河南省平顶山市等2地普高联考2023届高三测评（四）文科数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省平顶山市等2地普高联考2023届高三测评（四）文科数学试题（Word版附解析），共23页。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求解，进而逐项分析判断.
【详解】由题意可得：，
所以，，，，
故A、C、D错误，B正确.
故选：B.
2. 已知复数的共轭复数为，且，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】先根据复数的乘法运算和加减法运算化简，再根据复数相等的定义即可得解.
【详解】由题意，
则，即，
化简得，
所以，解得，
所以.
故选：D.
3. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平面向量数量积的运算，结合三角函数求值问题求解即可.
【详解】已知向量，,
因为,
所以,
所以,
又,
则,
则,
故选：A.
4. 设是等差数列的前n项和，若，则（ ）
A. 15B. 30C. 45D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的性质求出，再根据等差数列前n项和公式即可得解.
【详解】由题意得，所以，
所以.
故选：C.
5. 塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称“佛塔”．如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度约为（ ）（参考数据：，）
A. 13米B. 24米C. 39米D. 45米
【答案】C
【解析】
【分析】在Rt△ABC根据∠ACB的正切得AB与BC的关系，在△BCD中利用正弦定理列式即可求解．
【详解】设，则，
在中，，由正弦定理得，
因为，
代入数据，解得（米），
故选：C．
6. 函数的大致图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先由函数的奇偶性判断出B,D错误，再结合当时得出答案．
【详解】设，，
由，得奇函数，故B,D错误；
由，故A正确，C错误，
故选：A．
7. 记不等式组的解集为D，现有下面四个命题：
，；，；
，；，．
其中真命题的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】作出不等式组所表示的区域，再逐项的作出对应直线，观察所作直线与可行域的关系，再利用存在命题与全称命题的概念进行判断即可求解.
【详解】不等式组的解集D表示的可行域如图中阴影部分所示，依据图（1）知命题为真命题，依据图（2）知命题为真命题，
依据图（3）知命题为假命题，依据图（4）知命题为真命题．所以真命题有3个，
故选：C．
8. 函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若关于实数t的不等式恒成立，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】易得函数是偶函数，不等式可化为，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】因为函数是定义在上奇函数，
所以，所以，
所以函数是偶函数，
又，
则，即为，
即，
又因在区间上单调递增，
所以，解得或，
所以t的取值范围是.
故选：A.
9. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于点A，B，与抛物线的准线交于点M，且点A位于第一象限，F恰好为AM的中点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为N，E，根据抛物线的定义，又F恰好为AM的中点，可得到比例，进一步推导得到的值.
【详解】如图，
过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为N，E，根据抛物线的定义得，，因为F为AM的中点，所以，又，所以，所以.
故选：A
10. 任意写出一个正整数，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成，如果是个偶数，则下一步变成，无论是怎样一个数字，最终必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．它可以表示为数列（为正整数），，若，则的所有可能取值之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】列举出的可能情况，可得出的所有可能取值，相加即可得解.
【详解】由题意，的可能情况有：
①；②；
③；④；
⑤；⑥；
所以，的可能取值集合为，的所有可能取值之和为.
故选：B.
11. 若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】有函数在区间上有两个零点可知，由在上单调递增可求出的取值范围，然后联立即可求出答案.
【详解】解：由题意得：
函数在上恰有两个零点，
，
解得：①，
又在上单调递增，
，解得：②，
由①②式联立可知的取值范围是.
故选：B
12. 已知双曲线的上焦点为，点P在双曲线的下支上，若，且的最小值为7，则双曲线E的离心率为（ ）
A. 2或B. 3或C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线定义将转化为，数形结合即可求解.
【详解】设双曲线的下焦点为，可知，
则，即，
则，
当且仅当三点共线时，等号成立，
由题意可得，且，
因为在上单调递增，且，
所以方程，且，解得，
则，所以双曲线E的离心率为.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在正项等比数列中，，，则__________．
【答案】24
【解析】
【分析】根据题意利用等比中项运算求解.
【详解】因为为等比数列，则，
且，所以.
故答案为：24.
14. 疫情防控期间，学校从2名男教师和3名女教师中任选2人参加志愿者服务，则选中的2人都是女教师的概率为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】记男老师为，女老师为，任选两人，基本事件有：
，共个，
其中个都是女老师的事件有：，共个.
所以选中的2人都是女教师的概率为.
故答案为：
15. 已知点和，点M满足，直线与点M的轨迹相切，则直线l的倾斜角为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】设，根据题意可得点M的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，结合直线方程利用数形结合分析求解.
【详解】设，则，整理得，
所以点M的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，
因为直线表示过定点直线，斜率为的直线，
设直线与圆的切点为，则直线l的倾斜角为，

则，可得，
且为锐角，可得，所以直线l的倾斜角为.
故答案为：.
16. 在菱形ABCD中，，，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，CD上，且，，将沿MN折叠到，使，则三棱锥的外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设MN与BD的交点为H，连接，证明平面ABC，设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，过，分别作平面ABC，平面的垂线，设两垂线交于点O，则O是三棱锥外接球的球心，先求出两外接圆的半径，再求出三棱锥的外接球的半径即得解.
【详解】如图所示，因为，，
所以，设MN与BD的交点为H，连接，
因为，，所以，
则，，所以，
又，则，则，
又，，平面ABC，
所以平面ABC，
设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，
过，分别作平面ABC，平面的垂线，
设两垂线交于点O，则O是三棱锥外接球的球心，
且四边形为矩形，
设的外接圆半径为，在中，由，解得，
同理可得的外接圆半径，所以，
设三棱锥外接球半径为R，
则，
则三棱锥的外接球的表面积.
故答案为：．
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；
④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求；
（2）点D在线段AC上，且，若的面积为，，求BD的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和得正弦公式化简即可得解；
（2）先根据三角形的面积公式及已知求出，再利用余弦定理即可得解.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得，
即，
即，
又，所以，
又，所以；
【小问2详解】
由，得，
又，则，
则，解得，所以，
则，
所以，
所以.
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，，点M在底面ABCD上的射影为CD的中点O，E为线段AD上的点（含端点）．

（1）若E为线段AD的中点，证明：平面平面MAD；
（2）若，且三棱锥的体积为，求实数的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）易得平面ABCD，根据线面垂直的性质可得，再利用勾股定理证明，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）由（1）可得中边上的高为，再根据棱锥的体积公式即可得解.
【小问1详解】
∵点M在底面ABCD上的射影为CD的中点O，∴平面ABCD，
又平面ABCD，∴，
∵O为线段CD的中点，E为线段AD的中点，∴，，
∵，由余弦定理得，
则，则，
∵，平面MOE，∴平面MOE，
又∵平面MAD，∴平面平面MAD；
【小问2详解】
由（1）可得，
中边上的高为，
则，
则，
所以.
19. 某公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，统计了近5年的年营销费用和年销售量，得到的散点图如图所示，对数据进行初步处理后，得到一些统计量的值如下表所示．
表中，，，．已知可以作为年销售量y关于年营销费用x的回归方程．
（1）求y关于x的回归方程；
（2）若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估计该公司每年投入多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益销售利润营销费用固定成本）
参考数据：，．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
【答案】（1）
（2）该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大
【解析】
【分析】(1)根据题目要求可知，y关于x的回归方程为非线性的，设，可得，代入已知条件所给的数据，计算即可.(2)列出年收益与营销费用的关系式，通过求导来求得最值.
【小问1详解】
由得，，令，，，则．
由表中数据可得，，
则，所以．
即，因为，所以，
故所求的回归方程为．
【小问2详解】
设年收益为W万元，则，
对求导，得，
令，解得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
因此，当时W有最大值，即该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大．
20. 已知椭圆的右焦点为F，离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过右焦点F且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为Q，经过坐标原点O和点Q的直线m与椭圆C交于M，N两点，求四边形AMBN的面积的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由题得到关于的方程，解方程即得解；
（2）设直线l的方程为，联立椭圆C的方程得到韦达定理，设线段AB的中点为，求出它的坐标，求出、点M，N到直线l的距离，再化简求出即得解.
【小问1详解】
设椭圆右焦点的坐标为，则，即，
又，则，
因为点在椭圆上，
所以，即，解得，
则，，所以椭圆C的标准方程为．
【小问2详解】
由（1）知，因为直线l的斜率不为0，所以可设直线l的方程为，
代入椭圆C的方程，消去x化简得，
设，，则，．
设线段AB的中点为，则，，即，则直线m的方程为，
代入椭圆C的方程可得，不妨设，．
，
点M，N到直线l的距离分别为，，
则四边形AMBN的面积为．
因为点M，N在直线l的两侧，所以，
因为，所以．
因此，四边形AMBN的面积的取值范围为．
21. 已知函数．
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）证明：当时，对任意的，恒成立．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，再根据导数几何意义即可得解；
（2）要证，即证，构造函数，，利用导数求出函数的最小值，证明其最小值大于零即可.
【小问1详解】
当时，，
，
则，
所以在点处的切线方程为，
即；
【小问2详解】
要证当时，对任意的，恒成立，
即证，
令，，
则，
令，，则，
当时，，则函数在上单调递增，
则当时，，即，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，
当时，，所以函数在上单调递减，
而，，
所以存在，使得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
而，
，
令，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
所以当时，，
综上所述，当时，对任意的，，
即当时，对任意的，恒成立．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，直线l的参数方程为其中t为参数，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，其中为参数．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程，并画出曲线C的简图（无需写出作图过程）；
（2）直线与曲线C相交于A，B两点，且，求值．
【答案】（1），，作图见解析；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）消去参数，即可得出直线的普通方程.根据公式即可求得曲线C的直角坐标方程.然后根据方程作图即可；
（2）设点A位于第一象限，由图象集合已知条件可推出，.由，可求得.然后根据的范围，即可得出的值．
【小问1详解】
将直线的参数方程消去t，得普通方程为．
曲线C的极坐标方程为，即，
又，，，所以曲线C的直角坐标方程为．
则曲线C的简图如图所示．
【小问2详解】
不妨设点A位于第一象限，结合图形和直线可知，
，，
则，
所以.
又，所以，
则或，所以或．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数的最小值为m．
（1）在直角坐标系中画出的图象，并求出m的值；
（2）a，b，c均为正数，且，求的最小值．
【答案】（1）作图见解析，
（2）3
【解析】
【分析】(1)写出f(x)解析式，按照一次函数图象画法即可画出图象，根据图象即可求出最小值m；
(2)利用基本不等式得，，，三式相加即可求得的最小值．
【小问1详解】
由题知
描点，，，，连线得的图象如图所示．
通过图象可知，当时，函数的最小值为，即．
【小问2详解】
由(1)知，，
，，，
三个式子相加得，当且仅当时等式成立，
∴的最小值为3．