5. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】求出数列周期即可求解.
【详解】，,故数列周期为
故选：C
6. 如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出点P关于直线与y轴的对称点，从而得到结果.
【详解】由题意易得AB所在的直线方程为：，
化简可得：.
设点关于直线的对称点，
则，解得，，
点P关于直线AB对称的点为，点P关于y轴对称的点为．
直线MN即直线，则直线MN的方程为，即．
故选：D
7. 已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，利用点差法求解.
【详解】解：因为双曲线与直线相交于A、B两点，
且弦的中点M的横坐标为1，则纵坐标为3，
设 ，则，
两式相减得 ，则 ，
解得 ，即 ，
所以双曲线C的渐近线方程为，
故选：A
8. 若数列满足，，，，则称数列为数列，该数列是由意大利数学家斐波那契于1202年提出，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．则下列结论错误的是（ ）
A.
B. 数列各项除以2后所得的余数构成一个新数列，若数列的前n项和为，则
C. 记，则数列的前2021项的和为
D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用斐波那契数列的性质逐项判断即可求解.
【详解】对于A：因为，，，，
所以
，故A正确；
对于B：显然，由（，）可知，
（，）可由判断，
若，则，
若或，则，
由此可得，，，，，，，（，），
所以，故B正确；
对于C：因为，，，，
所以
，
又由选项B，易知，
所以，
则，故C错误；
对于D：（，）
，
又因为，所以，
故，故D正确.
故选：C.
【点睛】关键点晴：本题选项B的解决键是，利用斐波那契数列的性质确定数列是以为周期的周期数列，利用周期性求出数列的前项和.
二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）
9. 设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 数列是等差数列D. 对任意，都有
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意首先得，，，结合等差数列求和公式即可判断AB，进一步可判断D，结合等差数列求和公式以及定义可判断C.
【详解】由题意等差数列前n项和为，且，，
所以，，，
，故A错B对；
由题意（分别为首项公差），所以，
所以数列是分别以为首项公差的等差数列，故C正确；
因为，，，所以，所以对任意，都有，故D正确.
故选：BCD.
10. 己知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D. 线段的中点到x轴的距离为2
【答案】AC
【解析】
【分析】联立方程组求得，且，结合选项，结合抛物线的定义和焦点弦，逐项判定，即可求解.
【详解】由抛物线，可得焦点，则直线过抛物线的焦点，
联立方程组，整理得到，显然，
设，可得，
对于A中，由抛物线的定义，可得，所以A正确；
对于B中，由 ，
所以与不垂直，所以B错误；
对于C中，由，可得，
由抛物线定义，可得，
则，所以C正确；
对于D中，线段的中点的到轴的距离为，所以D错误.
故选：AC.
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上项点为B，直线与椭圆C相交于M、N两点，点，则下列选项正确的是（ ）
A. 四边形的周长为12
B. 当时，的面积为
C. 直线，的斜率之积为
D. 若点P为椭圆C上的一个动点，则的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据椭圆定义结合椭圆对称性可判断A；利用焦点三角形面积公式可判断B；设，，表示出，的斜率之积，结合点在椭圆上即可化简求值，判断C；将转化为，利用图形的几何意义求解，判断D.
【详解】对于A，由题意知对于椭圆，，
与椭圆交于，两点，
则，关于原点对称，且，,
故四边形的周长为，A正确；

对于B，因为，所以，的面积为，
故B错误；
对于C，设，则，而，
故，
而在椭圆上，即，
即，故，C错误；
对于D，由于点为椭圆上的一个动点，故,
则，故，
当且仅当共线时，且P在之间时等号成立，
而，，
故的最小值为，D正确，
故选：AD.
12. 如图，已知正方体的棱长为1，若点E、F是正方形内（包括边界）的动点，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. 点E到的最大距离为
B. 点F的轨迹是一个圆
C. 的最小值为
D. 直线与平面所成角正弦值的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A：由，得，分析得的轨迹为圆，再求最值即可；选项B：由平面，而点在上，即的轨迹为线段；选项C：由E的轨迹为圆，的轨迹为线段，可分析得；选项D：建立空间直角坐标系，用向量法求最值.
【详解】对于A:，即，所以，
即点E在面内，以为圆心、半径为的圆上，
所以，当位于中点时，到直线的距离最大，
取的中点，连接，由题意得平面，
平面，所以，又因为，，
平面，所以平面，平面，
所以，所以到直线的距离最大为，故A正确；
对于B： 正方体中，，又，且，
所以平面，所以点F在上，即的轨迹为线段，故B错误；
对于C：在平面内，
到直线的距离为当点，落在上时，；故C正确；
对于D：
建立如图示的坐标系，则，
，
由B选项的证明过程可知：的轨迹为线段，
所以设，则，则，
而
设平面的法向量，则有，
不妨令，则，
设与平面所成角为，
则：
当时，有最大值，故D正确；
故选：ACD
【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：
（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 已知直线，，则直线与间距离为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】据平行直线间的距离公式求解即可.
【详解】直线，，
则，
则两直线间的距离为，
故答案为：.
14. 若抛物线上一点到焦点的距离为，则____．
【答案】
【解析】
【分析】利用焦半径公式求解.
【详解】点到焦点的距离为,则，解得
故答案为：
15. 已知数列{}满足，且，则＝________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可证明数列是以为首项，3为公差的等差数列，即可求出数列{}的通项公式.
【详解】对两边同时取倒数，
所以，则，
所以数列是以为首项，3为公差的等差数列，
所以，
所以.
故答案为：.
16. 已知椭圆的右焦点为F，过点F作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，弦的垂直平分线交x轴于点P，若，则椭圆C的离心率为________．
【答案】
【解析】
【分析】设直线的方程, 代入椭圆方程，由韦达定理, 弦长公式及中点坐标公式，求得中点坐标 坐标，求得垂直平分线方程，当时，即可求得点坐标，代入即可求得，即可求得，即可求得和的关系，即可求得椭圆的离心率.
【详解】因为倾斜角为的直线过点，即直线的斜率为1，
可知直线必与椭圆C相交，
设直线的方程为: ，，线段的中点，
联立方程 ，化为，
则，
可得，
且，，即，
可得的垂直平分线为:，
令 ，解得 ，即，
可知，
由题意可得：，则 ，
所以椭圆的离心率为.
故答案为: .
【点睛】方法点睛：椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
四、解答题（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 己知数列为等差数列，，．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算求得首项和公差，再由等差数列的通项公式，即可得解；
（2）采用分组求和法，结合等差、等比数列的求和公式，即可得解．
【小问1详解】
设数列的公差为，
因为，，
所以，，解得，，
所以数列的通项公式为．
【小问2详解】
，
所以
．
18. 已知圆C的方程为：．
（1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值；
（2）过点作圆C的切线，求切线方程．
【答案】（1）或；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解；
（2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解．
【小问1详解】
圆的方程为：，
则圆的圆心为，半径为2，
直线与圆相交于、两点，且，
则，解得或；
【小问2详解】
当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切，
切线的斜率存在时，可设切线为，即，
由切线的定义可知，，解得，
故切线方程为，
综上所述，切线方程为或．
19. 如图，在直三棱柱中，，，，点M、N分别为和的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）证明：平面．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）可将直三棱柱补成一个长方体，利用异面直线的定义求解几何角，即可利用三角形的边角关系求解；
（2）找线线平行即可得．
【小问1详解】
直三棱柱中，，作，且，
连接，作，且，连接，，则得到长方体，
底面为边长为2的正方形，对角线长．
连接相交于，连接,
由于分别是，的中点，所以
则为异面直线与所成角或其补角，
，，,
则，
,
中，；
故异面直线与所成角的余弦值
【小问2详解】
在正方形中，为的中点，
也为的中点，又为的中点，则，
在长方体中，,所以四边形为平行四边形，故，，
平面，平面，平面．
20. 已知数列中，，数列的前n项和满足：．
（1）证明；数列是等比数列，并求通项公式；
（2）设，且数列的前n项和，求证：．
【答案】（1）证明见解析，
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由数列的通项与前项和的关系，结合等比数列的定义、通项公式，可得所求；
（2）由对数的运算性质和数列的裂项相消求和，结合不等式的性质，可得证明．
【小问1详解】
由数列的前项和，满足，
可得时，，
上面两式相减可得，即，
则，
当时，，即，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，可得，即；
【小问2详解】
，
，
则
．
21. 如图1所示，四边形中，，，，，，点M为的中点，点N为上一点，且，现将四边形沿翻折，使得与重合，得到如图2所示的几何体，其中．
（1）证明：平面；
（2）若点P是棱上一动点，当二面角的正弦值为时，试确定点P的位置．
【答案】（1）见解析 （2）点为靠近的三等分点.
【解析】
【分析】（1）先根据勾股定理逆定理得到，再根据线面垂直的判定定理和性质得到，并且利用勾股定理的逆定理得到，最后利用线面垂直的判定定理证得平面；
（2）先建立合适的空间直角坐标系，再写出相关点及向量的坐标，设求出，最后利用向量的夹角公式和同角三角函数的基本关系求得结果．
【小问1详解】
∵四边形中，，，，，
M为的中点，且，
∴四边形为正方形，且边长为，
∴题图2中，四边形是边长为的正方形，故，
又，，∴，∴，
又，，平面，平面，
∴平面，∵平面，∴，
易知，∴，∴，
又，平面，平面，
∴平面；
【小问2详解】
由（1）知平面，又，
以N为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，
设，则，
∴，，，
设平面的法向量为，则，
令，令，则，∴，
设平面的法向量为，则，
令，则，，∴，
设二面角的所成角为，所以，
∴，
即，即，
解得：或（舍去），故，
故点为靠近的三等分点.
22. 已知双曲线的右焦点，渐近线方程．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点F的直线l与双曲线C的右支交于A、B两点，交y轴于点P，若，，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求面积的取值范围．
【答案】22.
23. 证明见解析 24.
【解析】
【分析】（1）根据双曲线渐近线方程及求得，写出双曲线方程；
（2）联立直线：与双曲线方程得韦达定理，由，用表示，将韦达定理代入后计算为定值；
（3）将表示为的函数，分析单调性求范围.
【小问1详解】
依题意，，渐近线方程．
所以，又因为，解得：，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，双曲线的渐近线方程为，
依题意，直线的斜率存在，且，
设直线的方程为：，
由，消去并整理得：，设，
则，
而点，则，
因为，则有，即，同理，
所以，为定值.
【小问3详解】
由（2）知，点，，，
因为，令，而函数在上单调递减，即，
因此，所以.
所以三角形的面积的取值范围.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.