辽宁省葫芦岛市兴城市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份辽宁省葫芦岛市兴城市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分．）
1．已知是关于m的方程的一个根，则a的值是（ ）
A．B．0C．1D．2
2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．关于抛物线图象的性质，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上B．对称轴是C．顶点坐标是D．与x轴有两个交点
4．如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
5．如图，平面直角坐标系中，点A和点B分别在函数和的图象上，点C在y轴上．若轴．则的面积为（ ）
A．6B．4C．3D．2
6．某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理的实验数据如下表：
下面有三个推断：
①通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大可能性不是质地均匀的；
②如果再做此实验，仍按上表抛掷的次数统计，那么数据表中，“正面朝上”的频率有更大的可能仍会在左右摆动；
③根据表格中的信息，估计抛掷这样一枚纪念币，落地后正面朝上的概率约为．
其中正确的推断有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估计圆周率，理论上能把的值计算到任意精度．“割圆术”的第一步是计算圆内接正六边形的面积，若圆的半径为1，则圆内接正六边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有实数根，则的最大值为（ ）
A．4B．C．3D．
9．随着科技的不断发展和人们对环保的日益重视，新能源汽车越来越受到大家的青睐，某品牌新能源汽车经销商统计了今年第一季度的销售量（如图所示），若该品牌汽车的销售量月平均增长率为，则根据图中信息，得到x所满足的方程是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，中，，，，绕点A顺时针旋转一定的角度得到，当点恰好落在的延长线上时，连接，则线段的长度为（ ）
A．1B．C．D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．点 P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角最小为 度．
13．抛物线的对称轴是y轴，则m的值为 ．
14．如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为 ．

15．如图，中，，，，射线，点D在射线上运动，，垂足为点E，若与相似，则的长为 ．

三、解答题（本题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程）
16．设关于x的一元二次方程，在下面的四组条件中选择其中的一组a，b的值，使这个方程有两个不相等的实数根，你认为可以有几种选法，并说明理由；请你选择其中的一种情况解这个方程．
①，；②，；③，；④，
注：如果选择多组条件作答，按第一个解答计分．
17．为加强交通安全教育，某中学对全体学生进行“交通安全知识”的测试，学校抽取了部分学生的测试成绩，把测试成绩x分为四个类别：及格（），中等（），良好（），优秀（），并根据测试成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．
据上面图表信息，回答下列问题：
(1)请补全条形统计图；
(2)若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好及以上的学生有多少人？
(3)在本次测试中，获得满分的4人中有2名男生和2名女生，学校从这4名同学中随机选2人参加市中学生“交通安全知识”竞赛，请用列表或画树状图的方法求出抽取的2人恰好是一男一女的概率．
18．2023年9月，第19届亚洲夏季运动会在杭州举办，吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人，某工厂生产了一批印有该吉祥物的帆布包，每件成本元，投放网店进行销售，规定销售价不低于成本，且不超过元，销售一段时间发现：当销售价定为元时，每天可以销售件，销售单价每增加元，平均每天少售出件，如果每天要获得元的利润，每件帆布包的销售单价应定为多少元？
19．如图，正比例函数的图象与双曲线交于，两点，半径为的与轴交于点，与轴的正半轴相切，连接，．
(1)求双曲线的解析式；
(2)直接写出不等式的解集．
20．如图，以的边为直径的交边于点D，点E为的中点，连接交于点F，．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求线段的长度．
21．【发现问题】
掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．
【提出问题】
实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如下表：
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．
【解决问题】
(1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是______米，实心球在空中的最大高度是______米；
(2)求满足条件的抛物线的解析式；
(3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由．
22．（1）【建立模型】在数学课上，老师出示这样一个问题：如图1，在中，，，直线l经过点C，，，垂足分别为点D和点E，求证：，请你写出证明过程；
（2）【类比迁移】勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题：如图2，在平面直角坐标系中，直线的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，反比例函数的图象经过点B，请你求出反比例函数的解析式；
（3）【拓展延伸】创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究：如图3，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点P，连接，当时，请你和创新小组的同学一起求出点P的坐标．
23．（1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形中，，，平分，求证：．
①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段的数量关系转化为与的数量关系；
②如图3，乐琪同学从平分这个条件出发，想到将沿翻折，所以她延长线段到点F，使，连接，发现了与的数量关系；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
（2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答．
如图4，中，，平面内有点D（点D和点A在的同侧），连接，，，求证：．
（3）【学以致用】如图5，在（2）的条件下，若，，请直接写出线段的长度．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，先将代入，再解一元一次方程求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】∵是关于m的方程的一个根，
∴，
∴，
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别；根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是，最小值为，则抛物线与轴无交点，即可求解．
【详解】解：抛物线，，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是，则A，B，C正确，
最小值为，则抛物线与轴无交点，故D错误；
故选：D
4．A
【分析】本题考查了位似中心的确定，位似对应点连线的交点即为位似中心即可．
【详解】根据题意，得位似中心为点D，
故选A．
5．C
【分析】本题考查了已知反比例函数解析式求图形面积，设点，根据轴可得，据此即可求解．
【详解】解：设点，
∵轴，
∴，
∴的面积为：，
故选：C
6．D
【分析】题目主要考查频率估计概率，根据表中数据及频率估计概率依次判断即可．
【详解】①通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大可能性不是质地均匀的，故①正确；
②如果再做此实验，仍按上表抛掷的次数统计，那么数据表中，“正面朝上”的频率有更大的可能仍会在左右摆动，故②正确；
③根据表格中的信息，估计抛掷这样一枚纪念币，落地后正面朝上的概率约为，故③正确．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了正六边形与圆的相关计算，涉及等边三角形的判定和性质，连接，过点O作于点G，先证明为等边三角形，再求出的面积，根据正六边形的面积为6倍的面积，求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】如图，连接，过点O作于点G，
∵正六边形的中心角，
∴为等边三角形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴圆内接正六边形的面积为，
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解；根据函数图象，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程有实数解，
∴可以理解为和有交点，
由图可得，，
∴，
∴的最大值为．
故选C．
9．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，折线统计图；设该品牌汽车的销售量月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：该品牌汽车的销售量月平均增长率为，依题意得，
故选：A．
10．C
【分析】本题考查旋转图形的性质，勾股定理和等腰三角形的判定与性质．由旋转的性质可得，，，，根据三角形内角和定理和已知证明是等腰直角三角形，根据勾股定理可得，根据即可求解．
【详解】解：由旋转可得，，，，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
故选：C．
11．（-2，3）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【详解】解：已知点P（2，-3），
则点P关于原点对称的点的坐标是（-2，3），
故答案为：（-2，3）．
【点睛】本题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
12．60
【分析】本题考查了旋转对称图形、正多边形的性质，求出正六边形的中心角是解题的关键．
先求出正五边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可，熟练掌握旋转图形的性质是解题的关键．
【详解】解：，
则这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身重合，
故答案为：60．
13．1
【分析】本题考查了二次函数的对称轴公式．根据抛物线的对称轴公式“抛物线的对称轴是直线”即可得出关于m的方程，解方程即得答案．
【详解】解：根据题意，得：，
解得：．
故答案为：1．
14．##
【分析】本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，以及弧长公式根据题意，先证明四边形是菱形，然后得到，是等边三角形，则，,再利用弧长公式即可得到答案.
【详解】解：连接，

∵，，，
∴四边形是菱形，
∴
又∵，
∴，是等边三角形，则
∴，
∴
∴.
故答案为：.
15．或1
【分析】根据题意若与相似，则或，当时，得出四边形是矩形，当时，则得出，进而解直角三角形，即可求解．
【详解】解： ∵，
∴，
若与相似，则或
当时，
∴
又则
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是矩形，
∴，
当时，则
∵
∴
∴
∴
又∵
∴
中，，，，
∴
∴
在中，
综上所述，的长为：或1
故答案为：或1．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与解直角三角形，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
16．有两种选法，理由见解析，，或，
【分析】本题考查了根的判别式，解方程，正确判定根的情况，再选择适当的方法写非常即可．
【详解】解：有两种选法
∵这个方程有两个不相等的实数根
∴
即，③④均可
选③解这个方程，则这个方程为：，
，
，
选④解这个方程，则这个方程为：，
，，，
，．
17．(1)见解析
(2)1200人
(3)
【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算良好类学生数，完善统计图即可．
（2）利用样本估计总体的思想计算即可．
（3）利用画树状图计算即可．本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键
【详解】（1）解：人
良好人数为：人，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：，人
答：估计竞赛成绩在良好及以上的学生约有1200人 ．
（3）解：
由表格可知共产生了12种结果，并且每一种结果出现的可能性相等，其中恰好是一男一女的结果有8种，
所以．
18．35元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每件帆布包的销售单价应定为元，根据题意列出方程，解方程，进而根据销售价不低于成本，且不超过60元，取舍方程的解．
【详解】解：设每件帆布包的销售单价应定为元，根据题意得：
，
解得：，
∵销售价不低于成本，且不超过60元
∴不合题意舍去
∴．
答：每件帆布包的销售单价应定为35元．
19．(1)
(2)或
【分析】本题考查了切线的性质，二次函数与一次函数的交点问题；
（1）过点A作轴，垂足为点E，轴，垂足为点F，可得四边形是矩形，勾股定理求得，进而得出，代入反比例函数解析式，即可求解；
（2）根据，关于对称，得出，进而结合函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：过点A作轴，垂足为点E，轴，垂足为点F，
∵与y轴的正半轴相切，
∴轴，，
∴四边形是矩形
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴
把代入得：，
∴，∴
（2）∵，关于对称，
∴，
根据函数图象可得，或时，
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先由等边对等角得出，再由对顶角相等，进而得出，根据等弧所对的圆周角相等得出，再根据角的转换即可证明；
（2）通过证明，根据相似三角形的性质得出，代入求解，再根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵AB是的直径，
∴AC为的切线；
（2）由（1）可知：，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
21．(1)，
(2)
(3)能得到满分，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用；
（1）根据表格数据即可求解；
（2）设抛物线的解析式为，由表格可知：抛物线的顶点坐标是，又图象经过点，然后待定系数法求解析式，即可求解；
（3）令，解方程，得出，与满分成绩比较，即可求解．
【详解】（1）根据表格数据可得时，对称轴为直线，当时，
即在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米，实心球在空中的最大高度是米；
故答案为：，．
（2）解：设抛物线的解析式为，
由表格可知：抛物线的顶点坐标是，
∴设抛物线的解析式为：
∵图象经过点，
∴，
∴，
∴；
（3）（3）当时，，
解得：；（不合题意，舍去），
．
答：明明在此次考试中能得到满分．
22．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，一次函数与反比例函数的综合问题，一次函数与二次函数的综合，
（1）直接根据角角边证明三角形全等即可；
（2）先求出A，C坐标，再得出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（3）过点C作，且，过点B作轴，垂足为点E，连接交抛物线于点P，求出直线的解析式，再与二次函数解析式联立，解方程即可；
熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，
∴
∵，，
∴
（2）∵，
∴当时，，当时，，，
∴，，
由（1）可知：，
∴，，
∴，点B的坐标为
把代入得：，解得，
∴反比例函数的解析式为：
（3）过点C作，且，过点B作轴，垂足为点E，连接交抛物线于点P，
∴，
由（2）可知，，
∴设直线的解析式为，
∴，∴，
∴
∴，
解得：，（不合题意，舍去）
当时，，
∴
23．（1）选择豆豆（或乐琪）同学的证明方法，证明见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）选择豆豆同学的证明方法：根据题意证明得出是等腰直角三角形，进而即可得出结论；乐琪同学的证明方法证明是等腰直角三角形，即可得证；
（2）延长到点，使，连接，延长证明,进而根据等腰直角三角形的性质得出，进而根据勾股定理即可得证；
（3）将沿折叠得到，得出三点共线，是等腰直角三角形，则，延长交于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，，证明得出，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出，即可求解．
【详解】（1）选择豆豆同学的证明方法
证明：∵，平分，则，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
乐琪同学的证明方法
证明：∵，平分，则，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：延长到点，使，连接，延长，
∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
．
（3）如图所示，将沿折叠得到，
∴，
∵，
∴，
∴三点共线，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
如图所示，延长交于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，，
∵，则，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，则，
在中，，则，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
累计抛掷的次数
正面朝上的次数
正面朝上的频率
水平距离
竖直高度
第一人第二人
男1
男2
女1
女2
男1
（男2，男1）
（女1，男1）
（女2，男1）
男2
（男1，男2）
（女1，男2）
（女2，男2）
女1
（男1，女1）
（男2，女1）
（女2，女1）
女2
（男1，女2）
（男2，女2）
（女1，女2）