安徽省淮南市谢家集区等3地2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份安徽省淮南市谢家集区等3地2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字等内容，欢迎下载使用。
考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．若，则x的值是（ ）
A．2B．C．D．3
2．一个四边形各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形最长边为15，则的最短边长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．已知线段a、b、c满足，其中a=4cm、b=12cm，则c的长度为( )
A．9cmB．18cmC．24cmD．36cm
4．如果在反比例函图象的每一支上，y随x的增大而增大，那么t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．如果，其面积比为，则它们的周长比为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象大致可以是（ ）
A．B．C．D．
7．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，反比例函数的图像经过平行四边形顶点C，D，若点A、点B、点C的坐标分别为，，，且，则k的值是（ ）

A．9B．10C．12D．15
9．如图，的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），P是⊙M上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、B关于原点O对称，则长的最小值为（ ）
A．6B．8C．12D．16
10．如图，在正方形中，，E是的中点，F是延长线上的点，将沿折叠得到．连接并延长分别交、于O、H两点，若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．过的反比例函数是 ；
12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ．
13．如图将绕点旋转得到，设点的坐标为，则A的坐标为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数的图象交于点D，交于点E．
（1）面积与面积关系是 ；
（2）若，，则k的值为 ．
三、（本题每小题8分，满分16分）
15．已知，求的值．
16．如图，点A、B分别在反比例函数（）和反比例函数的图象上，轴，求的面积．
四、（本题每小题8分，满分16分）
17．如图，是锐角的高，
(1)求证：．
(2)当，，时，求的值．
18．如图，半圆O中的直径，于D，求证：
五、（本题每小题10分，满分20分）
19．如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M，交边的延长线于点G，若，，
(1)的值为 ；
(2)求的值．
20．已知等边，E，F分别在边、上，将沿折叠，A点落在边上的D处．
(1)求证：；
(2)若时，求．
六、（本题满分12分）
21．如图，四边形内接于，是直径，过点C作于点D，连接

(1)求证：；
(2)若的半径为5，是的切线，且，求的长．
七、（本题满分12分）
22．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”,例如，点（2，2）是函数y＝2x－2的图象的“等值点”
(1)函数y＝2x＋2的图象的“等值点”坐标是 ；函数y＝x2－3x的图象的“等值点”坐标是 ；（直接填结果）
(2)设函数y=，y＝－x＋b图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为4时，求b的值．
八、（本题满分14分）
23．【感知】如图①，在正方形中，E为边上一点，连接，过点E作交于点F．易证：．（不需要证明）
【探究】如图②，在矩形中，E为边上一点，连接，过点E作交于点F．
（1）求证：．
（2）若，E为的中点，求的长．
【应用】如图③，在中，．E为边上一点（点E不与点A、B重合），连接，过点E作交于点F．当为等腰三角形时，的长为 ．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了比例的性质；根据比例的性质计算即可；掌握比例的性质是解题的关键．
【详解】解：
故选：B．
2．C
【分析】设四边形最短边长为x，根据相似多边形的性质列得2：x=5：15，，从而求出x．
【详解】设四边形最短边长为x，
∵四边形相似四边形，
∴2：x=5：15，
解得x=6，
故选：C．
【点睛】考查了相似多边形的性质，理解并掌握相似多边形的性质是解题的关键．
3．D
【分析】将a，b的值代入计算即可求出c的长度．
【详解】解：∵，a＝4cm，b＝12cm，
∴，
∴c＝36cm，
故选：D．
【点睛】此题考查了成比例线段，正确计算是解题的关键．
4．C
【分析】根据反比例函数的增减性与系数之间的关系进行求解即可．
【详解】解：∵在反比例函图象的每一支上，y随x的增大而增大，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知对于反比例函数，当时，在反比例函数图象的每一支上y随x的增大而减小，时，在反比例函数图象的每一支上y随x的增大而增大是解题的关键．
5．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方，相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．
【详解】解：∵，其面积比为，
∴相似比为，
∴它们的周长比为，
故选D．
6．C
【分析】根据一次函数图象所在象限，确定出a，b的符号，再根据反比例函数图象所在的象限，确定出a，b的符号，至此找出一次函数和反比例函数a，b的符号一致的选项即可．
【详解】解：A.由一次函数图象知a，b异号，由反比例函数图象知a，b同号，故该选项错误，不符合题意；
B.由一次函数图象知a，b同号，由反比例函数图象知a，b异号，故该选项错误，不符合题意；
C.由一次函数图象知a，b异号，由反比例函数图象知a，b异号，故该选项正确，符合题意；
D.由一次函数图象知a，b异号，由反比例函数图象知a，b同号，故该选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数图象与系数的关系．解题的关键在于确定出a，b的符号，明确系数与函数图象的关系．
7．C
【分析】先根据一元二次方程有实数根求出ac≤4，继而画树状图进行求解即可.
【详解】由题意，△=42-4ac≥0，
∴ac≤4，
画树状图如下：
a、c的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数，
所以a、c的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为，
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到ac≤4是解题的关键.
8．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数与几何综合，根据平行四边形的性质可得点D坐标为，再根据反比例函数的图像经过点C，D，进而可得，进而可得，再根据已知可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
可由平移得到，
点、点、点C的坐标分别为，，,
点D坐标为，
反比例函数的图像经过点C，D，
，
，
，
，，
，
故选A．
9．C
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到，可知要使长最小，则需取得最小值，连接，交于，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点，利用坐标与图形性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
若要使长最小，则需取得最小值，
连接，交于，当点位于位置时，取得最小值，
过点作轴于点，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、坐标与图形、点与圆的位置关系等知识，能将求的最小值转化为求长是解答的关键．
10．A
【分析】解：设，则，由翻折可知，，易证根据相似的性质得解得及，勾股定理求出，再证得即可求解．
【详解】解：设，则，
由翻折可知，
，
，E是的中点，
，
由题意可知：
，
，
，
即，
解得，
，
，
又，
，
，
，
，
即：，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形和翻折的性质，相似三角形的证明和性质的应用；解题的关键是巧设未知数，利用勾股定理和相似构造等量关系求解．
11．
【分析】本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键．设反比例函数解析式为，然后把点代入求出值，即可得到解析式．
【详解】解：设这个反比例函数解析式为，
反比例函数图像过点，
，
解得：，
这个反比例函数的解析式是．
故答案为：．
12．
【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．
【详解】解：∵，
，
，
∴，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．
13．
【分析】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点、关于点成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．设点的坐标是，根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可．
【详解】解：根据题意，点、关于点对称，
设点的坐标是，
则，，
解得，，
点的坐标是．
故答案为：．
14． 相等 3
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，k的几何意义，根据点A与点D在反比例函数上得出， 设点D的坐标为：，则，根据，得出，即可求出k的值．解题的关键是理解k的意义．
【详解】解：∵点A与点D在反比例函数上，
∴，
∵，四边形为矩形，
∴设点D的坐标为：，则，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：相等；3．
15．
【分析】本题考查了比例的性质．熟练掌握比例的性质是解题的关键．
由题意得，，则，然后求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴．
16．1
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，延长交y轴于C，得到轴，设，则，即可得到，，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，延长交y轴于C，
∵轴，
∴轴，
设，则，
∴，，
∴．
17．(1)见解析
(2)1
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用；
（1）由勾股定理得，，相减求出，然后进一步变形整理即可；
（2）代入数据求出，然后根据计算即可．
【详解】（1）解：∵是锐角的高，
∴由勾股定理得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）当，，时，，
∴．
18．详见解析
【分析】连接， 由垂直的定义得到，根据圆周角定理及余角的性质得到，证明，根据相似三角形的性质即可得到答案．
此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，证明是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，
∴．
又是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．(1)1
(2)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出结论；
（2）根据相似三角形的性质得出，进而在，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：是正方形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
同理可得，
∴，
故答案为：；
（2）∵是正方形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵M为中点，
∴
∴，
又，
∴，
∴，
由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质与折叠的性质得到，，进而证明，即可证明；
（2）设，则，得到的边长为，根据相似三角形的周长比等于相似比即可得到．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设，则，
∴的边长为，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理，折叠的性质等知识．熟知相关知识，特别是相似三角形的判定与性质定理是解题关键．
21．(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据是的直径，可得，由，可得，再由四边形是的内接四边形，可得，即可求证；
（2）连接，过作于点，根据切线的性质可得，从而得到四边形为矩形，可得，再由勾股定理求出即可求解．
【详解】（1）证明：∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，又，
∴，
∴．
（2）如图，连接，过作于点，

∵是的切线，
∴，即，
∵于点，于点，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵的半径为5，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．
22．(1)（－2，－2）；（0，0），（4，4）
(2)8或-4
【分析】（1）根据“等值点”的定义计算即可；
（2）先根据“等值点”的定义求出A、B、C的坐标，再表示出△ABC的面积列方程，求解即可．
【详解】（1）（1）当时，
∴函数y＝2x＋2的图象的“等值点”坐标是（－2，－2）
当时，解得，
∴或
∴函数y＝x2－3x的图象的“等值点”坐标是（0，0），（4，4）
故答案是：（－2，－2），（0，0），（4，4）；
（2）当时，
∴函数的图象的“等值点”A坐标是（2，2）
当时，
∴函数的图象的“等值点”B坐标是
∵BC⊥x轴，垂足为C．
∴C点坐标为
∴，点A到BC的距离为
∴
整理得
解得．
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“等值点”综合运用、解一元二次方程，综合性较强，解题关键是理解并运用新定义．
23．（1）见解析（2）应用：或2
【分析】（1）利用同角的余角相等得，从而证明结论；
（2）由（1）知，得，代入计算即可；
应用：分三种情况讨论：①，此时点E与点A重合，点F与点B重合，不符合题意；②，利用证明，得，可得答案；③，则∠，则，则，从而解决问题．
【详解】（1）证明：，
，
，
∵四边形是矩形，
，
，
，
；
（2）解：∵E为中点，
，
由（1）知，
∴，即，
；
应用：
解：，，
，，
为等腰三角形，分三种情况：
①当，则，
则点E与点A重合，点F与点B重合，不符合题意；
②如图1，当时，则，
，
为的外角，
，
，
，
，
，
；
③如图2，当时，则，
，
在中，，
，
，
又，
∴点E为中点，
．
综上所述，的长为或2；
故答案为：或2．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，运用分类思想是解题的关键．