2024北海高一上学期期末考试数学含解析

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全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：北师大版必修第一册.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
3.王明正在筹划班级迎新晚会，想知道该准备多少斤水果，他最希望得到所有学生需要水果数量的（ ）
A.四分位数 B.中位数 C.众数 D.均值
4.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知偶函数在上单调递增，且，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
6.已知且在内存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知实数，则的最小值是（ ）
A.1 B. C.2 D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列每组函数不是同一函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.今年“五一”假期，各大商业综合体､超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，则（ ）
A.小王和小张都中奖的概率为0.08
B.小王和小张都没有中奖的概率为0.46
C.小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44
D.小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92
11.下列命题中正确的是（ ）
A.“”是“”的必要不充分条件
B.“且”是“”的充分不必要条件
C.“”是“”的充要条件
D.“”是“”的充要条件
12.已知函数.若互不相等的实数满足，则的值可以是（ ）
A.-8 B.-7 C.-6 D.-5
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某高中共有学生1000人，其中高一和高二各有400人，现采用按比例分配的分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为__________.
14.某公司在甲､乙两地销售同一种农产品，利润（单位：万元）分别为，其中为销售量（单位：吨）.若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为__________万元.
15.从分别写有的7张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为__________.
16.若函数在上单调递减，则实数的取值范围为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
设集合.求：
（1）；
（2）.
18.（本小题满分12分）
计算：（1）；
（2）.
19.（本小题满分12分）
已知函数且.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）若函数在区间上的最大值和最小值之和为，求实数的值.
20.（本小题满分12分）
已知幂函数既不是奇函数，也不是偶函数.
（1）求的值；
（2）若函数的最小值为-3，求实数的值.
21.（本小题满分12分）
居民小区物业服务联系着千家万户，关系着居民的“幸福指数”.某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）在这100名业主中，求评分在区间的人数与评分在区间的人数之差；
（2）估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和分位数；
（3）若小区物业服务满意度（满意度）低于0.8，则物业公司需要对物业服务人员进行再培训.请根据你所学的统计知识，结合满意度，判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训，并说明理由.（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）
22.（本小题满分12分）
已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）证明：函数在上单调递增；
（3）记，对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
北海市2023年秋季学期期末教学质量检测•高一数学
参考答案､提示及评分细则
1.C 易知集合及集合仅有公共元素1，2，所以.
2.B “”的否定为“”，故选B.
3.D 四分位数在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值；中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数；众数是一组数据中出现次数最多的数值；平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数.所以选择均值较理想.故选D.
4.A 函数的定义域为，所以函数是奇函数，排除；当时，，排除.
5.A 由题意可知，，解得.
6.C 由得.故选.
7.D 由，可得的大小关系为.故选D.
8.C 因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是2.故选C.
9.ABC 的定义域为的定义城为，定义域不同，故错误；
，对应法则不同，故B错误；
的定义域为的定义城为，定义域不同，故C错误；
与的定义域都为，对应法则相同，故D正确.故选ABC.
10.ACD 小王和小张都中奖的概率为，小王和小张都没有中奖的概率为，小王和小张中只有一个人中奖的概率为，小王和小张中至多有一个人中奖的概率为.故选ACD.
11.AB 因为可以推出，但是不可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确；
因为且可以推出，但是不可以推出且，所以“且”是“”的充分不必要条件，故B正确；
因为，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误；
当时，，所以“”是“”的必要不充分条件，
故D错误.故选AB.
12.CD 如图时，，
时，，
则.故选CD.
13. .
14.34 设在甲地销售吨，则在乙地销售吨，利润为，可知当
时，能获得的最大利润为34.
15. 记“抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字”为事件，事件包括以下21种情况：
而有放回地连续抽取2张卡片共有种不同情况，则.
16. 由题可知，所以在上单调递减，
所以解得.
17.解：（1）；
（2），
或或.
或.
18.解：（1）
.
（2）
.
19.解：（1）不等式可化为
①当时，不等式可化为，解得，此时不等式的解集为
②当时，不等式可化为，解得，此时不等式的解集为
（2）
由函数单调，又由
有，解得.
20.解：（1）令，整理为，
解得或，
①当时，，可得，
由，知函数为奇函数，不合题意；
②当时，，可得，由函数的定义域为，满足题意.
由①②知，的值为；
（2）由（1）有，可得，
令，有，可得，可化为，
令，
①当时，，
又由的最小值为-3，有，解得；
②当时，，
又由的最小值为-3，有，解得（舍去）或，
由①②知或.
21.解：（1）评分在区间的人数为（人），
评分在区间）的人数为（人），
故评分在区间的人数与评分在区间的人数之差为（人）；
（2）业主对物业服务的满意程度给出评分的众数为75分，
由
，
设业主对物业服务的满意程度给出评分的分位数为，
有，解得，
故业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和分位数分别为75分和84分；
（3）业主对物业服务的满意程度给出评分的平均分为
，
由
故物业公司需要对物业服务人员进行再培训.
22.解：（1）由函数是定义在上的奇函数，有，可得，
当时，由
，此时为奇函数，
又由，可知函数的定义域为，故满足题意，
故实数的值为0
（2）证明：由（1）有，
不妨设，有，
由不等式的性质有
利用对数函数的单调性，有，即，
由上知函数在上单调递增，
又由函数为奇函数，可知函数在上单调递增，
又由，可知函数在上单调递增；
（3）由，
可得函数为奇函数.
又由函数和在上单调递增，可得函数在上单调递增，
不等式可化为不等式，
可化为，有，
可知对，不等式恒成立，等价于对恒成立，
①当时，，不等式显然成立；
②当时.
I.若，不等式显然成立，
II.若，不等式可化为，又由（当且仅当时取等号），
故有；
III.若，不等式可化为，
又由
（当且仅当时取等号），
故有，
由I､II､III可得，