湖北省新洲区部分学校2023-2024学年高三上学期期末联考数学试题（Word版附答案）

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数学试卷
考试用时：120分钟 满分：150分 2024.01
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若（为虚数单位），则（ ）
A．0B．1C．D．
3．已知平面向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功．载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级（単位：dB）与声强x（单位：）满足关系式：．若某人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为（ ）
A．138dBB．132dBC．128dBD．122dB
6．已知一次函数在坐标轴上的截距相等且不为零，其图像经过点，令，，记数列的前项和为，当时，的值等于（ ）
A．19B．20C．21D．22
7．函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．设函数在上的导函数为，在上，且，有，则以下大小关系一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9．若、、，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则B．若，则
C．若且，则D．
10．如图，已知二面角的棱上有A，B两点，，，，，且，则（ ）
A．当时，直线与平面所成角的正弦值为
B．当二面角的大小为时，直线与所成角为
C．若，则三棱锥的外接球体积的为
D．若，则二面角的余弦值为
11．已知是定义在上的不恒为零的函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若对任意，，总有，则是奇函数
B．若对任意，，总有，则是偶函数
C．若对任意，，总有，则
D．若对任意，，总有，则
12．已知双曲线的一条渐近线方程为，圆上任意一点处的切线交双曲线于两点M、N．（ ）
A．或2
B．若与双曲线左、右两支相交，则的斜率的取值范围是
C．满足的直线有且仅有一条
D．为定值，且定值为2
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是_________．
14．若直线和直线与圆的四个交点构成正方形，则_________．
15．如图，桌面上的无盖正方体容器内装有高度为的水，，现将容器绕着棱所在直线顺时针旋转，容器中溢出的水刚好装满一个半径为的半球形玻璃瓶，此时容器内水面交棱于距三分之一棱处，不考虑容器厚度及其它因素影响，则_________．
16．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）已知函数是定义在上的奇函数，且
（1）求m，n的值；
（2）求使成立的实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）某在建小区为了提高绿化率，创造更美好的生活环境，计划再建一个花坛．其设计如图所示，已知米，．
（1）若，，求边的长；
（2）若，求花坛面积的最大值；
19．（本小题满分12分）如图（1）所示，在中，，，，垂直平分．现将沿折起，使得二面角大小为，得到如图（2）所示的四棱锥．
图（1） 图（2）
（1）求证：平面平面；
（2）若点Q为一动点，且，当锐二面角余弦值为时，求四棱锥的体积．
20．（本小题满分12分）已知函数，．
（1）若的极大值为1，求实数的值：
（2）若，求证：
21．（本小题满分12分）已知正项递增等比数列满足，是方程的两根．
（1）求数列的通项公式．
（2）数列依次为：，，，，，，，，，，，，，，…，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，求数列的前60项的和．
22．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，B，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．
（1）求的方程；
（2）设椭圆上两点M，N满足直线与在轴上的截距之比为1：3，试判断直线是否过定点，并说明理由．
2023~2024学年度上学期期末
新洲区部分学校高中三年级质量检测
数学试卷参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．B 7．D 8．A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．BD10．ABD11．ACD12．BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．14．715．16．
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
【详解】（1）是定义在上的奇函数，则在上恒成立
，即在上恒成立，则，
所以，又因为，得，所以，．
（2）由（1）知，．因为是定义在上的奇函数，
所以由，得，
设，且，则，
，，，，
，，在上是增函数．
所以即，解得．故实数的取值范围是．
18．（本小题满分12分）
【详解】（1）连接，因为，，
所以是等边三角形，所以，，而，
所以在中，，
由余弦定理得，
即，所以米．
（2）在中，设，
由正弦定理得，即，所以米，
所以
因为，所以当时，四边形面积取得最大值，
即花坛面积的最大值为平方米．
19．（本小题满分12分）
【详解】（1）因为，，，所以由余弦定理得，
于是，从而，．
因为垂直平分，所以，，
又，，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
（2）由（1）知为平面与平面的二面角的平面角，故．
又，所以为等边三角形，
取中点，连接，，则，，
所以为二面角的平面角，又面面，所以．
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设，由得，
所以，得
所以，
设平面的一个法向量为，
由，令，则，．
设平面的一个法向量为，同理可求．
于是或（舍）．
所以，故，
所以四棱锥的体积为．
20．（本小题满分12分）
【详解】：（1）函数定义域为，，
当时，，在上递增，函数无极值；
当时，由得，由得，
所以在上递增，在上递减，
故当时，的极大值为，所以．
（2）当时，故要证，即证．
令，则，．
令，，
得到在上单调递增，又因为，，
所以，使得，即，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为，即，
所以，
所以，即，故得证．
21．（本小题满分12分）
【详解】（1）设的公比为，则由，是方程的两根得，所以，即．
解得或．又因为为递增等比数列，所以，．
所以．
（2）因为所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，
由于，，
，．
因此数列的前60项中含有的前10项，含有中的前50项，
所求和为．
22．（本小题满分12分）
【详解】（1）由，又圆与轴正半轴交于点，
圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为，所以点在椭圆上，
所以，即，又，所以，故的方程为．
（2）设，故由截距之比为1：3，可设，
由，消元得，
所以，故，从而．
由，消元得，
所以，故，从而．
故，，
若直线过定点，根据对称性可知定点落在轴上，设定点为，
则，
即，
所以化简可得，