浙江省嘉兴市第一中学2022-2023学年高三上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份浙江省嘉兴市第一中学2022-2023学年高三上学期期中数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知,则( )
A.B.C.D.
3．设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列为假命题的是( )
A.若,,则B.若,,,则
C.若,,则D.若,,,则
4．已知,则“”是“恒成立”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．若P是圆上任意一点,则点P到直线的距离不可能是( )
A.4B.6C.D.8
6．已知数列的前n项和为,且满足,则( )
A.B.C.D.
7．若函数在处取得极值2,则( )
A.B.C.0D.2
8．若,,且,则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知平面直角坐标系中四点,,,,为坐标原点,则下列叙述正确的是( )
A.
B.若,则
C.当时,A,B,D三点共线
D.若与的夹角为锐角,则
10．直线l与抛物线相交于,,若,则( )
A.直线l斜率为定值B.直线l经过定点
C.面积最小值为4D.
11．在棱长为1的正方体中,点M是的中点,点P,Q,R在底面四边形ABCD内(包括边界),平面,,点R到平面的距离等于它到点D的距离,则( )
A.点P的轨迹的长度为B.点Q的轨迹的长度为
C.PQ长度的最小值为D.PR长度的最小值为
12．若对任意,不等式恒成立,则实数a可能为( )
A.B.eC.3eD.
三、填空题
13．函数在区间上的值域是________.
14．已知的展开式中的系数是20,则实数________.
15．在四面体ABCD中,,,且,,异面直线AB,CD所成角为,则该四面体外接球的表面积为________.
16．设点在椭圆上,点在直线上,则的最小值为________.
四、解答题
17．在锐角中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,.
（1）求角B的大小;
（2）求的取值范围.
18．已知数列中,,点对任意的,都有,数列满足,其中为的前n项和.
（1）求的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
19．已知正三棱柱中,.D是棱上一点.
（1）若,求直线BD与平面ABC所成角的正弦值;
（2）若D是中点,求点A到平面BCD的距离.
20．根据中国海洋生态环境状况公报,从2017年到2021年全国直排海污染物中各年份的氨氮总量y(单位:千吨)与年份的散点图如下:
记年份代码为,,对数据处理后得:
（1）根据散点图判断,模型①与模型
②哪一个适宜作为y关于x的回归方程?（2）根据（1）的判断结果,建立y关于x的回归方程,并预测2022年全国直排海污染物中的氨氮总量(计算结果精确到整数).
参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.
21．已知双曲线,O为坐标原点,离心率,点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程
（2）如图,若直线l与双曲线的左,右两支分别交于点Q,P,且,求的最小值.
22．已知函数.
（1）若,求曲线在点处的切线方程;
（2）若有两个极值点,(),且不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,则,
因此,.
故选:B.
2．答案：D
解析：由已知,,,
所以.
故选:D.
3．答案：C
解析：对于A,,存在直线,使得;又,,,A正确;
对于B,,存在直线,使得,又,,,B正确;
对于C,若,,则或,C错误;
对于D,,,,又,,D正确.
故选:C.
4．答案：B
解析：函数的值域为,则当时,不恒成立.
若恒成立,则说明a小于函数的最小值2,即.
故“”是“恒成立”的必要不充分条件.
故选B.
5．答案：D
解析：如图,
圆的圆心坐标为,半径为1,直线过定点.由图可知,圆心C到直线距离的最大值为,则点P到直线距离的最大值为;当直线与圆有公共点时,点P到直线距离的最小值为0.即距离的范围是.
故选:D.
6．答案：D
解析：当时,,,当时,,两式相减可得,数列是首项为,公比为的等比数列,.
故选:D.
7．答案：A
解析：,
,
又函数在处取得极值2,
则,且,
所以,,经检验满足要求,所以.
故选:A.
8．答案：C
解析：设,,则,,且,,
题目转化为已知,求的最小值,
,
而,
当且仅当,即,时等式成立.
则.
故选:C.
9．答案：AB
解析：对于A选项,,A对;
对于B选项,,,由题意可得,B对;
对于C选项,当时,,
而,显然与不是共线向量,此时,A,B,D三点不共线,C错;
对于D选项,,,
由已知且,不共线,则,解得且,D错.
故选:AB.
10．答案：BCD
解析：,,因为,所以,即,,又,所以,故D正确;
设直线,由得,即,,,即直线l过定点,故B正确;又,则,故A错误;
,当时,面积取最小值,故C正确.
故选:BCD
11．答案：BCD
解析：对于A,取BC的中点N,连接AN,,则,,所以平面,平面,
又平面,平面,,所以平面平面,
又点P在底面四边形ABCD内(包括边界),平面,所以点P的轨迹为线段AN,
因为,所以点P的轨迹的长度为,故A不正确;
对于B,连接DQ,因为Q在底面ABCD上,,所以,解得,
所以点Q的轨迹是以点D为圆心,以为半径的圆,如下图所示,
所以点Q的轨迹的长度为,故B正确;
对于C,过点D作于,交点Q的轨迹于,此时的长度就是PQ长度的最小值,
而,,所以,所以,即,解得,所以,
所以PQ长度的最小值为,故C正确;
,
对于D,因为点R到平面的距离等于它到点D的距离,由正方体的特点得点R到直线AB的距离等于点R到平面的距离,
所以点R到直线AB的距离等于它到点D的距离,根据抛物线的定义知点R的轨迹是以点D为焦点,以AB为准线的抛物线,
以AD的中点为坐标原点O,过点O且垂直于AD的直线为x轴建立平面直角坐标系,如下图所示,
则,,,直线AB的方程为,直线AN的方程为,
则抛物线的方程为,设与直线AN平行且与抛物线相切的直线l的方程为:,
联立,整理得,,解得,
所以直线l的方程为:,
则直线AN与直线l的距离为:,
所以PR长度的最小值为,故D正确,
故选:BCD.
12．答案：ABC
解析：依题意,对任意,恒成立,
即恒成立,即恒成立,即恒成立,
设,,则恒成立,所以在上单调递增,
所以只需对任意的恒成立,
因为,令,则,即,
令,,
则,所以当时,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以,所以,所以
故选:ABC
13．答案：
解析：当时,,
,故,
即的值域为.
故答案为:.
14．答案：
解析：由题知,,
所以展开式中系数是,
解得:.
故答案为:
15．答案：或
解析：由题意可以将四面体ABCD补成一个如图所示的直三棱柱,
因为异面直线AB,CD所成角为,所以或,
设的外接圆半径为r,当时,,,
当时,,则,,
设四面体的外接球半径为R,则,
所以该四面体外接球的半径或,
则外接球的表面积为.或,
故答案为:或
16．答案：2
解析：设,且,
,
当且仅当且时等号成立.
故答案为:2
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
,又B为锐角
,
（2）由正弦定理,
,,
由锐角,故,
故,,.
18．答案：（1）,
（2）
解析：（1）,
可得,是公差为2的等差数列,
,;
（2）由（1）可得,
,
.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）在侧面内作,交棱AC于点E.
因是正三棱柱,故平面ABC,从而平面ABC.
连接BE,则为所求线面角,
另一方面,由且得,
故在中,由余弦定理得,,
因为平面ABC,而BE在平面ABC内,
所以.于是,
故直线BD与平面ABC所成角的正弦值为.
（2）设所求距离为d,则,
而,
故.由题意得,,,
故在中,由余弦定理得,
从而,
因此,,
故点A到平面BCD的距离.
20．答案：（1）模型②适宜作为y关于x的回归方程.
（2）y关于x的回归方程为,预计2022年全国直排海污染物中的氨氮总量为3吨
解析：（1）根据散点图的趋势,可知模型②适宜作为y关于x的回归方程.
（2）,.
故y关于t的回归方程为,即y关于x的回归方程为,2022年对应的年份代码为,,故预计2022年全国直排海污染物中的氨氮总量为3吨.
21．答案：（1）;
（2）24.
解析：（1）因为,所以,.
所以双曲线的方程为,即.
因为点在双曲线上,所以,所以.
所以所求双曲线的方程为.
（2）设直线OP的方程为,则直线OQ的方程为,
由,得,
所以.
同理可得,,
所以.
设,
则,
所以,即(当且仅当时取等号).
所以当时,取得最小值24.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）若,则,
,
则切线的斜率为,又,
所以曲线在点处的切线方程是,即.
（2）,由条件知,是方程的两个根,
所以,则.
所以.
设,可知t的取值范围是,则,
不等式恒成立,等价于恒成立.
设,则恒成立,
.
(i)若,则,所以,在上单调递增,
所以恒成立,所以符合题意;
(ii)若,令,得,令,得
则在上单调递增,在上单调递减,
所以当的取值范围是时,,不满足恒成立.
综上,实数的取值范围是.
6
0.5
1.5
210
76
17