四川省成都市邛崃市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份四川省成都市邛崃市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列各数中，无理数是（ ）
A．B．0C．D．
2．的立方根为（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．实数和数轴上的点是一一对应的B．7，8，是一组勾股数
C．的算术平方根是2D．直角三角形的两锐角互补
6．某学校计划组织“垫排球”比赛活动，为了解参赛学生垫排球水平及稳定程度，在比赛前期分别记录了甲、乙、丙、丁四名参赛学生在规定时间内10次垫排球的数量，并计算出了各自的平均个数及方差，如表所示：
根据上表所列数据，你认为参赛学生中获胜的可能性最大的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？现有一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了5元；如果每人出7元，则少了9元，问组团人数和物价各是多少？若设有x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是( )
A．B．
C．D．
8．正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是( )
A．B．C．D．
二、填空题
9．若实数的小数部分为a，则 ．
10．在平面直角坐标系中，点所在的象限是第 象限．
11．如图，直线a，b被直线c所截，，则 ．
12．若点都在一次函数的图象上，则m n（填“”“ ”或“”）．
13．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交边于点D，若点D到的距离为4，，则的面积为 ．

三、解答题
14．（1）计算：；
（2）解方程组：．
15．一段时间内，一家鞋店销售了某种品牌的女鞋30双，其中尺码为和的销售量还未统计完毕．各种尺码的销售量如表所示：
(1)这30双女鞋尺码的中位数为_______，众数为_______；
(2)当时，求出这30双女鞋中尺码为、和的三种鞋的尺码的平均数；
(3)在（1）（2）中求出的三个数据中，你认为鞋店老板最感兴趣的是_______．
16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上，点．
(1)请作出关于y轴对称的，并写出点的坐标：______；
(2)在x轴上存在一点P，当满足点P到点和点距离之和最小时，请直接写出的最小值：_______和点P的坐标：______．
17．如图，在长方形纸片中，，，将纸片按如图所示的方式折叠，使点与点重合，折痕为．
(1)求证：；
(2)求和的长．
18．如图，直线和直线相交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)在y轴上有一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线和于点B、C，若，求p的值；
(3)在（2）的条件下，点M为y轴正半轴上任意一点，当是以为斜边的直角三角形时，请直接写出点M的坐标．
四、填空题
19．若，则 ．
20．如图，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形两直角边长分别为6和8，则 ．
21．在中，，，高，则 ．
22．如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对为点P的斜坐标．若点P的斜坐标为，点G的斜坐标为，连接，则线段的长度为 ．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线：；直线l2：，直线上有一点A，且点A的纵坐标是．在直线的右侧作正方形，交直线于点D，交x轴于点E，连接交直线于点F，交x轴于点G，则下列结论正确的有 ．（填序号）
①的周长为；
②；
③；
④点P为射线上一动点，的最小值为．

五、解答题
24．“蓉宝”是成都2023年大运会吉祥物．大运会来临之际，“蓉宝”系列玩偶畅销全国．某礼品店在玩偶加工厂选中A，B两种玩偶，决定从该加工厂进货并销售，礼品店用1400元购进了A型玩偶15个和B型玩偶10个，已知购进1个A型玩偶和2个B型玩偶共需136元，销售每个A型玩偶可获利32元，每个B型玩偶可获利12元．
(1)求两种玩偶的进货价分别为多少？
(2)礼品店第二次计划购进两种玩偶共50个，其中A型玩偶个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少元？
25．在平面直角坐标系中，直线：分别交x，y轴于B，A两点，直线过点，交x轴于点D，交直线于点C，其中点C的横坐标为1．
(1)求直线l2的函数表达式；
(2)若点G是y轴上一点，且，求点G的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一点，且，直接写出点P的坐标．
26．在数学兴趣小组活动中，小明同学对几何动点问题进行了探究：
问题背景：在中，．点D为边上一动点，连接，点E为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边，连接．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当点D运动到的四等分点（靠近点B）时，点D停止运动，此时点E从点C运动到点D，试判断点E从点C运动到点D的过程中线段和的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点D从的四等分点（靠近点B）出发，向终点A运动，同时，点E从点D出发，向终点C运动，运动过程中，始终保持，直接写出的最小值和点F所经过的路径长．
参赛学生
甲
乙
丙
丁
51
53
55
55
6
尺码/
22
22.5
23
24
25
销售量/双
1
2
9
8
a
b
2
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了无理数．根据无理数的定义，无理数是无限不循环小数进行判断即可．
【详解】解：A、不是无理数，故本选项不符合题意；
B、0不是无理数，故本选项不符合题意；
C、不是无理数，故本选项不符合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】此题主要考查了立方根概念的运用能力，关键是能准确理解相关知识，并能进行正确计算．根据立方根的定义可得结果．
【详解】解：，
的立方根是，
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了轴对称以及点的坐标：关于y轴对称的点的坐标：横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此即可作答．
【详解】解：依题意，点关于y轴对称的点的坐标是
故选：B．
4．C
【分析】本题考查二次根式的运算．根据二次根式的加法运算法则判断A，根据二次根式的减法计算法则判断B，根据二次根式的乘法运算法则判断C，根据二次根式的除法运算法则判断D．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了判断命题的真假，熟记相关结论是解题关键．
【详解】解：实数和数轴上的点是一一对应的，故A符合题意；
∵，
∴7，8，不是一组勾股数，故B不符合题意；
∵，没有算术平方根，
故C不符合题意；
直角三角形的两锐角互余，故D不符合题意；
故选：A
6．D
【分析】本题主要考查平均数与方差的应用，根据方差判断成绩的稳定性是解题的关键．根据表中数据可知丁的平均成绩较高且方差小，故做出判断即可．
【详解】解：由根据表中数据可知
∵
∴丁的平均成绩较高且方差小，即成绩稳定，
故选：D．
7．B
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“如果每人出9元，则多了5元；如果每人出7元，则少了9元”，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．解答本题的关键是找出等量关系，列出相应的方程组．
【详解】解：设x人参与组团，物价为y元，
由“如果每人出9元，则多了5元”，可得，
由“如果每人出7元，则少了9元”，可得
故可得方程组，
故选：B．
8．A
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，正比例函数的性质， 由于正比例函数函数值随x的增大而减小，可得，然后，判断一次函数的图象经过象限即可．掌握“一次函数，当，时，图象过一、二、三象限；当时，图象过一、三、四象限；时，图象过一、二、四象限；时，图象过二、三、四象限”是解本题的关键．
【详解】解：∵正比例函数函数值随x的增大而减小，
∴，
∴一次函数的图象经过一、二、三象限．
故选：A．
9．/
【分析】本题考查了无理数的估算，确定的整数部分是解题关键．
【详解】解：∵，
∴的整数部分是，
∴，
故答案为：
10．四
【分析】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握四个象限内点的坐标符号．根据第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，可得答案．
【详解】解：∵
∴点在第四象限，
故答案为：四．
11．
【分析】本题考查了平行线的性质和邻补角，能根据平行线的性质求出的度数是解此题的关键．根据平行线的性质求出，再根据邻补角求出即可．
【详解】解：如图，
，，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一次函数的性质．由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合，即可求解．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵，且，
∴．
故答案为：
13．24
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，过点D作于点E，根据题意可得是的角平分线，再根据角平分线的性质可得，利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：过点D作于点E，

由题意得，是的角平分线，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：24．
14．（1）；（2）
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，解二元一次方程组：
（1）先根据二次根式的性质，零指数幂，绝对值的性质，负整数指数幂化简，再计算，即可求解；
（2）利用加减消元法解答，即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
由得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
15．(1)；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了中位数与众数，求加权平均数：
（1）根据中位数与众数的定义，即可求解；
（2）先求出a的值，再根据加权平均数的公式计算，即可求解；
（3）根据众数的意义，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：位于正中间的两个数均为，
∴这30双女鞋尺码的中位数为；
根据题意得：，
∴出现的次数最多，
∴众数为；
故答案为：；；
（2）解：根据题意得：，
∵，
∴，
∴尺码为、和的三种鞋的尺码的平均数为
（3）解：在（1）（2）中求出的三个数据中，鞋店老板最感兴趣的是众数，即尺码为．
故答案为：
16．(1)见解析，
(2)，
【分析】本题考查了坐标与轴对称、勾股定理以及一次函数解析式的求解，掌握相关结论是解题关键．
（1）关于轴对称的两点，其横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此即可求解；
（2）作关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，根据勾股定理求出的长度，设直线的解析式为：，将点，代入即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求
则，
故答案为：
（2）解：作关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，如图所示：
则，
，
∴的最小值为，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令，得，
∴
故答案为：，
17．(1)，证明见解析
(2)，
【分析】（1）根据折叠的性质，可得，由长方形可得，，利用等边对等角，即可得出，（2）设的长度为，为，在中应用勾股定理，列出一元二次方程，即可求出的长度，过点作，在中应用勾股定理，即可求出的长度．本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是，熟练应用折叠的性质及勾股定理，表示出线段的长度，列出等量关系式．
【详解】（1）根据折叠的性质，可得，
是长方形，
，
，
，
，
（2）设，则，
在中，
，即：，
解得：，
，
过点作，垂足为，
由（1）可知，，
又，，
，，
，
在中，
，即，
解得：，（舍），
故答案为：，．
18．(1)
(2)4或
(3)或或
【分析】本题考查一次函数的交点问题，一次函数的图象与性质，两点间的距离公式，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，根据题意列出方程求解是解题的关键．
（1）联立方程组得，再求解即可；
（2） 依题意可知，点B、C的纵坐标是p，令，求出点B、C的坐标，根据列出方程求解即可；
（3）设BC的中点为Q，，根据p的值求出点B、C的坐标，继而求出点Q的坐标，再根据“是以为斜边的直角三角形”得出，利用两点间的距离公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：联立方程组得：，
解得：，
故点A的坐标为
（2）∵在y轴上有一动点，过点P作y轴的垂线，
∴点B、C的纵坐标是p，
令，解得，即，
令，解得，即，
又∵，即，
解得：或，
故p的值是4或；
（3）设BC的中点为Q，，
①当时，即为，即为，
∴的中点为，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，即，
解得：，
∴或，
②当时，即为，即为，
∴的中点为，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，即，
解得：或(舍去)，
∴
综上所述：或或．
19．1
【分析】本题考查算术平方根的非负性，算术平方根的定义，根据题意得出，从而求出x、y即可得解，掌握算术平方根的非负性是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
20．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，确定各部分图形的面积关系是解题关键．
【详解】解：由题意得：直角三角形的斜边长为：，
由图可知：
故答案为：
21．12.5或5.5
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得，，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，．
【详解】解：分两种情况讨论：①如图1，锐角中，，，边上高，
在中，，，
由勾股定理得，
，
在中，，，
由勾股定理得，
，
的长为；
②如图2，钝角中，，，边上高，
在中，，，
由勾股定理得，
，
在中，，
由勾股定理得，
，
的长为．
故答案为：12.5或5.5．
22．
【分析】作轴交轴于，轴于，轴交轴于，连接交轴于．根据，，求得，，，，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，作轴交轴于，轴于，轴交轴于，连接交轴于．
，，
，，，，
∵轴，轴，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
∵轴，
，
∴
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
23．②
【分析】如图所示，过点A作轴于M，先求出，则，利用勾股定理求出，如图将绕点O顺时针旋转90度得到，则，，证明B、C、H三点共线，，则可证明，得到，进而得到，则的周长，故①错误；如图所示，取中点K，连接，证明是等边三角形，推出，得到，，设，则，则，利用勾股定理得到，解得，则，故②正确；如图将绕点O逆时针旋转90度得到，连接，证明，得到，由，得到，故③错误；由点P为射线上一动点，，则当时，最小，即此时最小，最小值为，故④错误．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于M，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
如图将绕点O顺时针旋转90度得到，
∴，，
∴，
∴B、C、H三点共线，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长，故①错误；
如图所示，取中点K，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴，
设，则，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
如图将绕点O逆时针旋转90度得到，连接，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵点P为射线上一动点，，
∴当时，最小，即此时最小，最小值为，故④错误；
故答案为：②．

【点睛】本题主要考查了正比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形三边的关系等等，通过半角模型构成全等三角形是解题的关键．
24．(1)A型玩偶的进货价为72元，B型玩偶的进货价为32元
(2)A型玩偶30个，B型玩偶20个才能获得最大利润，最大利润为1200元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用：
（1）设A型玩偶的进货价为a元，B型玩偶的进货价为b元，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）设所获利润为w元，根据题意，列出w关于m的函数关系式，即可求解．
【详解】（1）解：设A型玩偶的进货价为a元，B型玩偶的进货价为b元，根据题意得：
，
解得：，
答：A型玩偶的进货价为72元，B型玩偶的进货价为32元；
（2）解：根据题意得：A型玩偶m个，B型玩偶个，
设所获利润为w元，根据题意得：
，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∵，
∴当时，w取得最大值，最大值为1200元，
即A型玩偶30个，B型玩偶20个才能获得最大利润，最大利润为1200元．
25．(1)
(2)或
(3)点的坐标为或，
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）连接，过作轴于，利用点的坐标表示出相应线段的长度，利用，求得，再利用已知条件列出关于的方程，解方程即可得出结论；
（3）利用分类讨论的方法，分两种情况讨论解答：当点在轴的正半轴时，过点作于点，轴于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，设交轴于点，利用矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到：，，设，则，，列出方程求得值，进而求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，令，求得值，则结论可求；②当点在轴的正半轴时，过点作于点，轴于点，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，设交轴于点，利用同样的方法解答即可．
【详解】（1）解：把代入中得：，
，
设直线的函数表达式为，
，
，
直线的函数表达式为；
（2）在中，令，则，
，
，
在中，令，则，
，，
，
设，
连接，过作轴于，如图，
，，，
，
，
，
，
解得或，
或；
（3）①当点在轴的正半轴时，
过点作于点，轴于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，设交轴于点，如图，
，
，，
，
．
，轴，，，，
四边形，，为矩形，
，，，，，
，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，．
设，则，，
，
，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
令，则，
，
，；
②当点在轴的正半轴时，
过点作于点，轴于点，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，设交轴于点，如图，
，
，，
，
．
，轴，，，，
四边形，，为矩形，
，，，，，
，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，．
设，则，，
，
，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
令，则，
．
．
综上，点为轴上一点，且，点的坐标为或，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数的图象上点的坐标的特征，待定系数法，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)的最小值为，点F所经过的路径长
【分析】（1）证明，从而证明三角形全等；
（2）过点F作，垂足为点G，取点H为中点，连接，由四等分点证明，再根据三线合一得到，证明，从而得到是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到；
（3）以为边作等边三角形，连接，证明，可得点F在以为直径的圆弧上运动，起点为的中点N，终点为点M，连接，交圆弧于点F，此时取得最小值，通过证明，利用弧长公式得到点F所经过的路径长．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
过点F作，垂足为点G，取点H为中点，连接，
∵，
∴，
∴
∵点H是的中点，
∴
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵点H是中点，点D是四等分点，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴是的垂直平分线，
∴；
（3）解：以为边作等边三角形，连接，
∵是等边三角形．
∴，
∴，
∴，
∴，
即当点D和点E运动过程中，始终保持，
则点F在以为直径的圆弧上运动，起点为的中点N，终点为点M，
由三角形三边关系可知，则，
连接，交圆弧于点F，此时取得最小值，
∵是等边三角形，点O是中点，，
∴，
∴，
∴，
∵点N是中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
则的最小值为，点F所经过的路径长为．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，弧长公式，本题的关键在于构造全等三角形，利用定点定长的特点发现隐圆从而解决路径长问题．