安徽省六安市金安区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份安徽省六安市金安区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共22页。

1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列函数中，的值随值的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
2．反比例函数的图象经过点（1，-2），则k的值为（ ）
A．B．C．2D．
3．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
4．大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ）

A．B．C．D．
5．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（ ）
A．4B．4C．6D．4
6．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则动力F关于动力臂l的函数图象为（ ）

A． B．
C． D．
7．正方形网格中，如图放置，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
8．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．B．6C．D．8
9．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中，，，为上任意一点，为的中点，连接在上且，连接，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．若，则的值为 ．
12．若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ．
13．如图，，，，则 ．
14．如图，点A在直线上，轴于点B，点C在线段上，以为边作正方形，点D恰好在反比例函数（k为常数，）第一象限的图象上，连接．
（1）若，，则 ；
（2）若，则 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15．计算：
16．定义新运算：对于任意实数m、n都有．
例如：，根据以上知识解决下列问题：
求抛物线的顶点坐标．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长．
18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1
和△A2B2C2：
(1)将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
(2)以图中的点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，，，，．求零件的截面面积．参考数据：，．
20．如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E，

(1)求证：；
(2)若，求的长；
六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
21．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4，3)，与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；
（2）已知点C(0，5)，试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
七、（本大题共1小题，共14分）
23．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点P是上方抛物线上的一动点，作轴于点M，点M的横坐标为，交于点D．

(1)求A，B的坐标和直线的解析式；
(2)连接，求面积的最大值；
(3)已知点Q也在抛物线上，点Q的横坐标为，作轴于点F，交于点E，若P，D，Q，E为顶点的四边形为平行四边形，求t的值．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，，对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，，对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，，的值随值的增大而减小，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
2．D
【分析】根据给定点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，此题得解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点（1，-2），
∴k=1×（-2），
∴k=-2．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征找出关于k的一元一次方程是解题的关键．
3．C
【分析】先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解：在反比例函数中，，
此函数图象在二、四象限，
，
点，在第二象限，
，，
函数图象在第二象限内为增函数，，
．
，点在第四象限，
，
，，的大小关系为．
故选：C．
【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
4．A
【分析】本题考查黄金分割的应用；由黄金分割知：，由此可求得的长．
【详解】解：∵P为的黄金分割点，
∴，
即，
故选：A．
5．B
【分析】根据题意判断出△CBA∽△CAD，从而利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵BC＝8，AD是中线，
∴CD＝BD＝4，
在△CBA和△CAD中，
∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，
∴△CBA∽△CAD，
∴，
∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32，
∴AC＝4；
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
6．B
【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可．
【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为和
∴动力F关于动力臂l的函数解析式为：，
即，是反比例函数，
又∵动力臂，
故B选项符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解本题的关键．
7．B
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理判断是等腰直角三角形，再利用正弦函数的定义求解即可．
【详解】解：由图形可知，C为边上的格点，连接，
根据勾股定理，，
，
，
所以，，
所以，是等腰直角三角形，
.
故选：B．
8．C
【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则：
，
解得：，
即蜡烛火焰的高度为，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．
9．A
【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b-1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0，即可进行判断．
【详解】点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y=x上，
∴x=ax2+bx+c，
∴ax2+（b-1）x+c=0；
由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，
∴方程ax2+（b-1）x+c=0有两个正实数根．
∴函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，
又∵-＞0，a＞0
∴-=-+＞0
∴函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0，
∴A符合条件，
故选A．
10．C
【分析】根据锐角三角函数得到，再利用中位线定理得到，最后根据三点共线的时，的值最小即可解答．
【详解】解：取的中点，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
当三点共线的时，的值最小
∴，
故选．

【点睛】本题考查了锐角三角函数，直角三角形的性质，中位线定理，掌握中位线定理是解题的关键．
11．##
【分析】本题考查了分式的求值，将分式化成含有的形式，再代入的值计算即可，将分式转化为含已知值的形式，利用整体代入法是解本题的关键．
【详解】解：．
12．9
【分析】抛物线与x轴只有一个公共点，则对应的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可．
【详解】解：∵抛物线与轴只有一个公共点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知抛物线与x轴只有一个公共点，则对应的一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键．
13．
【分析】利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．
14． 16 14
【分析】（1）根据，可以计算出点的坐标为，进而计算出的值；
（2）设正方形的边长为，，则，，利用等腰直角三角形的性质得，，点在反比例函数的图象上，，可得，再代入计算．
【详解】解：（1）∵点A在直线上，，
∴，即，
，，
，点的横坐标为：，
点的坐标为：，
．
故答案为：16；
（2）设正方形的边长为，，
则，，
，，
点在反比例函数的图象上，，
，即，
，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质，勾股定理，平方差公式，等腰直角三角形的判定和性质．
15．1

【详解】试题分析：先计算绝对值，三角函数，零指数，负指数，平方再按照实数的运算计算即可.
试题解析：
=2+2×-3+1
=2+-3+1
=
考点：三角函数，实数的运算.
16．
【分析】本题考查了新定义，二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标，解题的关键是掌握新定义运算法则．利用新定义运算法则得出解析式，然后利用配方法写出顶点式解析式，可以直接得到答案．
【详解】解：根据性定义得，
，
∴顶点坐为．
17．3+
【分析】过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．
【详解】解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD，
∵∠A=30°，AC=2，
∴CD=，
∴BD=CD=，
由勾股定理得：AD==3，
∴AB=AD+BD=3+，
答：AB的长是3+．
【点睛】此题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握了解直角三角形，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理．
18．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）把A、B、C三点先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到A1，B1，C1，顺次连接得到的各点即可；
（2）延长OA1到A2，使0A2=20A1，同法得到其余各点，顺次连接即可．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
19．53.76cm2
【分析】首先证明，通过解和，求出AE，BE，CF，BF，再根据计算求解即可．
【详解】解：如图，
四边形AEFD为矩形， ，
∴EF//AB，
∵，
∴，
∵
∴
在中，．

又
同理可得，
答：零件的截面面积为53.76cm2
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，通过解和，求出AE，BE，CF，BF的长是解答此题的关键．
20．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，再由根据折叠的性质可得，从而得到，即可求证；
（2）根据折叠的性质可得，再由勾股定理可得，即可求解．
【详解】（1）证明： ∵四边形是矩形，
∴，
∴，
根据折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴；
（2）解：根据折叠的性质得：，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
21．（1）y＝，y＝2x﹣5；（2）(2.5，0)
【分析】（1）利用待定系数法即可解答；
（2）设点M的坐标为（x，2x﹣5），根据MB＝MC，得到，即可解答．
【详解】解：（1）把点A（4，3）代入函数y＝得：a＝3×4＝12，
∴y＝．
OA＝＝5，
∵OA＝OB，
∴OB＝5，
∴点B的坐标为（0，﹣5），
把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得：
解得：；
∴y＝2x﹣5．
（2）∵点M在一次函数y＝2x﹣5上，
∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），
∵MB＝MC，
∴
解得：x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．方法二：∵B（0，﹣5）、C（0，5），
∴BC＝10，
∴BC的中垂线为：直线y＝0，
当y＝0时，2x﹣5＝0，即x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是利用待定系数法求解析式．
22．（1）10cm；（2）；（3）t＝3或t＝
【分析】（1）在Rt△CPQ中，当t=3秒，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；
（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式=CP×CQ求解；
（3）应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据，可求出时间t．
【详解】由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，
（1）当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm，
由勾股定理得PQ=；
（2）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，
因此Rt△CPQ的面积为S=；
（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，
，即，
解得：t=3秒；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，
，即，
解得：t=秒．
因此t=3秒或t=秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似
【点睛】本题主要考查了相似三角形性质以及勾股定理的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解防止漏解或错解，注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．
23．(1)，；
(2)
(3)或
【分析】（1）令，则，解方程求出x的值即可；根据B，C坐标，用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根娱点M的横坐标为t，点Q在抛物线上，D在直线，得出，，从而得出，然后由三角形的面积公式得出，再由函数的性质求最值即可；
（3）分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形两种情况，由P，Q的坐标求出，，再根据得出关于t的方程，解方程求出t即可．
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
，；
令，则，
，
设直线的解析式为，
把，代入解析式得：，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）∵点M的横坐标为t，点P在抛物线上，D在直线，
，，
，
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴面积的最大值为；
（3）①如图所示，当四边形为平行四边形时，

轴，轴，
，
∵四边形为平行四边形，
，
∵点Q的横坐标为，点Q在抛物线上，E在直线，
，，
，
，
解得；
②如图所示，当四边形为平行四边形时，

同①得出，
，
解得， ，
，
．
综上所述，或．
【点睛】本题考查二次函数的综合题，关键是掌握待定系数法求函数解析式，函数的性质以及平行四边形的性质及判定．