广东省湛江市赤坎区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份广东省湛江市赤坎区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列成语所描述的事件中是不可能事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．水到渠成D．不期而遇
3．的直径为，圆心到直线的距离为，下列位置关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
5．正六边形的周长为6，则它的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程式（ ）
A．B．C．D．
7．小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下：设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )
A．2πB．4πC．12πD．24π
9．设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
10．空地上有一段长为a米的旧墙，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园（如图），已知木栅栏总长为40米，所围成的长方形菜园面积为S平方米．若，，则（ ）

A．有一种围法B．有两种围法C．不能围成菜园D．无法确定有几种围法
二、填空题
11．若是方程的一个根，则 ．
12．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是 ．
13．如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐 标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴负半轴上，点B在轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是
15．如图，函数经过点，对称轴为直线：①；②；③；④；⑤若点、在抛物线上，则；⑥（m为任意实数），其中结论正确的有 ．

三、解答题
16．用适当的方法解下列一元二次方程：．
17．无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸性溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱性溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：A蒸馏水（中性）、B白醋溶液（酸性）、C食用纯碱溶液（碱性）、D柠檬水溶液（酸性）、E烧碱溶液（碱性）．
(1)小丽同学从这5瓶溶液中随机取一瓶，取样，滴加酚酞溶液，且操作正确，则滴入酚酞溶液后呈现红色的概率为______；
(2)小明从上述5瓶溶液中随机取两瓶，取样，滴加酚酞溶液，且操作正确，请你用列表或画树状图的方法，求选取的两瓶溶液滴入酚酞后都呈现红色的概率．
18．在如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)将绕点O顺时针旋转，画出旋转后的；
(2)在（1）的条件下，求点B绕点O旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
19．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；
（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
（3）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
20．如图，是的直径，是的一条弦，连接
(1)求证：
(2)连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．
21．为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
22．老师给小明出了一道题，小明感到有困难，请你帮助小明解决这个问题，题目是这样的：一个三角形两边长分别是3和4，第三边长是的一个实数根，请结合作图求这个三角形的外接圆面积．
23．如图，已知抛物线（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，且OC=OB．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
观鸟记录年度总结
2020年：观测鸟类150种
2021年：观测鸟类
2022年：观测鸟类216种
参考答案：
1．B
【分析】根据中心对称图形的定义和交通标志的图案特点即可解答．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．B
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【详解】解：A、守株待兔，这是随机事件，故该选项不符合题意；
B、水中捞月，这是不可能事件，故该选项符合题意；
C、水到渠成，这是必然事件，故该选项不符合题意；
D、不期而遇，这是随机事件，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．B
【分析】根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案.
【详解】解：⊙的直径为，
⊙的半径为，
圆心到直线的距离为，
，即：，
直线与⊙的位置关系是相交.
故选B.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是能熟练地运用直线与圆的位置关系的性质进行判断.
4．B
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
根据一元二次方程根的情况与根的判别式的关系判断即可．
【详解】解：，
，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，
故选：B．
5．B
【分析】首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为6，即可求得BC的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该六边形的面积．
【详解】解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，
∴∠BOC=×360°=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的周长为6，
∴BC=6÷6=1，
∴OB=BC=1，
∴BM=BC=，
∴OM= ，
∴S△OBC=×BC×OM= ，
∴该六边形的面积为： ．
故选：B．
【点睛】此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6．D
【分析】解题时首先进行移项，变形成，两边同时加上4，则把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【详解】解：
∴
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数移项到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
7．D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．用2020年观测到的鸟类的种类乘以增长率等于2022年观测到的鸟类种类，列出方程即可．
【详解】解：设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为，
由题意，得：；
故选D．
8．C
【分析】根据扇形的面积公式S=计算即可．
【详解】S=，
故选C．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键．
9．A
【详解】解：∵函数的解析式是，如图，
∴抛物线的对称轴是，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴点A关于对称轴的点A′是，
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增大而减小，
∴于是，
故选A．
10．A
【分析】设矩形的边为x米，则宽为米，根据面积建立一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设矩形的边为x米，则宽为米，

根据题意得：，
即：，
解得：，，
而，
∴，
∴，
∴只有一种围法，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程．
11．2
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解．把代入即可求解．
【详解】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：2．
12．2π
【分析】根据二次函数的性质可知C1与C2的图象关于x轴对称，从而得到x轴下方阴影部分的面积正好等于x轴上方空白部分的面积，所以，阴影部分的面积等于⊙O的面积的一半，然后列式计算即可得解．
【详解】解：∵与－互为相反数，
∴C1与C2的图象关于x轴对称，
∴x轴下方阴影部分的面积正好等于x轴上方空白部分的面积，
∴阴影部分的面积=×π•22=2π．
故答案填2π．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，根据函数的对称性判断出阴影部分的面积等于⊙O的面积的一半是解题的关键，也是本题的难点．
13．（1，1）或（4，4）
【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示，
∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），
∴E点的坐标为（1，1）；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示，
∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），
∴M点的坐标为（4，4）．
综上所述：这个旋转中心的坐标为（1，1）或（4，4）．
故答案为（1，1）或（4，4）．
14．D（，1）
【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA＝2，所以A（−2，0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．
【详解】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO＋∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180°−120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，
∴OB＝AB＝2，
∴OA＝OB＝2，
∴A（−2，0），B（0，2），
∴D点坐标为（−，1）．
故答案为（−，1）．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质．
15．①④⑥
【分析】①根据图象与轴有两个交点，即可判断；②根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断；③根据图象可得对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，再根据抛物线增减性即可判断；④根据图象抛物线与轴的一个交点为，可得，对称轴为，可得，将代入，即可判断；⑤根据图象可得，即可得出，再结合对称轴为，运用二次函数增减性即可判断；⑥根据和时的y值，结合抛物线的对称轴和开口方向得出当时，取最小值，可得，即可判断．
【详解】解：①抛物线与轴有两个交点，
，
，故①正确；
②抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴右侧，
与异号，即，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，故②错误；
③抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点为，
抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小，
当时，，
，故③错误；
④抛物线与轴的一个交点为，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
，故④正确；
⑤，
，
抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，
，故⑤错误；
⑥当时，，
当时，，
抛物线的对称轴为直线，开口向上，
当时，取最小值，
，
，故⑥正确；
综上所述，①④⑥正确，
故答案为：①④⑥．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识．
16．，．
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴，
解得，，．
17．(1)
(2)
【分析】（1）由概率公式计算即可；
（2）根据题意画树状图，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，酚酞溶液遇酸性溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱性溶液变红色，只有食用纯碱溶液和烧碱溶液是碱性的，
∴则滴入酚酞溶液后呈现红色的只有食用纯碱溶液和烧碱溶液，
∴滴入酚酞溶液后呈现红色的概率为，
故答案为：；
（2）解：树状图如下：
一共有20种情况，选取的两瓶溶液滴入酚酞后都呈现红色的情况有2种，
∴选取的两瓶溶液滴入酚酞后都呈现红色的概率为：．
【点睛】本题考查了利用树状图或表格法求概率以及概率公式求概率，掌握树状图或表格法求概率是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，即可；
（2）利用弧长公式求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
；
（2）解：在中，由勾股定理，得．
∴点B绕点O旋转到点所经过的路径长．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
19．（1）见解析；（2）；（3）达到优秀
【分析】（1）根据题意可直接画出图象；
（2）由图中信息可设抛物线解析式为，然后把点代入求解即可；
（3）当y=0时，则有，求解即可得到点C的坐标，进而问题可求解．
【详解】解：（1）如图所示．
（2）解：依题意，抛物线的顶点B的坐标为（4，3），点A的坐标为（0，2），
设该抛物线的表达式为，
由抛物线过点A，有，
解得，
∴该抛物线的表达式为；
（3）解：令，得，
解得，（C在x正半轴，故舍去），
∴ 点C的坐标为（，0），
∴ ，
由，可得，
∴ 小明此次试投的成绩达到优秀．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是由题中信息得出抛物线的解析式．
20．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）设交于点，连接，证明 ，故可得 ，于是 ，即可得到；
（2）连接AD，解出，根据为直径得到，进而得到，即可证明，故可证明直线为的切线．
【详解】（1）证明：设交于点，连接，
由题可知，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：
连接，
，
，
同理可得：,，
∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
直线为的切线．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键．
21．(1)（，且x为整数）
(2)每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克
【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量=每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴（，且x为整数）；
（2）解：设每平方米小番茄产量为W千克，
．
∴当时，w有最大值12.5千克．
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
22．或
【分析】利用因式分解法求出三角形的第三边长，然后分两种情况：当第三边长是3时，当第三边长是5时，结合三角形外接圆的性质解答，即可．
【详解】解：，
解得：，
当第三边长是3时，三角形三边长为3，3，4，
如图，，点O为的外接圆，连接， 交于点D，
∵点O为的外接圆，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
解得：，
∴这个三角形的外接圆面积为；
当第三边长是5时，三角形三边长为3，4，5，
如图，，点O为的外接圆，连接，
∵，
∴，
∴，
∵点O为的外接圆，
∴为圆O的直径，
∴，
∴这个三角形的外接圆面积为；
综上所述，这个三角形的外接圆面积为或．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，三角形的外接圆，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握解一元二次方程，三角形的外接圆，勾股定理，垂径定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
23．（1）y=-x2-2x+3（2）（-，）（3）满足条件的点P的坐标为P（-1，1）或（-1，-2）
【详解】（1）∵抛物线（）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴OB=3，
∵OC=OB，
∴OC=3，
∴c=3，
∴，解得：，
∴所求抛物线解析式为：；
（2）如图2，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，）（﹣3＜a＜0），
∴EF=，BF=a+3，OF=﹣a，
∴S四边形BOCE==BF•EF+（OC+EF）•OF===，
∴当a=时，S四边形BOCE最大，且最大值为．
此时，点E坐标为（，）；
（3）∵抛物线的对称轴为x=﹣1，点P在抛物线的对称轴上，
∴设P（﹣1，m），
∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，如图，
∴PA=PA′，∠APA′=90°，
如图3，过A′作A′N⊥对称轴于N，设对称轴与x轴交于点M，
∴∠NPA′+∠MPA=∠NA′P+∠NPA′=90°，
∴∠NA′P=∠MPA，
在△A′NP与△APM中，∵∠A′NP=∠AMP=90°，∠NA′P=∠MPA，PA′=AP，
∴△A′NP≌△PMA，
∴A′N=PM=|m|，PN=AM=2，
∴A′（m﹣1，m+2），
代入得：，
解得：m=1，m=﹣2，
∴P（﹣1，1），（﹣1，﹣2）．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式求法，二次函数的最值，旋转的性质是一道综合压轴题，难度较大．