湖北省武汉市洪山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份湖北省武汉市洪山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析），共24页。

1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．“致中和，天地位焉，万物育焉”．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．下列大学校徽的主体图案不是轴对称图形的是（ ）
A．武汉理工大学B．华中师范大学
C．华中农业大学D．武汉大学
3．下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．如果把中的和都扩大为原来的5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的4倍B．不变
C．缩小为原来的D．扩大为原来的5倍
6．若且，则分式的值是（ ）
A．B．2C．D．
7．△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则△ABC是（ ）
A．等边三角形B．腰底不等的等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
8．如图，中，，点D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠得到，点F是点A的对应点，与交于点E，下列结论一定正确的是（ ）

A．B．C．D．
9．已知实数满足，则代数式的值为（ ）
A．9B．7C．0D．
10．如图，在中，以，为腰作等腰直角和等腰直角，其中，连接，为边上的高，延长交于点．有下列结论：①；②；③；④为中点．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
将答案直接写在答题卡指定的位置上．
11．当x 时，分式的值为零．
12．化简： ．
13．已知 ，则 的值为 ．
14．已知是完全平方式，则常数 ．
15．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是 ．
16．如图，等腰直角中，，，为中点．点为射线上的一个动点，以为直角边向右上方构造等腰直角，，连接．在点的运动过程中，长度的最小值是 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程．
17．因式分解：
（1）
（2）
18．如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
19．先化简，再求值：，从，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
20．探索（1）如果，则______；
（2）如果，则______；
总结（3）如果（其中为常数），则______；
应用（4）若代数式的值为整数，求满足条件的整数的值．
21．如图，在网格中，每个小正方形边长为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)在图1中，作（D在下方），且；
(2)在图1中；作的中点，在线段上作点，使得；
(3)在图2中；在线段上作点，使得；
(4)在图2中，已知，在上作点，使得．
22．有一段6000米的道路由甲、乙两个工程队负责完成,已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天．
（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米?
（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队先单独工作若干天，再由甲、乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超过79000元，则两工程队最多可合作施工多少天?（注：工作天数取整数）
23．（1）如图1，中，，平分交于，过点作的垂线交的垂直平分线于M，连AM，N在的延长线上．求证：平分；
（2）把（1）中的“平分交手”换成“平分的外角交直线于D”，其他条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出的度数______；（用含的式子表示）
（3）在（1）的条件下；若（如图3），且，作于，求的长度．
24．在平面直角坐标系中，，，且．
(1)直接写出两点的坐标；
(2)如图1，点在线段上，且点横坐标为，连接．在第四象限过点作，且，连接，作于，交于点，求的面积；
(3)如图2，，与轴非负半轴重合，在第一象限，将以/秒的速度绕点在第一象限内逆时针旋转，，分别与线段交于点，，在第二象限过点作，且，问经过多长时间，为等腰三角形？
参考答案与解析
1．B
【分析】根据合并同类项法则计算并判定A；根据幂的乘方计算并判定B；根据积的乘方计算并判定C；根据单项式乘以单项式法则计算并判定D．
【详解】解：A、a3+a3=2a3，故此选项计算错误，不符合题意；
B、(a3)2=a6，故此选项计算正确，符合题意；
C、(ab)2=a2b2，故此选项计算错误，不符合题意；
D、2a53a5=6a10，故此选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查合并同类项，幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式，熟练掌握整式运算法则和幂的运算法则是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查轴对称图形定义．根据题意及轴对称图形定义逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵沿着一条对称轴折叠后两边能完全重合的图形即为轴对称图形，
∴A、不符合轴对称定义，故不是轴对称图形；
B、符合轴对称定义，故是轴对称图形；
C、符合轴对称定义，故是轴对称图形；
D、符合轴对称定义，故是轴对称图形；
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
根据因式分解的定义对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，A中，不是因式分解，故不符合要求；
B中，故不符合要求；
C中，不是因式分解，故不符合要求；
D中，是因式分解，故符合要求；
故选：D．
4．B
【详解】A．≠ ，故A不成立；
B． = ，故B成立；
C．不能约分，故C不成立；
D． ，故D不成立．
故选B．
5．D
【分析】本题主要考查分式的基本性质．根据分式的基本性质，即可求解．
【详解】解：，
∴分式的值扩大为原来的5倍．
故选：D．
6．A
【分析】本题考查分式通分，代数式求值问题．根据题意先将通分为，再利用题干条件代入即可得到本题答案．
【详解】解：∵，
∵，
∴，
故选：A．
7．A
【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2再化简得（a−b）2＋（a−c）2＋（b−c）2＝0，得出：a＝b＝c,即选出答案．
【详解】解：等式a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac等号两边均乘以2得：
2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ac
即a2−2ab＋b2＋a2−2ac＋c2＋b2−2bc＋c2＝0，
即（a−b）2＋（a−c）2＋（b−c）2＝0，
解得：a＝b＝c,
所以，△ABC是等边三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查等边三角形的判定，完全平方公式以及非负数的性质，化简式子得a＝b＝c，由三边相等判定△ABC是等边三角形．
8．B
【分析】延长交于点，根据折叠的性质可得，根据全等三角形的性质可得，，，故，根据全等三角形的平时和性质可得，根据三角形内角和可得，，即可得到．
【详解】延长交于点，如图：

∵是沿所在直线折叠得到的
∴
∴，，
∴
∴
∴
∴
∴
有∵
∴
故选项B正确
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9．B
【分析】本题考查了代数式的求值，根据题意可得，降次可得，利用整体思想即可求解．
【详解】解：∵，
∴
故选：B
10．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的性质是解题的关键．
由，则，可判断①的正误；当时，即，此时，可判断②的正误；如图，作于，的延长线于，证明，则，，同理，可证，则，，同理可证，则，，即为中点，可判断④的正误；由，可判断③的正误．
【详解】解：∵以，为腰作等腰直角和等腰直角，
∴，
由题意知，，
∴，①正确，故符合要求；
同理，，
由题意知，当时，即，此时，②错误，故不符合要求；
如图，作于，的延长线于，
∵，，，
∴，
∴，，
同理，，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴为中点，④正确，故符合要求；
∴，③正确，故符合要求；
故选：C．
11．= 3
【分析】根据分母为0是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．
【详解】解：根据题意，
∵分式的值为零，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式为0的条件、分式有意义的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
12．##
【分析】本题主要考查了分式的加减运算．根据同分母分式相加减运算法则计算，即可求解．
【详解】解：
故答案为：
13．
【分析】本题考查了幂的乘方的逆应用，同底数幂的除法逆应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】∵，且，
∴，
故答案为：．
14．或
【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟记完全平方公式的形式是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴或
故答案为：或
15．且
【分析】本题考查了解分式方程，一元一次不等式．熟练掌握解分式方程，一元一次不等式是解题的关键．
先求分式方程的解，然后根据解为正数列不等式，求解作答即可．
【详解】解：，
，
，
，
检验，将代入得，是原分式方程的解，
解得，，
∵分式方程的解是正数，
∴，
解得，，
∴的取值范围是且，
故答案为：且．
16．2
【分析】本题考查了轨迹、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，先作出来辅助线，然后证得两个三角形全等，可求得结果，找到最小值是解题的关键．
【详解】解：连接，过点M作的延长线于点G，过点A作交射线于点K，如图所示：
，
∵等腰直角中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，
，
∴（SAS），
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵M是中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当点D在射线上运动上时，点E在上运动，
∴当时，即点E在点G时，的值最小，
∴，
故答案为：2．
17．（1）；（2）
【分析】（1）先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
（2） 直接提取公因式（a-b），再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法则是解题关键.
18．(1)见解析；（2）
【分析】（1）由角平分线定义得出，由证明即可；
（2）由三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，在中，由三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：平分，
，
在和中，，
；
（2），，
，
平分，
，
在中，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键．
19．，4.
【分析】根据分式的运算法则和乘法公式将原式化简，根据分式存在有意义的条件选取合适的数代入代数式计算即可.
【详解】原式
．
∵x2﹣1≠0，x﹣2≠0，∴取x＝3，原式＝＝4．
【点睛】本题考查的是分式的运算和分式存在有意义的条件，根据分式有意义的条件挑选出合适的值代入是解题的关键.
20．（1）；（2）2；（3）；（4）0或2
【分析】本题考查了分式的加减运算．熟练掌握同分母分式的加减是解题的关键．
（1）由题意知，，然后求解作答即可；
（2）同理（1）；
（3）同理（1）；
（4）由题意知，，由代数式的值为整数，可知为整数，然后求解作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：由题意知，，
∵，
∴，
故答案为：2；
（3）解；由题意知，，
∵，
∴，
故答案为：；
（4）解：由题意知，，
∵代数式的值为整数，
∴为整数，
∴的值为0或2．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题考查平行线画法，角度画法．
（1）根据题意利用平移的性质即可画出；
（2）通过交叉连线得中点，由（1）画图可连接后交线段即为中点，利用对顶角相等性质，即作平分，再利用等腰三角形性质即可画出；
（3）先利用全等三角形的判定和性质（）构造等腰直角三角形，即可做出本题图形；
（4）利用等腰三角形性质作出，再利用格点的特点作出，使得与交点令为，利用线段垂直平分线性质连接并延长交于点即为所求．
【详解】（1）解：用一把无刻度直尺将直线平移至点处，即可满足条件，画图如下：
；
（2）解：由（1）图：连接，则与线段交点即为中点，
∵，
∴使得，即：作平分，
∴利用等腰三角形三线合一性质即可画出如下图所示：
；
（3）解：取格点S，连接，连接，则交于点即为所作，如下图所示：
；
（4）解：∵，，
∴是等腰三角形，
∴同（2）中画中点方法一样，找出的中点，连接，取格点，则，记与相交于点，连接并延长与交于点，
∴垂直平分，平分，
∴，
∴，
∴，如下图所示：
；
22．（1）300米,600米;（2）6天.
【分析】（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设两工程队合作施工a天，则根据“支付工程队总费用低于79000元”列出不等式．
【详解】（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米.
=+10
解得x=300．
经检验:x=300是原方程的解.
2x=2×300=600 ．
答：甲、乙两工程队每天分别完成300米和600米;
（2）设两工程队合作施工a天,则
12000a+7000×≤79000,
∴a≤6 且取整数,
∴取最大整数a=6,
答：两工程队最多可合作施工6天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
23．（1）见解析；（2）补全图形见解析，（3）2.5
【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的性质、三角形内角和定理．
（1）根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，得到；
（2）连接，过点M作于E，交CA的延长线于H，根据题意得到，证明，得到，根据等腰三角形的性质计算，得到答案；
（3）连接，过点M作交的延长线于E，根据角平分线的性质得到，证明，得到，根据题意列式计算即可．
【详解】解：（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即平分；
（2）解：如图2，连接，过点M作于E，交CA的延长线于H，
则，
由（1）可知：，
∵，
∴，
∵点M在的垂直平分线上，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：如图3，连接，过点M作交的延长线于E，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
解得：．
24．(1)，
(2)
(3)经过多长时间，为等腰三角形
【分析】（1）根据完全平方公式可得，即可求解；
（2）如图，过B作于Q，过E作于 S，可证明，可得，同理，可得，从而得到，进而可证明，继而得到P是的中点，再求出直线的解析式，可得到点E的坐标，即可求解；
（3）根据题意可得是等腰直角三角形，从而得到，可证明，可得，从而得到，可证明，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即，
∴，
解得：，
∵，，
∴，；
（2）解：如图，过B作于Q，过E作于 S，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即P是的中点，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
∵点横坐标为，
∴，
∴点E的坐标为，
∴的面积为；
（3）解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
即经过多长时间，为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的旋转，利用数形结合思想解答是解题的关键．