江苏省无锡市2023-2024学年高三上学期期末教学质量调研测试数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省无锡市2023-2024学年高三上学期期末教学质量调研测试数学试题（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了 已如集合，集合，则， 已知，设椭圆等内容，欢迎下载使用。
命题单位：江阴市教师发展中心 制卷单位：无锡市教育科学研究院
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已如集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式求得集合，结合交集运算，可得答案.
【详解】由题意集合，
.
故选：A.
2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 笵三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的运算将化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】因为，
所以复数在复平面内对应的点为，易得该点在第四象限.
故选：D.
3. 已知，是两个不共线的向量，命题甲：向量与共线；命题乙：，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量共线定理即可判断.
【详解】向量与共线等价于.
因为，是两个不共线的非零向量，所以，解得：.
所以甲是乙的充要条件.
故选：C.
4. 从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时托油量（单位：）与速度（单位：（）的下列数据：
为描述汽车每小时枆油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意以及表中数据可知，函数在定义域上单调递增，且函数的图象经过坐标原点，即可判断出最符合实际的函数模型．
【详解】依题意可知，该函数必须满足三个条件：第一，定义域为；第二，在定义域上单调递增；第三，函数经过坐标原点.
对于A选项： 不经过坐标原点，故A不符合;
对于B选项： 满足以上三个条件，故B符合;
对于C选项： 在定义域内单调递减，故C不符合;
对于D选项：当时，无意义，故D不符合;
故选:B.
5. 已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，.若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意及椭圆和双曲线的离心率公式求得的值，写出双曲线的渐近线即可.
【详解】因为，结合离心率公式可得，解得，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
6. 已知直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且.若，分别是侧棱，上的点，且，，则四棱锥的体积为（ ）
A. B. 2C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】通过分析得到为四棱锥的高，计算体积即可.
【详解】取的中点，连接，
由直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，
所以易得，
所以,
又因为面，且面，
所以,
又因为且面，
所以面，故为四棱锥的高.
易得到，四边形的面积为,
所以四棱锥的体积为,
故选：A.
7. 已知是等比数列的前项和，且存在，使得，，成等差数列.若对于任意的，满足，则（ ）
A. B. C. 32D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】借助等比数列知识，利用，，成等差数列，求出，再利用，求出，再计算即可.
【详解】因为，，成等差数列，所以
即，
即，
所以，
因为数列是等比数列，且，
所以，
，
所以，即，
所以（无解）或，即
又因为，所以，
所以，
所以，
故选：D.
8. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.令函数若存在唯一的整数，使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据函数奇偶性定义求出，表示出，画出图象，分类讨论即可.
【详解】令，，
因为为奇函数，为偶函数.
所以，，
所以可得，
同理可得，
由得，
所以，
要满足存在唯一的整数，使得不等式成立，
而，
当时，，显然不成立，
当时，要使只有一个整数解，
因为
所以，即.
当时，要使只有一个整数解，
因为,
所以，即
综上所述：实数的取值范围为.
故选: B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 第一组样本数据，第二组样本数据，，…，，其中（），则（ ）
A. 第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的2倍
B. 第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的2倍
C. 第二组样本数据的样本标准差是第一组样本数据的样本标准差的2倍
D. 第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的2倍
【答案】CD
【解析】
【分析】根据平均数和标准差的性质以及中位数和极差的概念可得答案.
【详解】设样本数据，的样本平均数为，样本中位数为，样本标准差为，极差为，
对于A,C选项：由，根据平均数和标准差的性质可知，
样本数据，，…,的样本平均数为，故A错误；
样本数据，，…,的样本方差为，所以第二组数据的样本标准差，故C正确；
对于B选项：根据中位数的概念可知，样本数据，，…,的中位数为，故B错误；
对于D选项：根据极差的概念可知, 样本数据，，…，的极差为,故D正确.
故选：CD.
10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 在区间上单调递增
C. 将图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到的图象
D. 函数的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A选项：：将代入验证即可；对于B选项：换元后结合三角函数图象与性质判断即可；对于C选项：利用三角函数得图象变换化简整理即可；对于D选项：借助和差角公式计算即可.
【详解】对于A选项：将代入，得，故的图象不关于点对称,故选项A错误;
对于B选项：在，令，则，
因为，所以，
根据余弦函数图象可知在单调递增，故选项B正确；
对于C选项：将图象上的所有点向右平移个单位长度,
可得到故选项C正确；
对于D选项：,
结合余弦函数的性质可知：，故选项D正确.
故选：BCD.
11. 已知过点的直线与抛物线：相交于、两点，直线：是线段的中垂线，且与的交点为，则下列说法正确的是（ ）
A. 为定值B. 为定值
C. 且D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由两直线位置关系设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出点的坐标，代入即可判断选项A和B ，利用已知条件找出与的关系，结合即可判断选项C和D.
【详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为0，
因为直线过点且与抛物线：相交于、两点，直线：是线段的中垂线，所以设直线：，
联立方程，可得，
所以,，
所以的中点坐标，
由题意可知，点是中点，所以，，
因为在直线：上，所以，
因为，所以，所以为定值，故选项B正确；
因为是变量，所以不是定值，故选项A错误；
因为，，所以，即，
又因为，所以，即，
解得或，故选项C错误；
对选项D，由选项C可得，，
所以，解得，故选项D正确.
故选：BD.
12. 已知在伯努利试验中，事件发生的概率为，我们称将试验进行至事件发生次为止，试验进行的次数服从负二项分布，记作，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则，
B. 若，则，
C. 若，，则
D. 若，则当取不小于的最小正整数时，最大
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用负二项分布的概念可判断AB选项；利用二项分布和负二项分布的概率公式可判断C选项；分析可得，结合负二项分布的概率公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，则，A对；
对于B选项，因为，
则，，B错；
对于C选项，因为从中取出个数的取法有种，
这些取法可按的值分类，即时的取法有种，
所以，，
因为，，设，则，
所以，
，C对；
对于D选项，因为，最大，则，
所以，，解得，
所以，当取不小于的最小正整数时，最大，D对.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查负二项分布问题，解决本题的关键在于正确理解负二项分布的定义，知晓负二项分布的概率公式，结合负二项分布的概率公式求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线与圆相交于两点，则______.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出圆的圆心坐标和半径，计算圆心到直线的距离，再计算弦长即可.
【详解】圆，
，圆心，半径.
圆心到直线的距离.
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系中的弦长问题，熟练掌握弦长公式为解题的关键，属于简单题.
14. 随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙位运动员要与“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这个吉祥物互不相邻的排队方法数为______.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】先将甲、乙、丙位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入位运动员形成的个空位中，利用插空法可得出不同的排队方法种数.
【详解】先将甲、乙、丙位运动员排序，
然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入位运动员形成的个空位的个空位中，
所以，不同的排队方法种数为种.
故答案为：.
15. 已知函数在区间上值域为，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】先得到，根据得到，根据值域得到方程，检验后求出答案.
【详解】由题意得，当时，，
由于在区间上的值域为，
故①或②，
解①得，满足
解②得，不满足，舍去，
综上，的值为.
故答案为：
16. 已知函数，若函数的图象在点和点处的两条切线相互平行且分别交轴于、两点，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由可得出，利用弦长公式得出，利用导数求出函数在上的值域，即可为所求.
【详解】当时，，，则，
当时，，，则，
因为函数的图象在点和点处的两条切线相互平行，
则，即，则，
，，
所以，，
令，其中，则，
当时，，此时函数在上单调递减，
当时，，此时函数在上单调递增，
所以，，因此，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用切线斜率相等得出、所满足的关系式，然后将转化为含的函数，转化为函数的值域问题求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设数列满足，，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式.
【答案】17. 证明见解析
18.
【解析】
【分析】（1）整理题目中的等式，根据等比数列的定义，可得答案；
（2）根据等比数列的通项公式，利用累加法，可得答案.
【小问1详解】
由，
则，
所以，
由，，则
故数列为等比数列.
【小问2详解】
由（1）可知数列是以为首项，以3为公比，
故，，
则；；
.
由累加法可得：，
由，则
18. 在中，角的对边分别为，，，已知的面积为.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）借助面积公式与余弦定理以及同角三角函数的平方关系计算即可.
（2）借助三角函数的相关知识求出，利用配凑角及二倍角公式计算即可.
【小问1详解】
结合题意：的面积为,
，
结合余弦定理可得：，
所以，解得，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，易得为锐角，
所以，所以，
由上问可知,,
所以，
所以,整理得,
即，解得（舍去），或.
19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，是线段的中点.
（1）若，求证：平面；
（2）若，，且平面与平面夹角的正切值为，求线段的长.
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）首先证平面ACD，通过证明四边形BGFE是平行四边形，得，进而得证；
（2）利用空间向量法求解即可
【小问1详解】
取AC的中点G，连接BG、FG，因为，所以,
又因为 平面平面，平面ABC平面 ，，
所以CD平面ABC，平面ABC，所以，因为，平面,
所以平面ACD，又因为是线段的中点，
所以且，且，所以且，
四边形BGFE是平行四边形，所以，所以平面
【小问2详解】
如图建系
因为，又，所以,
又因为，，所以四边形BCDE是直角梯形，
所以
设，所以，，，
所以，，
设平面ADE的一个法向量，
所以，
平面ABC的法向量，设平面ABC与平面ADE夹角为，
所以，，所以，
所以，，所以
20. 为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验.根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）
（1）依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性；
（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物进行治疗.已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为.若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的.记选取的3只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望.
附：，
【答案】20. 药物对预防疾病有效果. 21. 答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据公式算出卡方，与表格中的数据比较即可.
（2）结合全概率公式先求概率，每名志愿者用药互不影响，且实验成功概率相同，X服从二项分布求分布列和数学期望即可．
【小问1详解】
零假设为:药物对预防疾病无效果，
根据列联表中的数据，经计算得到
,
根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，
即认为药物对预防疾病有效果.
【小问2详解】
设A表示药物的治愈率，表示对未服用过药物 , 表示服用过药物由题，，，
且，，
.
药物的治愈率，
则，所以，
，
，
，
X的分布列如下表所示
．
21. 在直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过动点（）的直线交轴于点，交于点（点在第一象限），且.作点关于轴的对称点，连接并延长交于点.证明：直线斜率不小于.
【答案】（1）;
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意列出关于动点的轨迹表达式，化简整理即可.
（2）设直线的方程为,借助及韦达定理，求出的坐标，表示并化简直线斜率，利用基本不等式计算即可.
【小问1详解】
结合题意：设点到定直线：的距离为，则，
所以，化简得.
故的方程为.
【小问2详解】
由题意可知：直线的斜率存在，故可设直线的方程为，
设,所以，，
因为，所以，且在椭圆内部.
所以
联立，，
所以所以，，
即点,
因为，，所以，
所以直线的方程可设为，设
联立，，
所以，
，
故,
所以直线斜率为
结合题意可知，
即，
当且仅当，即时，直线斜率取得最小值.
故直线斜率不小于.
22. 已知函数（），为的导函数，.
（1）若，求在上的最大值；
（2）设，，其中.若直线的斜率为，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若，求得，得到，结合的符号，得到，即，进而求得函数的最大值；
（2）根据题意，转化为任意，都有，令，得出对于恒成立，记，求得，分类讨论，求得函数的函数与最值，即可求解.
【小问1详解】
解：若，可得，则，
即，可得，
当时，，所以在上单调递增，
又由，所以，即，
所以函数在上单调递减，
所以，即函数的最大值为.
【小问2详解】
解：由，可得，
因为，
所以对任意且，都有，
因为，可得，则，
对任意且，令，
则
对于恒成立，
由
则对于恒成立，
记，
可得，
①若，则，在单调递增，所以，符合题意；
②若，则，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
所以，当时，，不符合题意（舍去），
综上可得，，即实数的取值范围为
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．0
40
60
80
120
0.000
6.667
8.125
10.000
20.000
药物
疾病
未患病
患病
合计
未服用
30
15
45
服用
45
10
55
合计
75
25
100
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P