湖南省株洲市渌口区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份湖南省株洲市渌口区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了18等内容，欢迎下载使用。
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分
1．若，则（ ）
A．3B．－3C．D．81
2．反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（2，3）
4．小颖随机抽查她家6月份某5天的日用电量（单位：度），结果如下：9，11，7，10，8．根据这些数据，估计她家6月份的用电量为（ ）
A．180度B．210度C．240度D．270度
5．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）

A．4B．9C．12D．
8．如图，某游乐场一个跷跷板支撑柱垂直地面，，当的一端A着地时，，若，则（ ）

A．B．C． D．
9．刘老师从全校2000名学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分学生的答卷，并将结果统计后绘制成如图所示的条形统计图，其中一部分被墨迹遮盖．已知每天锻炼时长为1小时的学生人数占样本总人数的，则下列说法正确的是（ ）

A．抽取的学生人数小于
B．名学生是样本
C．被调查学生中，锻炼时长为1.5小时的人数最多
D．该校锻炼时长为2小时的学生约有名
10．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴是直线，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．点在函数图象上
二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．计算： ．
12．设方程的两根分别是，，则的值为 ．
13．在中，，已知，那么的值是 ．
14．已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标是 ．
15．如图所示，已知在梯形ABCD中，，，则 ．
16．如图，已知，，把绕原点逆时针旋转得到，点的对应点为点，若反比例函数的图象经过点，则的值是 ．
三、解答题（共9个小题，满分72分，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，要有必需的解题步骤与过程）
17．计算：
18．一块四周镶有宽度相等的花边的地毛如图，它的长为，宽为，如果地毛炎中央长方形图案的面积为，问花边有多宽？
19．江老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度,他利用了反射定律,利用一面镜子和皮尺,设计如图所示的测量方案:把镜子放在离银杏树的点处,然后观测者沿着直线后退到点,这时恰好在镜子里看到树梢顶点,再用皮尺量得,观测者目高,则树高约是多少?
20．已知（且）．
(1)化简A；
(2)若点在反比例函数的图象上，求A的值．
21．如图，点在轴的正半轴上，抛物线与直线在第一象限内的交点为，试求的值．
22．某学校为了了解学生每天零花钱的情况，从该校学生中随机抽取部分学生对每天零花钱情况进行了问卷调查和统计，并绘制成如图所示的两个统计图．请你根据以上信息回答下列问题：
(1)在这次调查中，共抽取的学生有多少人？
(2)在这次调查中，每天零花钱为元的学生有多少人？并补全条形统计图．
(3)该校共有学生人，请你估计这个学校学生每天零花钱的总数．
23．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）

(1)求索道的长（结果精确到）；
(2)求水平距离的长（结果精确到）．
（参考数据：，，，）
24．如图，矩形的顶点，在轴的正半轴上，点的坐标为，点在点的右侧，反比例函数在第一象限内的图象与直线交于点，交于点．
(1)求点的坐标及反比例函数的关系式；
(2)连接，若矩形的面积是27，求出的面积．
25．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，为坐标原点．
备用图
(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)设是在第一象限内抛物线上的一点，且，求点的坐标．
参考答案与解析
1．C
【分析】利用平方根定义开方即可求出解．
【详解】解：∵x2=9，
∴x=
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义．
2．D
【分析】根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、四象限．
【详解】解：反比例函数中，，根据反比例函数的性质，该函数的图象位于第二、四象限．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数的性质（1）当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
3．B
【分析】根据顶点式可直接进行求解．
【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，3）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查平均数的定义和用样本去估计总体．先求出所抽查的这5天的平均用电量，从而估计他家6月份日用电量，“平均数等于所有数据的和除以数据的个数”．
【详解】解：∵这5天的日用电量的平均数为（度），
∴估计他家6月份日用电量为9度，
∴估计她家6月份的用电量为：（度），故D正确．
故选：D．
5．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，首先根据一元二次方程根的判别式的意义得到，然后解不等式即可，掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
．
故选：A．
6．B
【分析】设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了场比赛，即可列出方程，求解即可．
【详解】解：设有x个班级参加比赛，
，
，
解得：（舍），
则共有6个班级参加比赛，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系．
7．B
【分析】根据相似三角形的性质即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B.
【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.
8．A
【分析】根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据，可得，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
在中，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
9．C
【分析】根据条形统计图相关数据即可进行判断．
【详解】解：A：抽取的学生人数为：（人），故A错误；
B：名学生的每天体育锻炼时长是样本，故B错误；
C：被调查学生中，锻炼时长为1.5小时的人数为：（人），人数最多，故C正确；
D：该校锻炼时长为2小时的学生约有：（人），故D错误；
故选：C
【点睛】本题考查由条形统计图推断结论．考查学生的数据处理能力．
10．B
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，a、b、c的正负，进而得出的正负；利用对称轴为直线，可得出与0的关系；由抛物线与x轴的交点情况，可得出与的大小关系；由抛物线与x轴的一个交点坐标为，再结合对称轴为直线，可得出另一个交点坐标．
【详解】解：A、由二次函数的图形可知：，所以．故本选项不符合题意；
B、因为二次函数的对称轴是直线，则，即．故本选项符合题意；
C、因为抛物线与x轴有两个交点，所以，即．故本选项不符合题意；
D、因为抛物线与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线，所以它与x轴的另一个交点的坐标为．故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与各项系数的关系，正确求得a，b，c的正负以及巧妙利用抛物线的对称轴是解决问题的关键．
11．2
【分析】根据特殊角的三角函数值，代入计算即可．
【详解】解：，
故答案为：2．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
12．3
【分析】利用利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求值即可．
【详解】解：由方程，可知其二次项系数，一次项系数，
由根与系数的关系，得
．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求解时可以利用常规思路求解一元二次方程．
13．
【分析】先设出三角形的三边，再利用余弦的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴设，则，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一个锐角的正弦与余弦值，解题关键是理解正弦与余弦的定义．
14．
【分析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点和函数图像上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数与坐标轴的交点、二次函数的对称轴为是解题的关键．
【详解】解：解：函数的对称轴，则与x轴的另一个交点的坐标为，
故答案为：．
15．##0.5
【分析】根据三角形的面积公式可知：当两三角形高相等时，面积之比等于底边长之比即可得出结果．
【详解】解：设△ABD的边AD上的高为
∵
∴△BCD的边BC上的高为
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查平行线间的距离、三角形面积，理解平行线间的距离得到两三角形高相等时解题的关键．
16．
【分析】本题考查的是旋转的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．根据图形旋转的性质求出D点的坐标，再代入反比例函数函数的解析式即可得出结论．
【详解】解：∵的直角边，，
由旋转的性质可求，，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴，
∴．
故答案为：．
17．
【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【详解】原式
18．花边的宽度为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练找到等量关系和解方程是解题的关键．
【详解】解：设花边宽为，则有，
解得．当时，（不合题意，舍去）．
答：花边的宽度为．
19．
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质．根据题意证出,再代入条件中具体数值继而得到本题答案．
【详解】解:由题意知,,,
∴,
∴,
∵,,,
∴,解得:,
答:树高约是．
故答案为:．
20．(1)
(2)
【分析】（1）分子用完全平方公式进行化简，因式分解，再与分母进行约分，化到最简；
（2）根据（1）中的化简结果，利用反比例函数的性质，求出的值，代入即可求出A的值．
【详解】（1）解：．
（2）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
【点睛】本题考查分式的化简求值，反比函数的性质，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
21．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，求出点B的坐标是解题的关键．把代入二次函数解析式求出x的值，得到点B的坐标，然后根据正切值的定义列式计算即可得解．
【详解】解：当时，，
解得，舍去，
∴点的坐标为，
．
22．(1)
(2)，作图见解析
(3)元
【分析】（1）从两个统计图中，可以得到每天零花钱为元的学生有人，占调查人数的，可求出调查人数；
（2）从扇形统计图中，可以得到每天零花钱为元的学生占调查人数的，用乘以调查人数可求出人数，即可补全条形统计图；
（3）样本估计总体，先确定一个人每天的零花钱有多少再乘以即可．
【详解】（1）解：从两个统计图中，可以得到每天零花钱为元的学生有人，占调查人数的，
∴（人）
答：共抽取的学生有人．
（2）从扇形统计图中，可以得到每天零花钱为元的学生占调查人数的，
∴（人），
∴每天零花钱为元的学生有人，
补全条形统计图为：
（3）∵（元），
∴（元）
答：估计这个学校学生每天零花钱的总数元．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和计算方法，通过两个统计图获取数量和数量之间的关系是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
23．(1)
(2)
【分析】（1）根据的余玄直接求解即可得到答案；
（2）根据、两段长度相等及与水平线夹角为求出C到的距离即可得到答案；
【详解】（1）解：∵两处的水平距离为，索道与的夹角为，
∴；
（2）解：∵、两段长度相等，与水平线夹角为，
∴，，
∴；

【点睛】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数．
24．(1)；
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，矩形的性质：
（1）根据矩形的性质，得到点D的横坐标为4，代入，可求得点D的坐标，再代入，得到k的值，即可得到反比例函数的关系式；
（2）设线段，线段的长度为，根据“矩形的面积是24”，可求出m的值，从而得到点E的坐标为，进而得到线段的长度，再根据三角形的面积公式计算即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，四边形是矩形，
∴可设D坐标为，
把代入直线得：，
∴点D的坐标为，
∵经过点，
∴，解得：，
∴反比例函数的关系式为：；
（2）解：设线段，线段的长度为，
∵，
∴，
∵矩形的面积是27，
∴，解得：，
即点B，点C的横坐标为：，
把代入得：，
即点E的坐标为：，
∴线段的长度为，
∴．
25．(1)
(2)30
(3)
【分析】（1）将点A和B两点代入即可求得二次函数解析式；
（2）过D作于N，作于M，根据第一问可得点，结合矩形、三角形的面积公式即可求得答案；
（3）连接，过C作交于E，过E作于F，根据题意得为等腰直角三角形，得到，结合角度正切值求得，进一步得，判定是等腰直角三角形，即可求得点，利用待定系数法求得直线直线的解析式，联立即可求得点P．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点．
∴，解得，
∴二次函数的表达式为．
（2）过D作于N，作于M，
，
根据，则顶点的坐标为，
；
（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限，当时，连接，过C作交于E，过E作于F，如图．
∵，则为等腰直角三角形，．
由勾股定理得：，
∵．
∴，即，
∴．
由，得，
∴．
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的坐标为，
则过B、E的直线的解析式为，
令，解得，或，
所以直线与抛物线的两个交点为，
即所求的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求函数解析式、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形和解方程组，解题的关键是熟悉二次函数的性质和解直角三角形．