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考点35 空间直线、平面的平行12种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)
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这是一份考点35 空间直线、平面的平行12种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)，文件包含考点35空间直线平面的平行12种常见考法归类原卷版docx、考点35空间直线平面的平行12种常见考法归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共178页， 欢迎下载使用。
考点一 线面平行的判断
考点二 直线与平面平行的证明
利用三角形的中位线证明线面平行
（二） 构造平行四边形证明线面平行
（三） 利用对应线段成比例证明线面平行
（四） 利用线面平行的性质证明线面平行
（五） 通过面面平行证线面平行
（六） 利用空间向量法证线面平行
考点三 直线与平面平行的探索性问题
考点四 利用线面平行的性质证线线平行
考点五 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置
考点六 由线面平行求线段长度
考点七 面面平行的判断
考点八 平面与平面平行的证明
（一）利用面面平行的判定证明面面平行
（二）利用空间向量法证明面面平行
考点九 平面与平面平行的探索性问题
考点十 利用面面平行证线线平行或线面平行
考点十一 平行关系的综合应用
考点十二 翻折类问题
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
2．线面平行的判定定理必须具备三个条件
(1)直线a在平面α外，即a⊄α；
(2)直线b在平面α内，即b⊂α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．
3．应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④线段成比例法．
提醒：线面平行判定定理应用的误区
(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．
(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．
4．线面平行的证明方法
（1）定义法：一般用反证法；
（2）判定定理法：关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；
（3）性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面.
5．线面平行性质的应用
证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已知平面的交线平行.在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．
利用面面平行的性质证明直线与平面平行
关键是构造过该直线与所证平面平行的平面，这种方法往往借助于比例线段或平行四边形．
7．证明方法“一找二作三证明”
“一找二作三证明”是证明线面平行的常用方法，此证明方法分为三步，具体的操作流程如下：
第一步，就是“一找”：根据直线与平面平行的判定定理，要证明线面平行，只需要在这个平面内“找”出一条直线与已知直线平行即可.其次是“一找”的原则：一是要“找”的是线线平行，二是要在一个平面图形中“找”.
第二步，就是“二作”：在分析题意之后，若不能直接“找”到所需要证明的线线平行的关系，则进入“二作”的程序.从三个方面去理解"二作"，第一方面"作"就是作辅助线或辅助平面，有简单的“作”或复杂的“作”；第二方面，每一次"作"的时候都要围绕证明所需去"作"，要证平行关系就去“作”线线平行；第三方面，要把线线平行的关系“作”在一个平面图形中.
第三步，就是"三证明"：经过第一或第二步的操作之后，再按照分析的思路，快速而且规范地写出证明命题的整体过程.在"三证明"中要注意三点，第一，数学符号要标准，几何语言表述要规范；第二，书写要有层次性；第三，最后表述证明结果时要严格遵守判定定理的条件.
8．线线平行的常见找法依据：
9．寻找线线平行技巧：
（1）初学者可以拿一把直尺放在位置（与平齐），如图一；
（2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二；
（3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接，如图三；
（4）此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），，如图四．
图一图二图三图四
10．面面平行的判定定理和性质定理
11．平面与平面平行其他常用判定、性质
(1)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
(6)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(7)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(8)同一条直线与两个平行平面所成的角相等.
12．证明面面平行的常用方法
（1）利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合
（2）利用面面平行的判定定理；
（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行（l⊥α，l⊥β⇒α∥β）；
（4）利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行（α∥β，β∥γ⇒α∥γ）.
13．面面平行条件的应用
(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行；
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．
注：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.
14．线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．
性质
性质
性质
判定
判定
判定
线∥面
线∥线
面∥面
15．空间位置平行关系的向量表示
考点一 线面平行的判断
1．（2023·全国·高三对口高考）如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线和平面的位置关系是_________．
2．（2023·全国·高三对口高考）过直线l外两点作与l平行的平面，那么这样的平面（ ）
A．不存在B．只有一个C．有无数个D．不能确定
3．（2023·北京·101中学校考三模）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在平面与直线垂直
B．四边形可能是正方形
C．不存在平面与直线平行
D．任意平面与平面垂直
考点二 直线与平面平行的证明
（一）利用三角形的中位线证明线面平行
7．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）在如图所示的三棱锥中，已知，为的中点，为的中点，为的中点.
(1)证明：平面.
(2)求平面与平面所成锐角的余弦值.
8．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）如图，在三棱柱中，平面，，，，点D是棱的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出与长度的比值，若不存在，说明理由．
9．（2023·广东汕头·统考三模）如图，四棱锥的底面为正方形，，E为PB的中点，已知，.
(1)证明：平面；
(2)求点C到平面的距离；
(3)若平面平面，求直线EC与平面所成角的正弦值.
10．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）如图，在四棱锥中，正方形的边长为2，平面平面，且，，点分别是线段的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)求直线与平面所成角的大小.
11．（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体中，四边形是边长为4的正方形，，△ABC是正三角形．
(1)若为AB的中点，求证：直线平面；
(2)若点在棱上且，求点C到平面的距离．
（二） 构造平行四边形证明线面平行
12．（2023·全国·模拟预测）如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，，.
(1)若为的中点，求证：平面；
(2)若多面体的体积为32，求的值.
13．（2023·全国·高三对口高考）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，E、F分别是、的中点，又二面角大小为.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)设，求点A到平面的距离.
14．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
15．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，为等边三角形，为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)当=时，求证：平面⊥平面，并求点与到平面的距离.
16．（2023·广东广州·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，，，点为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
17．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）如图,四棱锥中,底面为的中点.
(1)若点在上,,证明:平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
18．（2023·江西南昌·统考三模）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，平面，，，G在上，且．
(1)求证：平面；
(2)若与所成的角为，求多面体的体积．
19．（2023·上海奉贤·校考模拟预测）如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且.
(1)求证：直线EC与平面ABD没有公共点；
(2)求点C到平面BED的距离.
（三） 利用对应线段成比例证明线面平行20．（2023·四川·校联考模拟预测）在四棱锥中，平面，四边形为矩形，为棱的中点，与交于点为的重心.
(1)求证：平面；
(2)已知，，若与平面所成角的正切值为，求到平面的距离.
21．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，四边形为矩形，为棱的中点，与交于点为的重心.
(1)求证：平面；
(2)已知，若到平面的距离为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
22．（2023·全国·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，分别为棱的中点，为线段的中点．
(1)证明：平面．
(2)求二面角的正弦值．
23．（2023·四川内江·校考模拟预测）在直角梯形中，，，，直角梯形绕直角边旋转一周得到如下图的圆台，已知点分别在线段上，二面角的大小为．
(1)若，，，证明：平面；
(2)若，点为上的动点，点为的中点，求与平面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值．
24．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图1，在平行四边形中，，，为的中点，，，沿将翻折到的位置，如图2，.
(1)证明：平面；
(2)求平面和平面的夹角.
（四） 利用线面平行的性质证明线面平行
25．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
26．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，，，分别为的中点，平面与底面的交线为.
(1)证明：平面.
(2)若三棱锥的体积为，试问在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角为，异面直线所成角为，且满足？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.
27．（2023·山东泰安·统考模拟预测）四棱锥中，底面为矩形， ，，平面与平面的交线为.
(1)求证：直线平行于平面；
(2)求二面角的余弦值.
（五） 通过面面平行证线面平行
28．（2023·陕西安康·统考三模）如图，四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，分别是棱，，的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离．
29．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）如图，在三棱锥中，，，为点在平面上的射影，为的中点．
(1)证明：∥平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
30．（2023·河南驻马店·统考二模）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，，，分别是棱，的中点．
(1)证明：平面．
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
31．（2023·青海西宁·统考二模）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，AB＝BC＝2，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)从条件①：AB⊥MN，条件②：BM＝MN中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
32．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，，E，F分别是棱，的中点.
(1)证明：平面.
(2)若，求点到平面的距离.
（六） 利用空间向量法证线面平行
33．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为棱AB，的中点，，，.
(1)证明：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.
34．（2023·北京密云·统考三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
35．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
36．（2023·天津·校联考模拟预测）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求点到直线的距离；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由．
37．（2023·天津河西·统考三模）已知直三棱柱中，，，，D,E分别为的中点，F为CD的中点.
(1)求证：//平面ABC；
(2)求平面CED与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
38．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
考点三 直线与平面平行的探索性问题
39．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）如图（1），点E是直角梯形ABCD底边CD上的一点，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE＝2，将沿AE折起，使得D－AE－B成直二面角，连接CD和BD，如图（2）．
(1)求证：平面平面BCD；
(2)在线段BD上确定一点F，使得平面ADE.
40．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，与交于点M，，的中点分别为N，O，如图所示.
(1)在平面内找一点D，使平面，并加以证明；
(2)求二面角的正弦值.
41．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点.
(1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；
(2)若，，点到平面的距离为，且点在底面的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值.
42．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）如图，三棱锥中，底面与侧面是全等三角形，侧面是正三角形，，，，，，，分别是所在棱的中点，平面与平面相交于直线．
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离．
43．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，为中点.
(1)在棱上是否存在点，使得平面？说明理由；
(2)若平面，，求平面与平面所成角的余弦值.
考点四 利用线面平行的性质证线线平行
44．（2023·全国·高三对口高考）如图所示，已知是平行四边形，点P是平面外一点，M是的中点，在上取一点G，过G和作平面交平面于，则与的位置关系是_________．
45．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）如图所示，在三棱柱中，是中点，平面，平面与棱交于点，，
(1)求证：；
(2)若与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．
46．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，，E为线段AD的中点.PE⊥底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G.
(1)求证：；
(2)若PC与AB所成的角为，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值.
47．（2023·山东聊城·统考三模）如图，三棱台中，，是的中点，点在线段上，，平面平面．
(1)证明：；
(2)若平面平面，，，求直线与平面所成角的正弦值．
48．（2023·重庆万州·统考模拟预测）如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．
(1)若平面平面，证明：；
(2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求．
49．（2023·全国·高三对口高考）如图，在为等腰直角三角形，，D、E分别是边和的中点，现将沿折起，使面面，H、F分别是边和的中点，平面与、分别交于I、G两点．
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求的长．
考点五 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置
50．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）如图，在三棱锥中，点是的中点，点在上，平面与平面相交于直线，∥l．
(1)证明：是的中点；
(2)若平面平面，，是边长为2的正三角形，，点在直线上且不与重合，求平面与平面的夹角的余弦值．
51．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知正方体，点为中点，直线交平面于点.
(1)证明：点为的中点；
(2)若点为棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
52．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.
(1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置；
(2)若，求锐二面角的大小.
考点六 由线面平行求线段长度
53．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点．
(1)若平面，求的长度；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
54．（2023·全国·校考模拟预测）在底面为等边三角形的三棱柱中，已知平面ABC，，，D是棱的中点，M是四边形内的动点，若平面ABD，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
55．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，，点在上.
(1)若平面，求；
(2)若是的中点，求二面角的正弦值.
56．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）如图，在三棱锥中，为中点，为上一点，，上有点，平面.
(1)求的值；
(2)若平面，，，求二面角的正弦值.
考点七 面面平行的判断
57．（2023·全国·高三专题练习）设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行B．，垂直于同一个平面
C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一条直线
58．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知是空间两个不同的平面，命题：“”，命题：“平面内有无数条直线与平行”，则是的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
59．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知两条不同的直线l，m及三个不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出的是（ ）
A．l与α，β所成角相等B．，
C．，，D．，，
60．（2023·全国·高三对口高考）正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，
①与平行；
②与是异面直线；
③与平面平行；
④平面与平面平行．
以上四个命题中，正确命题的序号是_________．
61．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出下面六个命题：
①，，则；②若，，则；
③，，则；④若，，则；
⑤若，，则；⑥若，，则.
其中真命题的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
考点八 平面与平面平行的证明
（一）利用面面平行的判定证明面面平行
62．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．
(1)求证：平面平面PCD；
(2)求二面角P－EF－O的正弦值．
63．（2023·全国·模拟预测）如图，在几何体中，四边形是等腰梯形，四边形是正方形，且平面平面，，，，分别是，的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
64．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．
(1)求证：平面平面PCD；
(2)求三棱锥的体积．
65．（2023·全国·高三对口高考）如图，如图1，在直角梯形中，．把沿对角线折起到的位置，如图2所示，使得点P在平面上的正投影H恰好落在线段上，连接，点E，F分别为线段，的中点．
(1)求证：平面//平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在一点M，使得M到点四点的距离相等？请说明理由．
66．（2023·四川南充·统考三模）如图所示，已知是圆锥底面的两条直径，为劣弧的中点．
(1)证明：；
(2)若，为线段上的一点，且，求证：平面平面．
67．（2023·河北·统考模拟预测）在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，.
(1)求证：平面平面；
(2)设，，试确定的值，使得直线与平面所成角的正弦值为.
（二）利用空间向量法证明面面平行
68．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长1，侧棱长4，AA1中点为E，CC1中点为F．
(1)求证：平面BDE∥平面B1D1F；
(2)连结B1D，求直线B1D与平面BDE所成的角的大小．
69．（2023·全国·高三专题练习）如图，在八面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是，，．
(1)证明：平面平面；
(2)设为的重心，是否在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求到平面的距离，若不存在，说明理由．
考点九 平面与平面平行的探索性问题
70．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．
(1)求证：平面．
(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．
71．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．
72．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，分别为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)在底面四边形内部（包括边界）是否存在点，使得平面平面？如果存在求点的位置，并求的最大值，如果不存在请说明理由.
73．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，，，为的中点．
(1)求证：平面.
(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
74．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，，，，，，分别是，的中点，H是AB边上一动点.
(1)是否存在点使得平面平面，若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
(2)求多面体的体积.
考点十 面面平行性质的应用
75．（2023·全国·高三对口高考）如图所示，平面平面，，则_________．
76．【多选】（2023春·湖北孝感·高三校联考阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．夹在两个平行平面间的平行线段相等
B．三个两两垂直的平面的交线也两两垂直
C．如果直线平面，，那么过点且平行于直线的直线有无数条，且一定在内
D．已知，为异面直线，平面，平面，若直线满足，，，，则与相交，且交线平行于
考点十一 平行关系的综合应用
77．【多选】（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）如图，正方体的棱长为3，E为AB的中点，，动点M在侧面内运动（含边界），则（ ）
A．若∥平面，则点M的轨迹长度为
B．平面与平面ABCD的夹角的正切值为
C．平面截正方体所得的截面多边形的周长为
D．不存在一条直线l，使得l与正方体的所有棱所成的角都相等
78．（2023·四川·校联考模拟预测）在直四棱柱中，所有棱长均为2，，为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论中错误的是（ ）
A．当点在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．若平面，则的最小值为
C．若的外心为，则为定值2
D．若，则点的轨迹长度为
79．【多选】（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）如图，在正三棱柱中，分别是棱的中点，连接是线段的中点，是线段上靠近点的四等分点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面平面
B．三棱锥的体积与正三棱柱的体积之比为
C．直线与平面所成的角为
D．若，则过三点作平面，截正三棱柱所得截面图形的面积为
80．【多选】（2023·江苏南通·统考模拟预测）如图，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，，，P，Q分别为棱，BC的中点，则（ ）
A．平面B．平面平面
C．三棱柱的侧面积为D．三棱锥的体积为
考点十二 翻折类问题
81．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.
(1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置；
(2)若，求四棱锥的体积.
82．（2023·北京·高三专题练习）如图，矩形ABCD中，，M为BC的中点，将沿直线AM翻折，构成四棱锥，N为的中点，则在翻折过程中，
①对于任意一个位置总有平面；
②存在某个位置，使得；
③存在某个位置，使得；
④四棱锥的体积最大值为．
上面说法中所有正确的序号是____________．
83．（2023·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值．
84．【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且，，现将沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）
A．B．存在点P，使得
C．存在点P，使得D．三棱锥的体积最大值为
85．【多选】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，矩形中，、分别为、的中点，且，现将沿问上翻折，使点移到点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．三棱锥的体积最大值为
D．当三棱锥的体积达到最大值时，三棱锥外接球表面积为
86．（2023·广东深圳·统考模拟预测）在正三角形中，、、分别是、、边上的点，满足：：：：如图将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结如图
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求直线与平面所成角的大小．
文字语言
图形语言
符号语言
判
定
定
理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊄α,b⊂α,a∥b))⇒a∥α
性
质
定
理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l∥α,l⊂β,α∩β＝b))⇒l∥b
（1）构造三角形的中位线
证明线面平行，通常需运用线面平行的判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.那么在证明线面平行时，需找到一组平行线，使得其中一条直线在平面外，另一条直线在平面内.若已知一条线段的中点，且平面内或外的一条直线为三角形的底边，则可过三角形的中点作三角形的中位线，那么就可以根据三角形中位线的性质：中位线平行且等于底边的一半，来证明线面平行.在构造三角形的中位线时，要注意关注中点、线段的垂直平分线、三角形的重心等信息，结合图形的特征寻找中位线。
（2）构造平行四边形
我们知道，平行四边形的对边平行且相等.在证明线面平行时，可根据图形的特点，找到一组对边平行且相等的线段，分别将这四点连接，便可构造出平行四边形，使另一组对边分别为平面内外的一条直线，即可根据平行四边形的性质和线面平行的判定定理证明线面平行.通过直观观察，若平面内的一条直线与平面外的一条直线长度相等，一般猜想构造平行四边形，这时利用平行四边形对边平行得出线线平行，进而得到线面平行。
（3）利用相似比寻找线平行
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，这也是得到线面平行的一种有力工具。题目中出现比值关系时，可考虑利用比值关系，寻找线线平行，进而得到线面平行。
（4）利用直线与平面平行的性质定理寻找线线平行
利用直线与平面平行的性质定理得到直线与直线平行，进而得到直线与平面平行。先证明线面平行（或题目已知线面平行），再利用线面平行的性质定理，得到线线平行，进而得到线面平行。
（5）构造平行平面
面面平行的性质有很多，常见的有：（1）若两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行.在证明线面平行时，只要证明直线所在的平面和平面平行，那么就可以根据面面平行的性质，证明直线和平面平行.当构造三角形和平行四边形困难时，可以考虑构造平行平面.若要证明平面，只需构造一个平面//平面，且，那么根据平行平面的性质，即可证明平面.在构造平行平面时，可在平面内作一条直线，使其平行于.也可直接根据正方体、长方体、直棱柱的性质构造平行平面.
（6）利用线面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行.
（7）平行线的传递性
平行于同一条直线的两条直线平行.
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a⊂α,b⊂α))⇒α∥β
性质
定理
两个平面平行如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b)) ⇒a∥b
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝kn2（k∈R）
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝km（k∈R）
考点一 线面平行的判断
考点二 直线与平面平行的证明
利用三角形的中位线证明线面平行
（二） 构造平行四边形证明线面平行
（三） 利用对应线段成比例证明线面平行
（四） 利用线面平行的性质证明线面平行
（五） 通过面面平行证线面平行
（六） 利用空间向量法证线面平行
考点三 直线与平面平行的探索性问题
考点四 利用线面平行的性质证线线平行
考点五 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置
考点六 由线面平行求线段长度
考点七 面面平行的判断
考点八 平面与平面平行的证明
（一）利用面面平行的判定证明面面平行
（二）利用空间向量法证明面面平行
考点九 平面与平面平行的探索性问题
考点十 利用面面平行证线线平行或线面平行
考点十一 平行关系的综合应用
考点十二 翻折类问题
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
2．线面平行的判定定理必须具备三个条件
(1)直线a在平面α外，即a⊄α；
(2)直线b在平面α内，即b⊂α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．
3．应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④线段成比例法．
提醒：线面平行判定定理应用的误区
(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．
(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．
4．线面平行的证明方法
（1）定义法：一般用反证法；
（2）判定定理法：关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；
（3）性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面.
5．线面平行性质的应用
证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已知平面的交线平行.在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．
利用面面平行的性质证明直线与平面平行
关键是构造过该直线与所证平面平行的平面，这种方法往往借助于比例线段或平行四边形．
7．证明方法“一找二作三证明”
“一找二作三证明”是证明线面平行的常用方法，此证明方法分为三步，具体的操作流程如下：
第一步，就是“一找”：根据直线与平面平行的判定定理，要证明线面平行，只需要在这个平面内“找”出一条直线与已知直线平行即可.其次是“一找”的原则：一是要“找”的是线线平行，二是要在一个平面图形中“找”.
第二步，就是“二作”：在分析题意之后，若不能直接“找”到所需要证明的线线平行的关系，则进入“二作”的程序.从三个方面去理解"二作"，第一方面"作"就是作辅助线或辅助平面，有简单的“作”或复杂的“作”；第二方面，每一次"作"的时候都要围绕证明所需去"作"，要证平行关系就去“作”线线平行；第三方面，要把线线平行的关系“作”在一个平面图形中.
第三步，就是"三证明"：经过第一或第二步的操作之后，再按照分析的思路，快速而且规范地写出证明命题的整体过程.在"三证明"中要注意三点，第一，数学符号要标准，几何语言表述要规范；第二，书写要有层次性；第三，最后表述证明结果时要严格遵守判定定理的条件.
8．线线平行的常见找法依据：
9．寻找线线平行技巧：
（1）初学者可以拿一把直尺放在位置（与平齐），如图一；
（2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二；
（3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接，如图三；
（4）此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），，如图四．
图一图二图三图四
10．面面平行的判定定理和性质定理
11．平面与平面平行其他常用判定、性质
(1)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
(6)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(7)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(8)同一条直线与两个平行平面所成的角相等.
12．证明面面平行的常用方法
（1）利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合
（2）利用面面平行的判定定理；
（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行（l⊥α，l⊥β⇒α∥β）；
（4）利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行（α∥β，β∥γ⇒α∥γ）.
13．面面平行条件的应用
(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行；
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．
注：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.
14．线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．
性质
性质
性质
判定
判定
判定
线∥面
线∥线
面∥面
15．空间位置平行关系的向量表示
考点一 线面平行的判断
1．（2023·全国·高三对口高考）如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线和平面的位置关系是_________．
2．（2023·全国·高三对口高考）过直线l外两点作与l平行的平面，那么这样的平面（ ）
A．不存在B．只有一个C．有无数个D．不能确定
3．（2023·北京·101中学校考三模）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在平面与直线垂直
B．四边形可能是正方形
C．不存在平面与直线平行
D．任意平面与平面垂直
考点二 直线与平面平行的证明
（一）利用三角形的中位线证明线面平行
7．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）在如图所示的三棱锥中，已知，为的中点，为的中点，为的中点.
(1)证明：平面.
(2)求平面与平面所成锐角的余弦值.
8．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）如图，在三棱柱中，平面，，，，点D是棱的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出与长度的比值，若不存在，说明理由．
9．（2023·广东汕头·统考三模）如图，四棱锥的底面为正方形，，E为PB的中点，已知，.
(1)证明：平面；
(2)求点C到平面的距离；
(3)若平面平面，求直线EC与平面所成角的正弦值.
10．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）如图，在四棱锥中，正方形的边长为2，平面平面，且，，点分别是线段的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)求直线与平面所成角的大小.
11．（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体中，四边形是边长为4的正方形，，△ABC是正三角形．
(1)若为AB的中点，求证：直线平面；
(2)若点在棱上且，求点C到平面的距离．
（二） 构造平行四边形证明线面平行
12．（2023·全国·模拟预测）如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，，.
(1)若为的中点，求证：平面；
(2)若多面体的体积为32，求的值.
13．（2023·全国·高三对口高考）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，E、F分别是、的中点，又二面角大小为.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)设，求点A到平面的距离.
14．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
15．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，为等边三角形，为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)当=时，求证：平面⊥平面，并求点与到平面的距离.
16．（2023·广东广州·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，，，点为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
17．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）如图,四棱锥中,底面为的中点.
(1)若点在上,,证明:平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
18．（2023·江西南昌·统考三模）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，平面，，，G在上，且．
(1)求证：平面；
(2)若与所成的角为，求多面体的体积．
19．（2023·上海奉贤·校考模拟预测）如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且.
(1)求证：直线EC与平面ABD没有公共点；
(2)求点C到平面BED的距离.
（三） 利用对应线段成比例证明线面平行20．（2023·四川·校联考模拟预测）在四棱锥中，平面，四边形为矩形，为棱的中点，与交于点为的重心.
(1)求证：平面；
(2)已知，，若与平面所成角的正切值为，求到平面的距离.
21．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，四边形为矩形，为棱的中点，与交于点为的重心.
(1)求证：平面；
(2)已知，若到平面的距离为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
22．（2023·全国·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，分别为棱的中点，为线段的中点．
(1)证明：平面．
(2)求二面角的正弦值．
23．（2023·四川内江·校考模拟预测）在直角梯形中，，，，直角梯形绕直角边旋转一周得到如下图的圆台，已知点分别在线段上，二面角的大小为．
(1)若，，，证明：平面；
(2)若，点为上的动点，点为的中点，求与平面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值．
24．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图1，在平行四边形中，，，为的中点，，，沿将翻折到的位置，如图2，.
(1)证明：平面；
(2)求平面和平面的夹角.
（四） 利用线面平行的性质证明线面平行
25．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
26．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，，，分别为的中点，平面与底面的交线为.
(1)证明：平面.
(2)若三棱锥的体积为，试问在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角为，异面直线所成角为，且满足？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.
27．（2023·山东泰安·统考模拟预测）四棱锥中，底面为矩形， ，，平面与平面的交线为.
(1)求证：直线平行于平面；
(2)求二面角的余弦值.
（五） 通过面面平行证线面平行
28．（2023·陕西安康·统考三模）如图，四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，分别是棱，，的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离．
29．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）如图，在三棱锥中，，，为点在平面上的射影，为的中点．
(1)证明：∥平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
30．（2023·河南驻马店·统考二模）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，，，分别是棱，的中点．
(1)证明：平面．
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
31．（2023·青海西宁·统考二模）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，AB＝BC＝2，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)从条件①：AB⊥MN，条件②：BM＝MN中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
32．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，，E，F分别是棱，的中点.
(1)证明：平面.
(2)若，求点到平面的距离.
（六） 利用空间向量法证线面平行
33．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为棱AB，的中点，，，.
(1)证明：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.
34．（2023·北京密云·统考三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
35．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
36．（2023·天津·校联考模拟预测）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求点到直线的距离；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由．
37．（2023·天津河西·统考三模）已知直三棱柱中，，，，D,E分别为的中点，F为CD的中点.
(1)求证：//平面ABC；
(2)求平面CED与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
38．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
考点三 直线与平面平行的探索性问题
39．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）如图（1），点E是直角梯形ABCD底边CD上的一点，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE＝2，将沿AE折起，使得D－AE－B成直二面角，连接CD和BD，如图（2）．
(1)求证：平面平面BCD；
(2)在线段BD上确定一点F，使得平面ADE.
40．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，与交于点M，，的中点分别为N，O，如图所示.
(1)在平面内找一点D，使平面，并加以证明；
(2)求二面角的正弦值.
41．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点.
(1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；
(2)若，，点到平面的距离为，且点在底面的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值.
42．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）如图，三棱锥中，底面与侧面是全等三角形，侧面是正三角形，，，，，，，分别是所在棱的中点，平面与平面相交于直线．
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离．
43．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，为中点.
(1)在棱上是否存在点，使得平面？说明理由；
(2)若平面，，求平面与平面所成角的余弦值.
考点四 利用线面平行的性质证线线平行
44．（2023·全国·高三对口高考）如图所示，已知是平行四边形，点P是平面外一点，M是的中点，在上取一点G，过G和作平面交平面于，则与的位置关系是_________．
45．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）如图所示，在三棱柱中，是中点，平面，平面与棱交于点，，
(1)求证：；
(2)若与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．
46．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，，E为线段AD的中点.PE⊥底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G.
(1)求证：；
(2)若PC与AB所成的角为，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值.
47．（2023·山东聊城·统考三模）如图，三棱台中，，是的中点，点在线段上，，平面平面．
(1)证明：；
(2)若平面平面，，，求直线与平面所成角的正弦值．
48．（2023·重庆万州·统考模拟预测）如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．
(1)若平面平面，证明：；
(2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求．
49．（2023·全国·高三对口高考）如图，在为等腰直角三角形，，D、E分别是边和的中点，现将沿折起，使面面，H、F分别是边和的中点，平面与、分别交于I、G两点．
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求的长．
考点五 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置
50．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）如图，在三棱锥中，点是的中点，点在上，平面与平面相交于直线，∥l．
(1)证明：是的中点；
(2)若平面平面，，是边长为2的正三角形，，点在直线上且不与重合，求平面与平面的夹角的余弦值．
51．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知正方体，点为中点，直线交平面于点.
(1)证明：点为的中点；
(2)若点为棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
52．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.
(1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置；
(2)若，求锐二面角的大小.
考点六 由线面平行求线段长度
53．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点．
(1)若平面，求的长度；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
54．（2023·全国·校考模拟预测）在底面为等边三角形的三棱柱中，已知平面ABC，，，D是棱的中点，M是四边形内的动点，若平面ABD，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
55．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，，点在上.
(1)若平面，求；
(2)若是的中点，求二面角的正弦值.
56．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）如图，在三棱锥中，为中点，为上一点，，上有点，平面.
(1)求的值；
(2)若平面，，，求二面角的正弦值.
考点七 面面平行的判断
57．（2023·全国·高三专题练习）设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行B．，垂直于同一个平面
C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一条直线
58．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知是空间两个不同的平面，命题：“”，命题：“平面内有无数条直线与平行”，则是的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
59．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知两条不同的直线l，m及三个不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出的是（ ）
A．l与α，β所成角相等B．，
C．，，D．，，
60．（2023·全国·高三对口高考）正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，
①与平行；
②与是异面直线；
③与平面平行；
④平面与平面平行．
以上四个命题中，正确命题的序号是_________．
61．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出下面六个命题：
①，，则；②若，，则；
③，，则；④若，，则；
⑤若，，则；⑥若，，则.
其中真命题的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
考点八 平面与平面平行的证明
（一）利用面面平行的判定证明面面平行
62．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．
(1)求证：平面平面PCD；
(2)求二面角P－EF－O的正弦值．
63．（2023·全国·模拟预测）如图，在几何体中，四边形是等腰梯形，四边形是正方形，且平面平面，，，，分别是，的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
64．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．
(1)求证：平面平面PCD；
(2)求三棱锥的体积．
65．（2023·全国·高三对口高考）如图，如图1，在直角梯形中，．把沿对角线折起到的位置，如图2所示，使得点P在平面上的正投影H恰好落在线段上，连接，点E，F分别为线段，的中点．
(1)求证：平面//平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在一点M，使得M到点四点的距离相等？请说明理由．
66．（2023·四川南充·统考三模）如图所示，已知是圆锥底面的两条直径，为劣弧的中点．
(1)证明：；
(2)若，为线段上的一点，且，求证：平面平面．
67．（2023·河北·统考模拟预测）在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，.
(1)求证：平面平面；
(2)设，，试确定的值，使得直线与平面所成角的正弦值为.
（二）利用空间向量法证明面面平行
68．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长1，侧棱长4，AA1中点为E，CC1中点为F．
(1)求证：平面BDE∥平面B1D1F；
(2)连结B1D，求直线B1D与平面BDE所成的角的大小．
69．（2023·全国·高三专题练习）如图，在八面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是，，．
(1)证明：平面平面；
(2)设为的重心，是否在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求到平面的距离，若不存在，说明理由．
考点九 平面与平面平行的探索性问题
70．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．
(1)求证：平面．
(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．
71．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．
72．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，分别为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)在底面四边形内部（包括边界）是否存在点，使得平面平面？如果存在求点的位置，并求的最大值，如果不存在请说明理由.
73．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，，，为的中点．
(1)求证：平面.
(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
74．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，，，，，，分别是，的中点，H是AB边上一动点.
(1)是否存在点使得平面平面，若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
(2)求多面体的体积.
考点十 面面平行性质的应用
75．（2023·全国·高三对口高考）如图所示，平面平面，，则_________．
76．【多选】（2023春·湖北孝感·高三校联考阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．夹在两个平行平面间的平行线段相等
B．三个两两垂直的平面的交线也两两垂直
C．如果直线平面，，那么过点且平行于直线的直线有无数条，且一定在内
D．已知，为异面直线，平面，平面，若直线满足，，，，则与相交，且交线平行于
考点十一 平行关系的综合应用
77．【多选】（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）如图，正方体的棱长为3，E为AB的中点，，动点M在侧面内运动（含边界），则（ ）
A．若∥平面，则点M的轨迹长度为
B．平面与平面ABCD的夹角的正切值为
C．平面截正方体所得的截面多边形的周长为
D．不存在一条直线l，使得l与正方体的所有棱所成的角都相等
78．（2023·四川·校联考模拟预测）在直四棱柱中，所有棱长均为2，，为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论中错误的是（ ）
A．当点在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．若平面，则的最小值为
C．若的外心为，则为定值2
D．若，则点的轨迹长度为
79．【多选】（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）如图，在正三棱柱中，分别是棱的中点，连接是线段的中点，是线段上靠近点的四等分点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面平面
B．三棱锥的体积与正三棱柱的体积之比为
C．直线与平面所成的角为
D．若，则过三点作平面，截正三棱柱所得截面图形的面积为
80．【多选】（2023·江苏南通·统考模拟预测）如图，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，，，P，Q分别为棱，BC的中点，则（ ）
A．平面B．平面平面
C．三棱柱的侧面积为D．三棱锥的体积为
考点十二 翻折类问题
81．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.
(1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置；
(2)若，求四棱锥的体积.
82．（2023·北京·高三专题练习）如图，矩形ABCD中，，M为BC的中点，将沿直线AM翻折，构成四棱锥，N为的中点，则在翻折过程中，
①对于任意一个位置总有平面；
②存在某个位置，使得；
③存在某个位置，使得；
④四棱锥的体积最大值为．
上面说法中所有正确的序号是____________．
83．（2023·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值．
84．【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且，，现将沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）
A．B．存在点P，使得
C．存在点P，使得D．三棱锥的体积最大值为
85．【多选】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，矩形中，、分别为、的中点，且，现将沿问上翻折，使点移到点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．三棱锥的体积最大值为
D．当三棱锥的体积达到最大值时，三棱锥外接球表面积为
86．（2023·广东深圳·统考模拟预测）在正三角形中，、、分别是、、边上的点，满足：：：：如图将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结如图
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求直线与平面所成角的大小．
文字语言
图形语言
符号语言
判
定
定
理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊄α,b⊂α,a∥b))⇒a∥α
性
质
定
理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l∥α,l⊂β,α∩β＝b))⇒l∥b
（1）构造三角形的中位线
证明线面平行，通常需运用线面平行的判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.那么在证明线面平行时，需找到一组平行线，使得其中一条直线在平面外，另一条直线在平面内.若已知一条线段的中点，且平面内或外的一条直线为三角形的底边，则可过三角形的中点作三角形的中位线，那么就可以根据三角形中位线的性质：中位线平行且等于底边的一半，来证明线面平行.在构造三角形的中位线时，要注意关注中点、线段的垂直平分线、三角形的重心等信息，结合图形的特征寻找中位线。
（2）构造平行四边形
我们知道，平行四边形的对边平行且相等.在证明线面平行时，可根据图形的特点，找到一组对边平行且相等的线段，分别将这四点连接，便可构造出平行四边形，使另一组对边分别为平面内外的一条直线，即可根据平行四边形的性质和线面平行的判定定理证明线面平行.通过直观观察，若平面内的一条直线与平面外的一条直线长度相等，一般猜想构造平行四边形，这时利用平行四边形对边平行得出线线平行，进而得到线面平行。
（3）利用相似比寻找线平行
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，这也是得到线面平行的一种有力工具。题目中出现比值关系时，可考虑利用比值关系，寻找线线平行，进而得到线面平行。
（4）利用直线与平面平行的性质定理寻找线线平行
利用直线与平面平行的性质定理得到直线与直线平行，进而得到直线与平面平行。先证明线面平行（或题目已知线面平行），再利用线面平行的性质定理，得到线线平行，进而得到线面平行。
（5）构造平行平面
面面平行的性质有很多，常见的有：（1）若两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行.在证明线面平行时，只要证明直线所在的平面和平面平行，那么就可以根据面面平行的性质，证明直线和平面平行.当构造三角形和平行四边形困难时，可以考虑构造平行平面.若要证明平面，只需构造一个平面//平面，且，那么根据平行平面的性质，即可证明平面.在构造平行平面时，可在平面内作一条直线，使其平行于.也可直接根据正方体、长方体、直棱柱的性质构造平行平面.
（6）利用线面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行.
（7）平行线的传递性
平行于同一条直线的两条直线平行.
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a⊂α,b⊂α))⇒α∥β
性质
定理
两个平面平行如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b)) ⇒a∥b
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝kn2（k∈R）
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝km（k∈R）
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