高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课时作业

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课时作业，共8页。试卷主要包含了定义等内容，欢迎下载使用。

1．若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为135°，则a·b等于( )
A．－3eq \r(2) B．－6eq \r(2) C．6eq \r(2) D．2
2．在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))，则四边形ABCD是( )
A．直角梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
3.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10 m时，力F做的功为( )
A．100 J B．50 J C．50eq \r(3) J D．200 J
4．(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是( )
A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B．向量a与向量b夹角的范围是[0，π)
C．若a⊥b，则a·b＝0
D．|a|＝eq \r(a2)
5．在边长为1的等边△ABC中，设eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，eq \(AB,\s\up6(→))＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于( )
A．－eq \f(3,2) B.eq \f(3,2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
6．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为eq \f(1,2)b，则a·b的值为( )
A．3 B.eq \f(9,2) C．2 D.eq \f(1,2)
7．已知向量a，b均为单位向量，a·b＝eq \f(\r(2),2)，则a与b的夹角为________．
8．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________．
9．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，e为与b同向的单位向量．
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求a在b上的投影向量．
10.如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→)).
(1)若eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))，求x，y的值；
(2)若eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，且eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为60°，求eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))的值．
11．(多选)下列说法正确的是( )
A．向量a在向量b上的投影向量可表示为eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)
B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
C．若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，则eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))的夹角为45°
D．若a·b＝0，则a⊥b
12．已知平面上三点A，B，C满足|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq \(CA,\s\up6(→))|＝5，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))的值等于( )
A．－7 B．7 C．25 D．－25
13．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
14．在△ABC中，eq \f(\(BA,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)＝0，eq \f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)·eq \f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，则△ABC为( )
A．直角三角形
B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形
D．等腰非等边三角形
15．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．
16.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若点D是线段OB上靠近点O的四等分点，用eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))表示向量eq \(MC,\s\up6(→))；
(2)求eq \(MC,\s\up6(→))·eq \(MD,\s\up6(→))的取值范围．
6.2.4 向量的数量积(一)
1.B 2.C 3.B 4.AB 5.A 6.B 7.eq \f(π,4) 8.eq \f(12,25)b
9.解 (1)由a·b＝|a||b|cs θ，
得cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－3,6)＝－eq \f(1,2).
∴θ＝120°.
(2)a在b上的投影向量为
|a|cs θe＝eq \f(a·b,|b|)e＝－eq \f(3,2)e.
10.解 (1)若eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))，
则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，
故x＝y＝eq \f(1,2).
(2)因为|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，
∠BOA＝60°，所以∠OBA＝90°，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).
又因为eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))，所以|eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(3),2).
所以|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2)
＝eq \f(\r(19),2)，cs∠OPB＝eq \f(\r(57),19).
设eq \(OP,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))的夹角为θ，
所以eq \(OP,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))的夹角θ的余弦值为－eq \f(\r(57),19).
所以eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(OP,\s\up6(→))||eq \(AB,\s\up6(→))|cs θ＝－3.
11.AB 12.D 13.A
14.C [∵在△ABC中，A，B，C∈(0，π)，
eq \f(\(BA,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)＝0，
eq \f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)·eq \f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，
∴eq \f(－|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|cs A,|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(|\(AC,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|cs C,|\(BC,\s\up6(→))|)＝0，
即|eq \(AC,\s\up6(→))|cs A－|eq \(AC,\s\up6(→))|cs C＝0，
∴cs A＝cs C，∴A＝C.
∵eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝|eq \(BC,\s\up6(→))||eq \(BA,\s\up6(→))|cs B
＝eq \f(1,2)|eq \(BC,\s\up6(→))||eq \(BA,\s\up6(→))|，
∴cs B＝eq \f(1,2)，∴B＝eq \f(π,3)，
∴△ABC为等边三角形.]
15.90°
解析 由题意可画出图形，如图所示，在△OAB中，
因为∠OAB＝60°，
|b|＝2|a|，
所以∠ABO＝30°，
OA⊥OB，
即向量a与c的夹角为90°.
16.解 (1)由已知可得eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))，连接MA，MB(图略)，
四边形OAMB是菱形，
则eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，
所以eq \(MC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))
＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))－(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))
＝－eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)).
(2)易知∠DMC＝60°，
且|eq \(MC,\s\up6(→))|＝|eq \(MD,\s\up6(→))|，
那么只需求MC的最大值与最小值即可.
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝eq \f(\r(3),2)，
则eq \(MC,\s\up6(→))·eq \(MD,\s\up6(→))＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)×cs 60°
＝eq \f(3,8).
当MC与MO(或MA)重合时，MC最大，此时MC＝1，
则eq \(MC,\s\up6(→))·eq \(MD,\s\up6(→))＝cs 60°＝eq \f(1,2).
所以eq \(MC,\s\up6(→))·eq \(MD,\s\up6(→))的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(1,2))).