河北省唐山市乐亭县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份河北省唐山市乐亭县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共23页。

1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共16小题，共38分，1-6小题各3分，7-16小题各2分）
1．已知反比例函数的图像过第二、四象限，则的取值可能是（ ）
A．2B．C．1D．0
2．下表记录了甲、乙、丙三名跳高运动员最近10次选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据，要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．无法选择
3．如图，点、、在上，若，则的度数为（ ）

A．38°B．76°C．80°D．60°
4．二次函数的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则sinB等于（ ）
A．B．C．D．
6．用配方法解一元二次方程，配方后可变形为（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是( )
A．点DB．点EC．点FD．点G
8．如图，在中，，，若，则等于（ ）

A．5B．4C．D．2
9．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则( )
A．B．C．D．
10．如图，在△ABC纸片中，∠A＝76°，∠B＝34°．将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）
A．①②B．②④C．①③D．③④
11．已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，的半径可取的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
12．如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部分的面积为（ ）．
A．B．C．D．
13．如图，平面直角坐标系中，点，点在函数的图象上，则的值为（ ）
A．9B．14C．30D．35
14．如图，一条公路环绕山脚的部分是一段圆弧形状（O为圆心），过A、B两点的切线交于点C，测得，A，B两点之间的距离为72米．则这段公路的长度为（ ）
A．米B．米C．米D．米
15．无论实数n为何值，y关于x的二次函数图象的顶点一定在（ ）
A．直线上B．y轴上C．直线上D．x轴上
16．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点是直线与的交点；当点A运动到时，点到达；当点A运动到时，点到达．若，则下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．当与相切时，D．当时，
卷Ⅱ（非选择题，共82分）
二、填空题（每小题3分共12分）
17．如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，若的面积为，则的值为 ．

18．如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度，，则中柱（D为底边中点）的长为 ．
19．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，该圆的直径是 ．
20．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于B，D两点，若直线与，共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ．
三、（本题满分10分）
21．为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机采访了该小区的10名居民，得到这10名居民一周内使用共享单车的次数统计表如下：
(1)这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是______次，众数是______次；
(2)若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数、方差和平均数中不受影响的是______（填“中位数”“方差”或“平均数”）；
(3)该小区有2000名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．
四、（本题满分12分）
22．如图，在中，，，D是边上一点，且．

(1)求证：．
(2)求的长．
五、（本题满分12分）
23．在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）．
(1)当抛物线经过点时，求a的值；
(2)当时，
①若y随x的增大而减小，则x的取值范围为 ；
②若，则函数的最大值为 ，最小值为 ．
六、（本题满分12分）
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出不等式的解集：
(3)点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标．
七、（本题满分12分）
25．“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系．
通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）进行的测量，得到以下数据：
根据上述数据，回答下列问题：
①野兔本次跳跃的最远水平距离为_________，最大竖直高度为_________；
②求满足条件的抛物线的解析式；
(2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为．若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆，则野兔此次跳跃_________（填“能”或“不能”）跃过篱笆．
八、（本题满分12分）
26．如图1，已知，点O在射线BC上，且．以点O为圆心，为半径作，交直线于点D，E．

图1 图2 备用图
(1)当与相切时，r的值是________．
(2)当时，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转．
①当为________时，射线BA与相切；
②如图2，射线与交于M，N两点，若，求阴影部分的面积．
(3)当与的边只有两个交点时，r的取值范围是________．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据分比例函数的性质即可解答，根据反比例函数的图像过第二、四象限得到是解答本题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的图像过第二、四象限，
∴，即B选项符合题意．
故选B．
2．A
【分析】本题主要考查方差，根据方差的意义求解即可．
【详解】解：由表格知，甲的方差最小，
所以要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲，
故选：A．
3．B
【分析】根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：，，
，
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
4．B
【分析】根据顶点式可直接写出顶点坐标．
【详解】解：二次函数的顶点坐标是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为直线，顶点坐标为．
5．D
【分析】根据锐角三角函数的正弦值进行求解即可．
【详解】解：由题意知
故选D．
【点睛】本题考查了正弦．解题的关键在于明确直角三角形中角的正弦值等于对边与斜边的比值．
6．A
【分析】本题主要考查配方法，所以此题可根据“方程两边加上一次项系数一半的平方”进行配方即可．
【详解】解：由题意可得：一元二次方程，配方后可变形为；
故选A．
7．A
【分析】根据三角形三边中垂线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可．
【详解】根据图形可知，直线DG是△ABC的BC边上的中垂线，点D在△ABC的AB边上的中垂线上，
∴点D是△ABC外心．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的外心的定义，注意：三角形三边中垂线相交于一点，这一点是此三角形的外心．
8．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，得出，通过证明，得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故选：B．
9．C
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ=（-2）2-4×（-a）＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得Δ=（-2）2-4×（-a）＞0，
解得a＞-1．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
10．C
【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】图①中，∠B＝∠B，∠A＝∠BDE＝76°，所以△BDE和△ABC相似；
图②中，∠B＝∠B，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似；
图③中，∠C＝∠C，∠CED＝∠B，所以△CDE和△CAB相似；
图④中，∠C＝∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；
综上分析可知，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，能熟记有两个角对应相等的两三角形相似是解此题的关键．
11．A
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根据直线与圆的位置关系可得出，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键．
【详解】解：，
，
或，
，，
的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，
，
与直线相离，
的半径，即，
故选：A．
12．C
【分析】先根据正五边形的内角和求出的度数，再利用扇形的面积公式即可得．
【详解】解：五边形是边长为6的正五边形，
，
则图中阴影部分的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查了扇形的面积、正五边形，熟练掌握正五边形的内角和是解题关键．
13．B
【分析】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合题型，相似三角形的判定和性质，利用三角形相似求出点C的坐标，熟练掌握待定系数法求反比例函数的比例系数是解决此题的关键．
作轴于，证明，求出，，得出，求出．
【详解】解：作轴于，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，，
∴，
∴．
将点C的坐标代入反比例函数解析式中，得
解得：．
故选：B．
14．B
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了弧长的计算．连接，如图，则米，先利用切线的性质得到，则根据四边形的内角和计算出，再判断为等边三角形得到米，然后根据弧长公式计算的长度即可．
【详解】解：连接，如图，则米，

∵、为的切线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴米，
∴的长度＝（米）．
故选：B．
15．A
【分析】本题考查了一元二次方程的图像与性质，根据二次函数得到顶点坐标，再把顶点代入选项中的式子即可判断，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：根据可知，
该函数的顶点坐标为，
∵，
∴该函数顶点一定在直线上，
故选：A．
16．C
【分析】本题考查了切线的性质定理和勾股定理，由题意可得从而可判断A、B选项，如图：当AB与⊙O相切时，求解，可得，可判断C；当时，如图，可得，，，可判断D；从而可得答案．理解题意并熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
【详解】解：如图，由题意可得：

∴，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
如图，当AB与⊙O相切时，

∴，
∴，
∴，故C符合题意；
如图：当时，

∴
∴，，
∴，故D不符合题意；
故选：C．
17．
【分析】根据的几何意义，结合函数图象即可求解．
【详解】解：∵PA⊥x轴于点A，的面积为，
∴
又∵点在第二象限，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
18．##
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质以及勾股定理．由等腰三角形的性质求得的长，由含30度直角三角形的性质得到，再根据勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
解得，
故答案为：．
19．9cm或3cm##3cm或9cm
【分析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径＝最小距离+最大距离；②当点在圆外时，直径＝最大距离﹣最小距离．
【详解】解：分为两种情况：
①当点在圆内时，如图1，
点到圆上的最小距离cm，最大距离cm，
直径cm；
②当点在圆外时，如图2，
点到圆上的最小距离cm，最大距离 cm，
直径cm；
故答案为：9 cm或3 cm
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
20．
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
【详解】解：把代入得，
解得或，
则点，，
抛物线：，，
由于抛物线向左平移2个长度单位得抛物线，
则抛物线解析式为，，
令，即，
解得或，
则点，
如图，
当与抛物线：相切时，
令，即，
根据相切可知方程有两个相等的解，即，
解得，
当过点时，即：，
解得：，
结合图象可知：直线与，共有3个不同的交点时，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
21．(1)13，16
(2)中位数
(3)23800次
【分析】（1）根据众数、中位数分别求解可得；
（2）由中位数不受极端值影响可得答案；
（3）先求出平均数，用总人数乘以样本中居民的平均使用次数即可得．
【详解】（1）解：这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是（次），
众数为16次，
故答案为：13，16；
（2）把数据“20”看成了“30”，
那么中位数，方差和平均数中不受影响的是中位数和众数，
故答案为：中位数．
（3）∵样本的平均数为：，
∴估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数为次．
【点睛】本题考查的是平均数、众数、中位数的求法和性质，方差的性质，样本估计总体，牢记各个数的定义是关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质；
（1）根据两角对应相等的两个三角形相似可得结论；
（2）利用相似三角形的对应边成比例列出比例式计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴（舍去负值）．
23．(1)
(2)①；②，
【分析】本题考查了二次函数的解析式、二次函数的最值、增减性等知识点．熟记相关结论即可．
（1）将点代入即可求解；
（2）由抛物线的解析式可确定对称轴和开口方向，据此即可求解．
【详解】（1）解：将点代入得：
，
解得：
（2）解：当时，
抛物线的对称轴为直线：，
∵抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小
若，
则当时，函数有最小值，最小值为；
当时，函数有最大值，最大值为；
故答案为：①；②，
24．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)或
(3)或
【分析】（1）把点代入直线得：，即可求得一次函数的解析式，把点代入，得，即可反比例函数的解析式；
（2）求出点的坐标，根据图象求解即可；
（3）根据图象求出，再根据求出，即可求出．
【详解】（1）解：把点代入直线得：，
直线，
即一次函数的解析式为，
把点代入，得
，
即反比例函数的解析式为；
（2）解：把点代入，得，
∴，
∵，
∴不等式的解集为或；
（3）解：把代入得：，
即点的坐标为：，
，
，
，
，
当点的纵坐标为3时，则，解得，
当点的纵坐标为时，则，解得，
点的坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数解析式，利用图象法求不等式的解集，一次函数图象与坐标轴交点，三角形面积，数形结合是解题关键．
25．(1)①，；②
(2)能
【分析】（1）①根据表格中的数据进行求解即可；②根据①所求把抛物线解析式设为顶点式，然后利用待定系数法求解即可；
（2）同理求出抛物线解析式，再求出当时，的值即可得到答案．
【详解】（1）解：①由表格中的数据可知，当时，，
∴野兔本次跳跃的最远水平距离为，
∴满足题意的抛物线对称轴为直线，
∵抛物线开口向下，
∴当，y最大，
∴由表格数据可知最大竖直高度为，
故答案为：，；
②由①可知抛物线顶点坐标为，
∴可设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为
（2）解：∵某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为，
∴此时满足题意的抛物线顶点坐标为，
同理可求出此时抛物线的解析式为，
当时，，
∵，
∴野兔此次跳跃能跃过篱笆，
故答案为：能．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的抛物线解析式是解题的关键．
26．(1)；
(2)①或；②
(3)或
【分析】（1）当与相切时，，进而可得出答案；
（2）①需要分两种情况：当射线在射线的上方与相切时，当射线在射线的下方与相切时，分别求出对应的即可；
②连接，，过点O作于点Q，由垂径定理可知，，进而根据三角形三边关系可得出，再利用弓形的面积公式可得出结论．
（3）根据题意，需要分两种情况：①在点D未到达点B前，圆O与射线有两个交点；②在点D到达点B后，圆O分别与射线，有一个交点，求出临界状态的r即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴当与相切时，，
故答案为：；
（2）解：①如图，当射线在射线的上方与相切时，设切点为P，连接．
∵，，
∴，
∴，
∴．
如图，当射线在射线的下方与相切时，设切点为P，连接．
同理可得，，
∴．
综上所述，当为或时，射线与相切；
②如图，连接，，过点O作于点Q，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）根据题意，需要分两种情况：①在点D未到达点B前，圆O与射线有两个交点；
当圆O与相切于点G，连接，则，
∵，
∴，
∴， ，
即此时，
②在点D到达点B后，圆O分别与射线，有一个交点，
如图，当点D刚好于点B重合，
此时，
结合图形可知，r的取值范围为：或．
【点睛】此题主要考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形以及扇形面积的计算方法，关键是求出的度数．
甲
乙
丙
平均数（）
186
186
186
方差
使用次数
0
5
10
16
20
人数
1
1
3
4
1
水平距离
0
1
2
竖直高度
0
0