重庆市武隆区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份重庆市武隆区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了我们定义一种新函数等内容，欢迎下载使用。
考试注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将区县、学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改，不允许使用计算器．
4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．
5．评分以答题卡上的答案为依据，不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题（每小题4分，共40分）．
1．下图是抛物线y = ax2 + bx + c的示意图，则a的值可以是（ ）
A．1B．0C．- 1D．- 2
2．下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列事件是随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，通常加热到，水会沸腾B．明天太阳从东方升起
C．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数D．从装有黑球、白球的袋里摸出绿球
4．若1是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（ ）
A．B．0C．1D．0或1
5．二次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点则的值为（ ）
A．1B．-1C．-6D．6
7．将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．抛物线中，y与x的部分对应值如下表：
下列结论中，正确的是（ ）
A．抛物线开口向上B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而减小D．当时，y随x的增大而增大
9．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，则此圆锥高的长度是（ ）
A．2B．C．D．
10．我们定义一种新函数：形如（且）的函数叫做“绝对值“函数．小明同学画出了“绝对值”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为，和；
②图象具有对称性，对称轴是直线；
③当或时，函数值y随x的增大而减小；
④当或时，函数的最小值是9；
⑤当与的图象恰好有3个公共点时或
其中结论正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）
11．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是 ．
12．已知y是x的函数，且当x>0时，y随x的增大而减小．则这个函数的表达式可以是 ．(写出一个符合题意的答案即可)
13．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝72°，则∠DCE＝ °．
14．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”，“2”，“3”，“4”，“5”，“6”，连续抛掷两次该正方体，得到第一次朝上一面的数字是第二次朝上一面的数字的两倍的概率是 ．
15．如图，圆的周长是32厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，则图中阴影部分的周长是 ．

16．阅读下列材料：
有人研究了利用几何图形求解方程的方法，该方法求解的过程如下：
第一步：构造
已知小正方形边长为x，将其边长增加17，得到大正方形（如下图）．
第二步：推理
根据图形中面积之间的关系，可得．
由原方程，得．
所以．
所以．
直接开方可得正根．
依照上述解法，要解方程，请写出第一步“构造”的具体内容： ；
与第二步中“”相应的等式是 ．
17．如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．

18．若一个四位数M的百位数字与千位数字的差恰好是个位数字与十位数字的差的2倍，则将这个四位数M称作“星耀重外数”．例如：，∵，是“星耀重外数”；又如，∵，不是“星耀重外数”．则 （是/不是）“星耀重外数”；一个“星耀重外数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且满足，记，当是整数时，则满足条件的M的最大值为 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．
19．解方程
(1) ；
(2) ．
20．如图，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出将绕点A顺时针旋转90°得到的，并写出点D，E的坐标；
(2)请在图中作出的外接圆（保留作图过程），写出圆心M的坐标．
21．某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
请你根据以上信息，回答下列问题：
(1)统计表中的值为_______，统计图中的值为______，类对应扇形的圆心角为_____度；
(2)该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；
(3)样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率．
22．如图1，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠C+∠D＝90°，BF∥CD．
(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)延长AC交直线FB于点P（如图2），若点E为OB中点，CD＝6，求PC的长．
23．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．商家想尽快销售完该款商品，采取降价措施增加销量．
(1)若日利润保持不变，每件售价应定为多少元？
(2)每件商品降价多少元时日利润最大？
24．如图，在中，，动点P从点A出发沿射线方向以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当点Q到达C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为，的面积为y．

(1)当时，求的面积；
(2)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）；
(3)在给定的直角坐标系内画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质．
25．如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，求点E的坐标；
(3)设点P为x轴上的一个动点，写出所有使为等腰三角形的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程写出来．
26．如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，P，N分别为，，的中点．
(1)如图1，求证：，；
(2)把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据二次函数的图象确定a的取值范围即可得．
【详解】解：根据二次函数图象可得：开口向上，
∴，
故选：A．
【点睛】题目主要考查根据函数图象确定二次函数字母系数的取值范围，熟练掌握二次函数图象的基本性质是解题关键．
2．C
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项正确；
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的定义．
3．C
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【详解】A．标准大气压下，通常加热到100℃，水会沸腾，是必然事件，故错误；
B．明天太阳从东方升起，是必然事件，故错误；
C．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，故正确；
D．从装有黑球、白球的袋里摸出绿球，是不可能事件，故错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．C
【分析】将代入方程得到关于的方程，然后解方程即可．
【详解】解：将代入一元二次方程，
得：，
解得：，或者，
∵是关于x的一元二次方程，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，将已知方程的一个根代入方程得到新的方程是解答本题关键．
5．C
【分析】本题考查了二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象是解题的关键．
根据二次函数的图象的开口，对称轴，顶点，与轴的交点，判断图象经过的象限，然后作答即可．
【详解】解：∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，即图象过点，
∴图象经过第一、第二、第四象限，不经过第三象限，
故选：C．
6．B
【分析】根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论．
【详解】在第二象限，在第一象限，且点、、在三个不同象限，
又点的横坐标为，
在第三象限，
反比例函数的图象经过其中两点，
，两点在该反比例函数图象上，
解得
故选：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，推出点C在第三象限是解题的关键．
7．C
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的长与宽是解题的关键．根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．
【详解】解：由图可知：长方体的长为15，宽为，
由题意得：；
故选C．
8．D
【分析】利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可．
【详解】由图可知，和时对应的函数值相等，
∴抛物线的对称轴为直线，此时抛物线有最大值，
∴抛物线开口向下，故选项A、B错误，
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
故选项C错误，选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键．
9．C
【分析】设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图求出圆锥的底面圆的周长，进而求得OA，最后用勾股定理求出CA即可．
【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r
∵AC=6，∠ACB=120°
∴，即：r=OA=2
在Rt△AOC中，OA=2，AC=6，
由勾股定理得，．
故填：．
【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式、勾股定理等知识点，根据弧长公式和圆的周长公式求得OA是解答本题的关键．
10．B
【分析】分别令和即可对结论①进行判断；观察函数的图象即可对结论②进行判断；根据函数的图象和增减性即可对结论③进行判断；根据函数与x轴有两个交点，且这两个交点是函数图象的最低点，可对结论④进行判断；根据函数与x轴的两个交点，与平行可分两种情况进行讨论：①经过点，②与函数只有一个交点，分别求出b的值即可对结论⑤进行判断．
【详解】解：∵令，得，
令，则
解得，
∴与坐标轴的交点为，和，
∴结论①正确；
观察函数的图象可知：函数具有对称性，对称轴为，
故结论②正确；
∵函数与x轴的两个交点坐标为，，且对称轴为x=2，
∴当或时，函数值y随x值的增大而增大，
故结论③不正确；
∵当或5时，，
∴当或时，函数的最小值是0．
故结论④不正确；
∵函数与x轴的两个交点为，，
又∵与平行，
∴当与的图象恰好有3个公共点时，有以下两种情况：
①经过点，此时b=1，
②当与函数只有一个交点时，
则方程有两个相等的实数根，
将整理得：，
∴判别式，
解得：．
故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论是①②⑤．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图像与坐标轴的交点，数形结合是解答本题的关键．
11．（2，3）
【分析】抛物线顶点解析式，其顶点是，据此求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查二次函数顶点式的顶点坐标，掌握顶点式的基本性质是解题关键．
12．y=（x＞0）
【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系数k＜0；反之，只要k＜0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
【详解】解：只要使反比例系数大于0即可．如y=（x＞0），答案不唯一．
故答案为：y=（x＞0）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数y=（k≠0）的性质：①k＞0时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内y随x的增大而减小；②k＜0时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y随x的增大而增大．
13．72
【分析】根据圆内接四边形对角和为180°再结合补角的性质即可得到∠DCE=∠A．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD=180°
∵∠BCD+∠DCE=180°
∴∠DCE=∠A=72°，
故答案为：72．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和补角性质，掌握圆这些是本题关键．
14．
【分析】采用列表法列举即可求解．
【详解】列表如下：（其中“第一次朝上一面的数字是第二次朝上一面的数字的两倍”的情况用2表示，其他情况用0表示）
则总的情况是有36种，其中其中“第一次朝上一面的数字是第二次朝上一面的数字的两倍”的情况有3种，
即所求概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了采用列表法或者树状图法求解概率的知识，正确画出列表或者树状图是解答本题的关键．
15．厘米
【分析】设圆的半径为r厘米，长方形的长为a厘米，根据题意可得，，则，代入即可得到阴影部分的周长．
【详解】解：设圆的半径为r厘米，长方形的长为a厘米，
则，，
∴，，
∴，
∴图中阴影部分的周长是（厘米），
故答案为：厘米
【点睛】此题考查了长方形的周长、圆的周长和面积公式，读懂题意，正确计算是解题的关键．
16． 已知小正方形边长为，将其边长增加，得到大正方形
【分析】本题考查解一元二次方程，理解等式的性质，掌握完全平方公式是解题关键．
第一步：仿照材料中的内容构造具体内容；
第二步：根据图形面积关系和等式的性质列出相应的等式．
【详解】解：解方程，
第一步“构造”：已知小正方形边长为，将其边长增加，得到大正方形，
故答案为：已知小正方形边长为，将其边长增加，得到大正方形；
第二步：推理，
根据图形面积之间的关系，可得．
由原方程，得．
所以，
故答案为：．
17．24
【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
在正方形中，，
∵Q为的中点，
∴，
∴，
∵Q在反比例函数的图象上，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵P在上，
∴P点纵坐标为，
∵P点在反比例函数的图象上，
∴P点横坐标为，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
18． 不是
【分析】本题考查因式分解的应用和新定义，运用了分类讨论的思想，理解新定义是解题的关键． 2024根据题干中的新定义判定求解；根据新定义将化为，由题意可得：为整数，从而推导出是的整数倍，利用因式分解，结合，可得，，再分四种情况讨论即可．
【详解】解：∵，
∴不是“星耀重外数”；
故答案为不是．
∵一个“星耀重外数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，，
∴，且，，，均为正整数，
∴，
∴，
∴
，
由题意可得：为整数，
又∵是整数，
∴是的整数倍，
∵，
又∵，
∴，，
∴有以下几种情况：
当，时，即，，
∴，，
此时为；
当，时，即，，
∴，
解得：，，
此时为或；
当，时，即，，不符合题意；
当，时，即，，不符合题意；
当，时，即，，
此时为
当时，，则，即
综上所述，满足条件的的值为或或或或．
满足条件的M的最大值为，
故答案为．
19．(1)，
(2)，
【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）先移项，然后再用分解因式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，，，
，
∴，
∴，．
（2）解：，
移项得：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．
20．(1)点D、E的坐标分别为，
(2)M的坐标为
【分析】本题考查了旋转作图以及外接圆，熟练掌握旋转的性质作图是解题的关键．
（1）将、绕点A顺时针旋转90°得到对应的点D、E，顺次连接即可得到，进而得到点D，E的坐标．
（2）作出、垂直平分线，其交点即为外接圆的圆心，再以的长为半径作圆即可．
【详解】（1）所作如图所示，点D、E的坐标分别为，．
（2）所作如图所示，M的坐标为．
21．(1)25、25、39.6；(2)300人；(3).
【分析】(1)先根据类别人数及其百分比求出总人数，再由各类别人数之和等于总人数求出，继而由百分比概念得出的值，用乘以类别人数所占比例即可得；
(2)利用样本估计总体思想求解可得．
【详解】解：(1)∵样本容量为，
∴，，类对应扇形的圆心角为，
故答案为25、25、39.6．
(2)(人)
答：该校最喜爱体育节目的人数约有300人；
(3)画树状图如下：
共有12种情况，所选2名同学中有男生的有6种结果，
所以所选2名同学中有男生的概率为．
【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，能正确画出树状图是解此题的关键．
22．(1)见解析
(2)PC=2
【分析】（1）根据圆周角定理以及已知条件可得∠BEC=∠A+∠C=90°，根据平行线的性质得∠ABF=∠BEC=90°，则AB⊥BF，即可得BF是⊙O的切线；
（2）由垂径定理得DE=CE=3，根据线段垂直平分线的性质得OD=BD，可证明△OBD是等边三角形，可得∠BDE=30°，BD=2BE，根据勾股定理求出BE=，可得OB=2，AB=4，在Rt△ACE中，根据勾股定理得AC=6=2CE，则∠A=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠A=∠D，∠C+∠D=90°，
∴∠BEC=∠A+∠C=90°，
∵BFCD，
∴∠ABF=∠BEC=90°，
∴AB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，
∵∠BEC=90°，
∴AB⊥CD，
∵点E为OB中点，CD=6，
∴CE=DE=3，OD=BD，
∴OB=OD=BD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠OBD=60°，∠BDE=30°，
∴BD=2BE，∠A=∠BDE=30°，
在Rt△BDE中，BD2=BE2+DE2，
∴（2BE）2=BE2+32，解得BE=，
∵点E为OB中点，
∴OB=2，AB=4，
∴AE=3，
在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2=32+（3）2=36，
∴AC=6=2CE，
∵AB=4，
∴BP=4，AP=8，
∴PC=8-6=2．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
23．(1)40元
(2)10元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，解题的关键是：
（1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，利用该种小商品的日销售利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）根据（1）列出的方程求解最大值即可．
【详解】（1）解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
依题意得：整理得：，
解得：（不合题意，舍去），．
每件售价应定为（元）．
答：每件售价应定为40元．
（2）设日利润元，每件降价元．
当时，最大，此时（元）
答：每件商品降价10元时日利润最大．
24．(1)
(2)
(3)图象见解析，随着的增大先增大，然后减小，最后再增大，最大值为3
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的应用，二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）当时，则，根据，计算求解即可；
（2）由题意知，当时，，，，则，当时，，则，然后作答即可；
（3）根据函数表达式画图象，然后根据图象写性质即可．
【详解】（1）解，当时，，，
∴
∴，
∴的面积为；
（2）解：由题意知，当时，，，，
∴，
当时，，
∴，
综上所述，；
（3）解：图象如下：
由图象可知，随着的增大先增大，然后减小，最后再增大，最大值为3．
25．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理和等腰三角形的性质等等：
（1）由待定系数法即可求解；
（2）点关于对称轴对称，则与对称轴l的交点即为所求的点，进而求解；
（3）求得的长，分为顶点、为顶点、底边三种情况讨论，进而求解．
【详解】（1）解：将点代入抛物线解析式得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即此时最小，
∴与对称轴的交点即为点，如下图，
设直线解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
当时，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
当为顶点时，则，
∴点的坐标为或；
当为顶点时，则，
∴点与点关于轴对称，
∴点的坐标为；
当为底边时，则，
设点P的坐标为，
∴，
解得
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度．
26．(1)见详解
(2)是等腰直角三角形，理由见详解
(3)
【分析】（1）利用三角形中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出，，得出、，最后用互余即可得出结论．
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论．
（3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论．
【详解】（1）∵点P，N分别为，的中点，
∴，，
∵点M，P分别为，的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
由旋转知，，
∵，，
∴，
∴，，
利用三角形的中位线得，，
∴，
∴是等腰三角形，
同（1）的方法得，
∴，
同（1）的方法得，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
（3）解：由（2）知是等腰直角三角形，，
∴当最大时，的面积最大，
∴点D在的延长线上，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
x
…
1
3
4
6
…
y
…
8
18
20
18
…
类别
类型
新闻
体育
动画
娱乐
戏曲
人数
11
20
40
4