2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列图案中，是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
2．在实数，，，中，无理数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．若，则下列说法正确的是
A．是的平方根B．是的平方根
C．是的算术平方根D．是的算术平方根
4．若点在第二象限，则的值可以是
A．B．C．0D．1
5．两家牛奶销售公司招聘送奶员，下面的海报显示两家公司的周薪计算方式：
小明决定应聘当送奶员，下列正确表示两家公司的周薪计算方式的图是
A．
B．
C．
D．
6．如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上．若，，则的长为
A．B．C．2.5D．
二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．64的平方根是 ，64的立方根是 ．
8．小亮称得一个罐头的质量为，若精确到，则这个罐头质量的近似值为 ．
9．在等腰中，，，则 ．
10．比大且比小的整数是 （写出一个）．
11．电力公司想要估计某种风力发电塔的建造成本和所带来的利润，调查小组提出用如图的公式估计财务营收，其中F（元）为财务营收，x（年）为时间．根据公式，至少需要 年才能收回成本．
12．如图，，要使，只需再添加一个条件 即可．
13．如图，一架长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为 ．
14．风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．当气温为时．如表列出了风寒温度和风速的几组对应值，那么与的函数表达式可能是 ．
15．要使一次函数y＝﹣3x+2的图象经过运动后过点（1，﹣7），则以下该函数图象的运动方式中，可行的是 （只填序号）．
①向下平移9个单位长度；②绕点（0，﹣1）旋转180°；③沿着经过点（2，0）且平行于y轴的直线翻折．
16．如图，在中，，，，，分别是，边上的点．把沿直线折叠，若落在边上的点处，则的取值范围是 ．
三、解答题（共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算．
18．（6分）求下列各式中的
（1）；
（2）．
19．（7分）常见的折叠椅如图所示．
（1）在点、、处设置螺栓后可以使得椅子牢固，其中的数学道理是 ；
（2）若、相交于点，且是、的中点．求证．
20．（5分）（1）如图①，方格纸中有2个格点，．仅用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线，均为格点）；
（2）如图②，点，点．用直尺和圆规在第一象限内作出点，使得是等边三角形，其中点的坐标为 ．
21．（8分）在中，，是的角平分线．
（1）如图①，若，，求的长；
（2）如图②，过点作交于点，求证：是等腰三角形．
22．（7分）数形结合是一种重要的数学思想方法，一般分为两种情形：借助于数学运算来阐明“形”的某些属性；借助于几何直观来阐明“数”的某种关系．
（1）从“数”的角度：证明“点，和在同一条直线上”；
（2）从“形”的角度：在方格纸中画出图形说明．
23．（7分）如图，在中，，和分别是以，为腰的等腰直角三角形，与相交于点．
（1）求证；
（2）连接，求证．
24．（7分）在中，，，．
（1）若，则、、满足的数量关系为 ；
（2）若为钝角三角形，，，直接写出的取值范围；
（3）如图，若为锐角三角形，为最长边．求证．
25．（8分）如图，在中，，．
（1）求各顶点的坐标；
（2）找一点，使得，，均为等腰三角形，画出所有满足条件的点（在图中用，，表示），并直接写出点的坐标．
26．如图①，一辆货车从南京出发匀速驶往上海，途经苏州；同时，一列轿车从苏州出发匀速驶往南京，到达南京后停留1小时，然后原速返回苏州，两车同时到达目的地．设货车行驶x h时，货车与苏州的距离为y1 km，轿车与苏州的距离为y2 km，y1，y2与x的函数图象如图②所示．
（1）货车的速度是 km/h，轿车的速度是 km/h；
（2）通过计算，分别解释点G，H的实际意义；
（3）设轿车、货车的距离为s km，在图③中画出s与x的函数图象（标明必要的数据）．
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列图案中，是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可．
解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
2．在实数，，，中，无理数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：在实数，，，中，无理数有，，共2个．
故选：．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
3．若，则下列说法正确的是
A．是的平方根B．是的平方根
C．是的算术平方根D．是的算术平方根
【分析】根据平方根及算术平方根的定义解答即可．
解：，
是的平方根．
故选：．
【点评】本题考查的是平方根的定义，熟知如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根是解题的关键．
4．若点在第二象限，则的值可以是
A．B．C．0D．1
【分析】利用第二象限内点的坐标特征得到，再解不等式组得到的取值范围，然后对各选项进行判断．
解：点在第二象限，
，
解得，
所以可以取0．
故选：．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．也考查了第二象限内点的坐标特征．
5．两家牛奶销售公司招聘送奶员，下面的海报显示两家公司的周薪计算方式：
小明决定应聘当送奶员，下列正确表示两家公司的周薪计算方式的图是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意判断出周薪与送奶数量的关系式即可得出答案．
解：由题意可知，甲公司的周薪与送奶数量是分段函数，当送奶数量小于或等于240瓶是正比例函数，当送奶数量大于240瓶是一次函数；
乙甲公司的周薪是送奶数量是一次函数．
综上所述，只有选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了函数的图象，正确判断周薪与送奶数量的函数关系是解答本题的关键．
6．如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上．若，，则的长为
A．B．C．2.5D．
【分析】由“”可证，可得，，由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可求解．
解：和都是等腰直角三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．64的平方根是 ，64的立方根是 ．
【分析】根据立方根和平方根的定义进行填空即可．
解：，
．
故答案为：；4．
【点评】本题考查了立方根、平方根，掌握立方根、平方根的定义是关键．
8．小亮称得一个罐头的质量为，若精确到，则这个罐头质量的近似值为 2.2 ．
【分析】根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到．
解：（精确到，
故答案为：2.2．
【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答．
9．在等腰中，，，则 55 ．
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理即可直接得出答案．
解：，
，
，
．
故答案为：55．
【点评】本题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
10．比大且比小的整数是 0（答案不唯一） （写出一个）．
【分析】先估算，的大小，然后即可写出比大且比小的整数．
解：，，
比大且比小的整数是0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算无理数的大小方法是解题的关键．
11．电力公司想要估计某种风力发电塔的建造成本和所带来的利润，调查小组提出用如图的公式估计财务营收，其中F（元）为财务营收，x（年）为时间．根据公式，至少需要 8 年才能收回成本．
【分析】当x年发电累计利润与建造风力发电塔的成本正好相等时刚好收回成本，据此作答即可．
解：根据题意，刚好收回成本时，400000x﹣3200000＝0，
解得x＝8，
∴至少需要8年才能收回成本，
故答案为：8．
【点评】本题考查一次函数的应用，根据函数值求自变量的值是解题的关键．
12．如图，，要使，只需再添加一个条件 ，本题答案不唯一 即可．
【分析】添加的条件是，根据全等三角形的判定定理即可求出答案．
解：添加的条件是，
理由是：在和中
，
故答案为：．本题答案不唯一．
【点评】本题主要考查对全等三角形的判定的理解和掌握，能熟练地根据全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键．
13．如图，一架长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为 2 ．
【分析】直接根据勾股定理求解即可．
解：由勾股定理得，，
即梯子的顶端距地面为，
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
14．风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．当气温为时．如表列出了风寒温度和风速的几组对应值，那么与的函数表达式可能是 ．
【分析】利用待定系数法求解即可．
解：由表格中数据可知，当气温为一定时，风寒温度和风速成一次函数关系，
设风寒温度和风速的关系式为：，
根据题意，得
解得，
，
与的函数表达式可能是，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
15．要使一次函数y＝﹣3x+2的图象经过运动后过点（1，﹣7），则以下该函数图象的运动方式中，可行的是 ②③ （只填序号）．
①向下平移9个单位长度；②绕点（0，﹣1）旋转180°；③沿着经过点（2，0）且平行于y轴的直线翻折．
【分析】分别求得变换后的函数解析式，再代入x＝1判断即可．
解：①将一次函数y＝﹣3x+2的图象向下平移9个单位长度得到y＝﹣3x+2﹣7＝﹣3x﹣5，
当x＝1时，y＝﹣8，则经过点（1，﹣8），
②将直线y＝﹣3x+2绕点（0，﹣1）旋转180°得到y＝﹣3x﹣4，
当x＝1时，y＝﹣8，则经过点（1，﹣7），
③将y＝﹣3x+2沿着经过点（2，0）且平行于y轴的直线翻折得到y＝3x﹣10，
当x＝1时，y＝﹣7，则经过点（1，﹣7），
故答案为：②③．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律和旋转的性质是解题的关键．
16．如图，在中，，，，，分别是，边上的点．把沿直线折叠，若落在边上的点处，则的取值范围是 ．
【分析】作交的延长线于点，则，所以，由，求得，当点与点重合时，的值最大，因为垂直平分，所以；点与点重合，的值最小，因为垂直平分，所以，而，由勾股定理得，求得，所以的取值范围是，于是得到问题的答案．
解：作交的延长线于点，则，
，，，
，
，
，
，
，
如图1，点与点重合，此时的值最大，
点与点关于直线对称，
点与点关于直线对称，
垂直平分，
；
如图2，点与点重合，此时的值最小，
点与点关于直线对称，
垂直平分，
，
，，
，
解得，
的取值范围是，
故答案为：．
【点评】此题重点考查轴对称的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算．
【分析】原式利用平方根、立方根性质计算即可求出值．
解：原式．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）求下列各式中的
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把的系数化为1，再利用平方根的定义解答即可；
（2）先移项，再利用平方根的定义解答即可．
解：（1），
，
，
故或；
（2），
，
，
，
故或．
【点评】本题考查的是平方根，熟知如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根是解题的关键．
19．（7分）常见的折叠椅如图所示．
（1）在点、、处设置螺栓后可以使得椅子牢固，其中的数学道理是 三角形的稳定性 ；
（2）若、相交于点，且是、的中点．求证．
【分析】（1）根据三角形的稳定性即可解决问题；
（2）证明，即可解决问题．
【解答】（1）解：根据题意可知：其中的数学道理是三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性；
（2）证明：是、的中点，
，，
在和中，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的稳定性，解决本题的关键是得到．
20．（5分）（1）如图①，方格纸中有2个格点，．仅用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线，均为格点）；
（2）如图②，点，点．用直尺和圆规在第一象限内作出点，使得是等边三角形，其中点的坐标为 ．
【分析】（1）取格点，，使四边形为正方形，则为线段的垂直平分线．
（2）作线段的垂直平分线，交于点，由等边三角形的性质可得点的横坐标为2，，则点的纵坐标为，即可得出答案．
解：（1）如图①，即为所求．
（2）如图②，作线段的垂直平分线，交于点，
是等边三角形，
点在线段的垂直平分线上，，
点的横坐标为2，，
，
点的纵坐标为，
点的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查作图—复杂作图、等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
21．（8分）在中，，是的角平分线．
（1）如图①，若，，求的长；
（2）如图②，过点作交于点，求证：是等腰三角形．
【分析】（1）过点作，进而得到，勾股定理求出的长，等积法，求的长即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线定义证明，即可解决问题．
【解答】（1）解：如图①，过点作于点，
，，，是的角平分线，
，，
，
，
，
；
（2）证明：如图②，，
，
是的角平分线，
，
，
，
是等腰三角形．
【点评】本题考查勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
22．（7分）数形结合是一种重要的数学思想方法，一般分为两种情形：借助于数学运算来阐明“形”的某些属性；借助于几何直观来阐明“数”的某种关系．
（1）从“数”的角度：证明“点，和在同一条直线上”；
（2）从“形”的角度：在方格纸中画出图形说明．
【分析】（1）设直线的表达式为，将，代入求出直线的表达式为，再将点代入，得点在直线上，据此即可得出结论；
（2）设方格纸中每个小正方形的边长为1，在方格纸上构造，使，，，进而根据三角形三边之间的关系可得出结论．
【解答】（1）证明：设直线的表达式为：，
将，代入，
得：，解得：，
直线的表达式为：，
对于，当时，，
点在直线上，
点，，在同一条直线上；
（2）解：设方格纸中每个小正方形的边长为1，如图所示：
由勾股定理得：，，，
根据三角形三边之间的关系得：，
．
【点评】此题主要考查了数形结合思想的应用，解决问题1的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，理解满足一次函数表达式的点都在函数的图象上；解决问题2的关键是在方格纸上正确地构造三角形使三角形的三边分别为，，．
23．（7分）如图，在中，，和分别是以，为腰的等腰直角三角形，与相交于点．
（1）求证；
（2）连接，求证．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明，，得，再证明，即可解决问题；
（2）由（1）知：，根据，得是的垂直平分线，即可解决问题．
【解答】证明：（1），和分别是以、为腰的等腰直角三角形，
，，，
，
，，
，
，，
，
，
；
（2）由（1）知：，
，
是的垂直平分线，
．
【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质求解．
24．（7分）在中，，，．
（1）若，则、、满足的数量关系为 ；
（2）若为钝角三角形，，，直接写出的取值范围；
（3）如图，若为锐角三角形，为最长边．求证．
【分析】（1）根据勾股定理即可得出结论；
（2）根据三角形的三边关系求解即可；
（3）过点作于点，设，在与中，根据勾股定理推出，即可推出结论．
【解答】（1）解：在中，，，．
若，则、、满足的数量关系为，
故答案为：；
（2）解：若为钝角三角形，，，则，
即；
（3）证明：如图，过点作于点，设，
在中，，
在中，，
，
，，
，
，
若为锐角三角形，为最长边．．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形三边关系，熟记勾股定理是解题的关键．
25．（8分）如图，在中，，．
（1）求各顶点的坐标；
（2）找一点，使得，，均为等腰三角形，画出所有满足条件的点（在图中用，，表示），并直接写出点的坐标．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及勾股定理求解即可；
（2）由题意，点在轴上，分两种情形分别求解即可．
解：（1），，
，
，
，，；
（2），，均为等腰三角形，
点在轴上，
当时，，，
当时，设，则有，
，
，
．
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．
【点评】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
26．如图①，一辆货车从南京出发匀速驶往上海，途经苏州；同时，一列轿车从苏州出发匀速驶往南京，到达南京后停留1小时，然后原速返回苏州，两车同时到达目的地．设货车行驶x h时，货车与苏州的距离为y1 km，轿车与苏州的距离为y2 km，y1，y2与x的函数图象如图②所示．
（1）货车的速度是 70 km/h，轿车的速度是 105 km/h；
（2）通过计算，分别解释点G，H的实际意义；
（3）设轿车、货车的距离为s km，在图③中画出s与x的函数图象（标明必要的数据）．
【分析】（1）根据图象即可得出结论；
（2）用待定系数法分别求出直线AB，BC，OD，EF所对应的解析式，再解方程组，求出G，H的坐标，结合实际情况写出点G，H的实际意义；
（3）根据题意画出s与x的函数图象．
解：（1）根据图象②可知，
货车的速度为＝70（km/h），轿车的速度为＝105（km/h），
故答案为：70，105；
（2）设AB所在直线的函数解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴AB所在直线的函数解析式为y＝﹣70x+210（0≤x≤3）；
∵货车的速度为70km/h，
∴BC所在直线的解析式为y＝70（x﹣3）＝70x﹣210（3＜x≤5）；
∵轿车的速度为105km/h，
∴＝2（h），
∴D（2，210），E（3，210），
∴OD所在直线的解析式为y＝105x（0≤x≤2），
设EF所在直线解析式为y＝mx+n，
则，
解得，
∴EF所在直线解析式为y＝﹣105x+525（3≤x≤5），
由，得，
∴G（1.2，126）；
由，得，
∴H（4.2，84），
∴点G的实际意义为：轿车与货车出发1.2h时，在距离苏州126km的地方第一次相遇；
点H的实际意义为：轿车与货车出发4.2h时，都距离苏州84km；
（3）由题意可知，南京到苏州210km，苏州到上海2×70＝140（km），
如图所示：
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
甲公司
一星期内送出的前240瓶牛奶，每瓶牛奶0.5元，此后，每多送一瓶每瓶多0.3元．
乙公司
底薪200元．此外，每送出一瓶牛奶将额外有0.3元．
风速
0
10
20
30
40
风寒温度
5
3
1
甲公司
一星期内送出的前240瓶牛奶，每瓶牛奶0.5元，此后，每多送一瓶每瓶多0.3元．
乙公司
底薪200元．此外，每送出一瓶牛奶将额外有0.3元．
风速
0
10
20
30
40
风寒温度
5
3
1