第4讲《因数与倍数》案例讲义+练习专项—人教版小升初数学总复习

这是一份第4讲《因数与倍数》案例讲义+练习专项—人教版小升初数学总复习，共14页。试卷主要包含了因数和倍数的意义，找因数的方法，找倍数的方法，求两个数的最大公因数的方法，求两个数的最小公倍数的方法等内容，欢迎下载使用。

考点1：因数和倍数
▒考点归纳
1.因数和倍数的意义。
如果a×b=c(a、b、c均为正整数),那么c就是a和b的倍数,a和b就是c的因数。
2.找因数的方法。
找因数时，可以一对一对地找。
(1)用乘法找。把一个数写成两个自然数相乘的形式，只要找到所有的乘法算式，就可以找到这个数的全部因数。
(2) 用除法找。用这个数分别除以1,2,3,……能正好整除的，这个除数与对应的商就是这个数的因数。
3.找倍数的方法。
一个数和任意非0自然数的乘积都是这个数的倍数。找一个数的倍数时，可以先写出这个自然数本身,然后用这个自然数分别乘2, 3, 4,……求出对应的积即可。
※易错提示：①因数和倍数是相互依存的，不能说哪个数是因数，哪个数是倍数。
②一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。一个数最小的因数是1，最大的因数和最小的倍数是它本身。
▒例题精选
例1：36的因数有( )，共( )个。
解析：本题考查的是找一个数的因数的方法。要求一个数的因数有多少个，只要一一写出它的因数，再数数就可以知道了。36 的因数有1, 2, 3, 4, 6, 9，12，18, 36,共9个。
解答：1，2，3, 4, 6, 9，12, 18, 369
▒ 举一反三1
1.已知A=3×4×7,则A的全部因数有( )个。
2. 写出24的全部因数。李强写出了8个: 1, 24, 2, 3, 8, 4, 6。按照李强的思考方法,你知道他漏写了排在( ) 后面的( )。
3.48名同学站成长方形队伍，一共有多少种不同的站法? (一行站1名同学或48名同学的情况除外)
考点2：2、3、5的倍数特征
▒考点归纳
2的倍数的特征:个位上的数字是0, 2, 4, 6, 8。
3的倍数的特征:各个数位上的数字的和是3的倍数。
5的倍数的特征:个位、上的数字是0或5。
2和5的倍数的特征:个位上的数字是0。
※易错提示：同时是2、3、5的倍数的数，个位上的数字是0，并且各个数位上的数字之和是3的倍数。
▒例题精选
例2：7▢3▢这个四位数同时是2、3、5的倍数，所以它的个位只能填( ),百位可以填( )。
解析：此题考查的是2、3、5的倍数的特征。一个数同时是2和5的倍数，这个数个位上的数字一定是0，同时是3的倍数，要使各个数位上的数字和是3的倍数，千位、十位、个位的和是3+7+0=10,所以百位上填2，5，8都是3的倍数。解答：2,5,8
▒ 举一反三2
1.7▢8▢里有因数2和3，同时是5的倍数，个位上能填( )， 百位上最大能填( )。
2.从下面4张数字卡片中选出3张，按要求组成三位数。(每小题写出2个数即可)
(1)2的倍数: ；
(2)3的倍数: ；
(3)5的倍数: ；
(4)2和3的公倍数: ；
(5)2和5的公倍数: ；
考点3：奇数和偶数
▒考点归纳
1.奇数:在自然数中，不是2的倍数的数叫作奇数。
2.偶数:在自然数中，是2的倍数的数叫作偶数。
3.数的奇、偶性。
奇数±奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数
奇数×奇数=奇数 奇数×偶数=偶数 偶数×偶数=偶数
※易错提示：自然数不是奇数就是偶数,最小的奇数是1，没有最大的奇数;最小的偶数是0,没有最大的偶数。
▒例题精选
例3：三个连续偶数的和是120，这三个偶数分别是多少?
解析：三个连续偶数的平均数是120÷3=40， 所以40是中间的偶数，其中最小的偶数比中间的偶数小2，最大的偶数比中间的偶数大2。
解答：120÷3=40；40-2=38；40+2=42
答:这三个连续偶数分别是38、40、42。
▒ 举一反三3
1.已知五个连续奇数之和是135,这五个连续奇数中最小的奇数是( )。
2.如果a是奇数，b是偶数，下面结果是奇数的式子是( )。
A. a+b B.2a+b C.2a+2b D.2(a+b)
3.桌子上放着29个杯口朝上的水杯，每次翻动4个水杯，经过若干次翻动，能使全部水杯的杯口朝下吗?
考点4：质数和合数
▒考点归纳
1.质数和合数的意义。
(1)质数:一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数(或素数)。
(2)合数:一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。
2.质因数。
(1)质因数:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫作这个合数的质因数。
(2)分解质因数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
(3)分解质因数的方法一般有两种: (以60为例)
分解法： 短除法
60=2×2×3×5 60=2×2×3×5
※易错提示：0和1既不是质数也不是合数。最小的质数是2，2是偶数中唯一
的质数,最小的合数是4。
▒例题精选
例4：有一个长方体，前面与上面的面积之和是77cm2， 如果这个长方体的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少立方厘米?
解析：长方体上、下每个面的面积=长×宽，前、后每个面的面积=长×高，前面和上面的面积之和=长×(宽+高)，即:长×(宽+高)= 77=7×11。因为长、宽、高都是质数，所以只能是77=(2+5)×11。由此可求出体积。
解答：77=7×11=(2+5)×11 2×5×11=110(cm3)
答:这个长方体的体积是110cm3
▒ 举一反三4
1. 20以内既是偶数又是质数的数是( )，既是奇数又是合数的数有( )。
2.用1和8两张数字卡片组成的两位数，一定是( )。
A.奇数 B.偶数 C.质数 D.合数
3.三个不同的质数x、y、z,满足x+y=z,则x×y×z的最小值是( )。
A. 6 B.15 C.20 D.30
考点5：公因数和公倍数
▒考点归纳
1. 公因数和最大公因数:几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。其中最大的那个叫作这几个数的最大公因数。
2.公倍数和最小公倍数:几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。其中最小的那个叫作这几个数的最小公倍数。
3.互质数:只有公因数1的两个数叫作互质数。
4.求两个数的最大公因数的方法:一般采用枚举法、短除法和缩小倍数法。
5.求两个数的最小公倍数的方法:一般采用枚举法、 短除法和扩大倍数法。
※易错提示：如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公
因数，较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数互质，那么这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
▒例题精选
例5：已知P=2×3×n, Q=3×3×n, 如果P、Q的最大公因数是15,那么n=( ), P、Q的最小公倍数是( )。
解析：P=2×3×n
Q=3×3×n;
P和Q公有的因数是3和n，最大公因数是3×n=15，则n=15+3=5。
P和Q公有的质因数是3和5，独有的质因数有2, 3两个，因此最小公倍数是2×3×3×5=90。
解答：5 90
▒ 举一反三5
1.如果a=3b(a、b均为非0的自然数)，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
2.A=5×7×m, B=3×5×m, 如果A、B的最小公倍数是210，那么m=( )。
3.六(3)班有学生40多人，如果站成人数相等的6行后还多3人，如果站成人
数相等的7行则还差4人。六(3)班共有学生多少人?
4.有两根铁丝，长分别是75cm和90cm,现把它们截成相等的小段，并且没有剩余。每段最长是多少厘米?一共可以截成多少段?
第4讲：因数与倍数过关测试卷
时间：30分钟 分值：100分
班级： 姓名： 得分：
一、填空题(每空2分，共26分)
1.在1~20中：奇数有( ),
偶数有( )，质数有( )，合数有( )。
2.两个质数的和是31,这两个质数的积是( )。
3.同时是2、3、5的倍数的最小三位数是( )。
4.a与b都是非0自然数，且a是b的，a和b的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。
5. a和b的最大公因数是1，则最小公倍数是( )。
6.在▢里填上合适的数，使得17▢45▢同时是2、3、5的倍数，共有( )种填法 。
7.小明的QQ号码是由9位数字组成的: 5A13B47CD。其中A的最大因数是8，B是最小的质数，C是2和3的公倍数, D既是奇数也是合数，小明的QQ号码是( )
8.三个连续奇数的和是51,这三个数是( )。
9. 两个数的最大公因数是12，最小公倍数是180，其中一个数是60， 另一个数是( )。
二、判断题(每题2分，共12分)
1.因为117=3×39，所以3和39都是117的质因数。 ( )
2.一个数的因数总比这个数的倍数小。 ( )
3.22 和23没有公因数，所以22和23是互质数。 ( )
4.一个数如果是9的倍数，那么它一定也是3的倍数。 ( )
5.一个自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。 ( )
6.因为4.5÷3=1.5,所以4.5是3的倍数，3是4.5的因数。( )
三、选择题(每题3分，共27分)
1. 54是6和9的( )。
A.倍数 B.公因数 C.公倍数 D.最小公倍数
2.学具盒里有一些正方形纸板，小红用这些正方形纸板能摆出3种不同的长方
形。下面对于正方形纸板个数的描述，正确的是( )。
A.一定是3的倍数 B. 一定是奇数 C.一定是合数 D.一定是偶数
3. 40名同学站成一排，从左往右按1, 2, 3, 4,…的顺序依次报数,先让所报数是4的倍数的同学向右转，再让报数是3的倍数的同学向右转，则有( )名同学转了2次。
A. 1 B. 2 C.3 D.4
4.8▢是一个两位数,关于这个两位数，说法正确的是( )。
A.▢里填3、6或9时,有因数3 B.▢里填9时，是质数
C.▢里填0时，是2、3和5的公倍数 D.▢里填0时，是奇数
5.边长是整厘米数，面积是165cm2的形状不同的长方形共有( )个。
A.165 B.11 C.13 D. 4
6.有4个水杯，杯口向下放着,规定每次只能把3个杯子同时调换方向，则最少经过( )次调换后, 杯口全部向上。
A.3 B.4 C.6 D. 8
7.六年级150名学生排成4行。如果前3行的人数都是奇数，那么第4行
的人数( )。
A.是奇数 B.是偶数 C.无法确定
8.在0, 3, 6, 5这4个数字中选择3个数字,组成-一个同时是2,3,5的倍数的最小三位数是( )。
A.305 B.350 C.360 D.630
9.著名的“ 哥德巴赫猜想”有一个命题是:每一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数(即奇质数)之和。下列式子中反映这个猜想的是( )。
A.18=1+17 B.5=2+3 C.20=7+13 D.8=2+6
四、填表(8分)
五、解决问题(27 分)
1.星期天，光明小学组织两个年级的学生去春游，每个年级都有3个班,每个班的人数都相同。张老师为同学们每人都买了1瓶5元的饮料。张老师让同学们计算一共花了多少钱。
军军:“我计算的结果是1089元。”梅梅: “ 我计算的结果是1208元。”
磊磊:“我计算的结果是960元。”
你认为谁的计算结果可能是正确的?为什么? (4 分)
2. 在庆祝“六一” 晚会上，学校买了48个苹果和36个橘子,平均分给小演员们，正好分完。这个晚会的小演员最多有多少人?平均每人分到多少个苹果? (4 分)
3.中山公园是1路公交车和3路公交车的起点站，1路公交车4分钟发一次，3路公交车6分钟发一次，当两路公交车同时发车后，至少要经过多少分钟又同时发车?(4分)
4.用长8cm、宽6 cm的长方形拼成一个正方形， 至少需要多少个这样的长方形? (5分)
5.张大叔决定在一个长60 m、宽25 m的长方形池塘四周等距离地栽树，每个顶点都要裁，至少要裁多少棵树? (5分)
6.甲每秒跑3m， 乙每秒跑4 m,丙每秒跑2 m。三人沿600 m的环形跑道从同一出发点同时同向开始跑步，那么最少经过多少分钟后,三人又同时从出发点出发?(5分)
参考答案
▒ 举一反三1
1. 12
2. 212
3. 8种
▒ 举一反三2
1.09
2. (答案不唯一)
(1)340 430
(2)345 543
(3)345 35
(4)450 540
(5)450 540
▒ 举一反三3
1. 23
2. A
3.不能使全部水杯的杯口朝下。因为每次翻动4个,是偶数个,无论翻动多少次,翻动的总个数是偶数,而29是奇数,所以无论经过多少次翻动,都不能使全部水杯的杯口朝下。
▒ 举一反三4
1.29和15
2. D
3. D
▒ 举一反三5
1.b a
2. 2
3. 6×7+3=45(人)
4. 75和90的最大公因数是15,所以每段最长是15cm。
75÷15=5(段)；90÷15=6( 段)；5+6=11(段)；一共可以截成11段。
过关训练
一、奇数：1,3,5,7,9,11,13,15,17，19
偶数：2,4,6,8,10,12,14,16,18 ,20
质数：2,3,5,7,11,13,17,19.
合数：4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20
2. 58
3. 120
4. a b
5. ab
6. 3
7. 581324769
8. 15、17、19
9. 36
二、1.× 2.× 3.× 4.√ 5.× 6.×
三、1.C 2.C 3.C 4.B 5.D 6.B 7.A 8.C 9. C
四、15 90 24 144 25 75 1 195
五、1.磊磊的计算结果可能是正确的。因为根据题意可知,求一花了多少钱,实际就是求2、3、5的倍数,再根据2、3、5的倍数的特征，这个数的个位的数字一定是0。
2. 12人 4个
3. 12分钟
4. 6和8的最小公倍数是24。
(24÷6)×(24÷8)= 12(个)
5. 60和25的最大公因数是5。
(60+25)×2÷5=34(棵)
6.600÷3=200(秒)；600÷4= 150(秒)；600÷2=300(秒)
200,150,300的最小公倍数是600, 600秒=10分钟,所以最少经过10 分钟后,三人又同时从出发点出发。
最大公因数
最小公倍数
30和45
48和72
25和75
13和15