数学必修 第二册6.2 平面向量的运算课后练习题

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1.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(BC,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→)) C.eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \(AM,\s\up6(→))
2.如图，在正六边形ABCDEF中，eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))等于( )
A．0 B.eq \(BE,\s\up6(→))
C.eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(CF,\s\up6(→))
3.如图所示，在▱ABCD中，eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(BD,\s\up6(→)) B.eq \(DB,\s\up6(→))
C.eq \(BC,\s\up6(→)) D.eq \(CB,\s\up6(→))
4．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行eq \r(3) km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋eq \r(3))km
5．若在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝eq \r(2)，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
6．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OQ,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(OH,\s\up6(→)) B.eq \(OG,\s\up6(→)) C.eq \(FO,\s\up6(→)) D.eq \(EO,\s\up6(→))
7.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．则
(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝________；
(2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝________.
8．在边长为1的等边三角形ABC中，|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|＝________，|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝________.
9.如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
(1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))；
(2)eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))；
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)).
10.如图，小船要从A处沿垂直河岸AC的方向到达对岸B处，此时水流的速度为6 km/h，测得小船正以6 km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小．
11．(多选)设a＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→)))，b是一个非零向量，则下列结论正确的有( )
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|<|a|＋|b|
12．(多选)下列说法错误的有( )
A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同
B．若向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向与向量a的方向相同
C．若eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点
D．若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|－|b|
13．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))，则下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
14．已知点G是△ABC的重心，则eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝______.
15．设|a|＝2，e为单位向量，则|a＋e|的最大值为______．
16.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝0.
6.2.1 向量的加法运算
1.C 2.D 3.C 4.B 5.D 6.C
7.(1)eq \(AD,\s\up6(→)) (2)0 8.1 eq \r(3)
9.解 (1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＝eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→)).
(2)eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＝(eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→)).
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).
10.解 设eq \(AB,\s\up6(→))表示小船垂直于河岸行驶的速度，eq \(AC,\s\up6(→))表示水流的速度，如图，
连接BC，过点B作AC的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线交于点D，
则四边形ACBD为平行四边形，
∴eq \(AD,\s\up6(→))就是小船在静水中的速度.
在Rt△BAC中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝6 km/h，
|eq \(AC,\s\up6(→))|＝6 km/h，
∴|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(|\(AB,\s\up6(→))|2＋|\(AC,\s\up6(→))|2)＝6eq \r(2)(km/h).
∴小船在静水中速度的大小为6eq \r(2) km/h.
11.AC
12.ACD [A错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；B正确，若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a和b的方向相同，若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同；C错，当A，B，C三点共线时，也满足eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0；D错，||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.]
13.D [
eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))，根据向量加法的平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外.]
14.0
解析 如图所示，延长AG交BC于点E，则点E为BC的中点，延长AE到点D，使GE＝ED，
则eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝eq \(GD,\s\up6(→))，
eq \(GD,\s\up6(→))＋eq \(GA,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0.
15.3
解析 在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝e，
则a＋e＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))，
因为e为单位向量，
所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1处时，O，A，B1三点共线，
|eq \(OB,\s\up6(→))|即|a＋e|最大，最大值是3.
16.证明 由题意知，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))，
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)).
由平面几何知识可知，
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))
＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→)))＋(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)))
＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))
＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)))＋0
＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))
＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝0.