山西省大同市第一中学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份山西省大同市第一中学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．双曲线的左焦点的坐标为( )
A.B.C.D.
2．在空间直角坐标系中,点,,则( )
A.直线坐标平面xOyB.直线坐标平面xOy
C.直线坐标平面xOyD.直线坐标平面xOy
3．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏,在某种玩法中,用表示解下n(,)个圆环所需的最少移动次数,满足,且,则解下4个圆环所需的最少移动次数为( )
A.7B.10C.12D.22
4．已知抛物线的焦点在y轴上,且焦点到坐标原点的距离为1,则抛物线的标准方程为( )
A.B.或
C.D.或
5．已知,则圆与直线的位置关系是( )
A.相切B.相交C.相离D.不确定
6．过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线,垂足为A.若(O为坐标原点),则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.2D.或2
7．已知双曲线,抛物线的焦点为F,抛物线E的准线与双曲线C的两条渐近线分别交于点A,B,若为正三角形,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
8．已知椭圆C:的左,右焦点分别为,,点M在椭圆C上,则的内切圆半径的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知,,则下列命题中正确的是( )
A.平面内满足的动点P的轨迹为椭圆
B.平面内满足的动点P的轨迹为双曲线的一支
C.平面内满足的动点P的轨迹为抛物线
D.平面内满足的动点P的轨迹为圆
10．若正项数列是等差数列,且,则( )
A.当时,B.的取值范围是
C.当为整数时,的最大值为29D.公差d的取值范围是
11．圆,抛物线,过圆心F的直线l与两曲线的四个交点自下向上依次记为P,M,N,Q若构成等差数列,则直线l的方程可能是( )
A.B.
C.D.
12．已知双曲线E过点且与双曲线共渐近线,直线l与双曲线E交于A,B两点,分别过点A,B且与双曲线相切的两条直线交于点P,则下列结论正确的是( )
A.双曲线E的标准方程是
B.若AB的中点为,则直线l的方程为
C.若点A的坐标为,则直线AP的方程为
D.若点P在直线上运动,则直线l恒过点
三、填空题
13．已知数列的前n项和,则数列的通项公式为________.
14．设P是抛物线上的一个动点,F为抛物线的焦点,点,则的最小值为________.
15．已知椭圆()的左焦点为F,经过原点的直线与C交于A,B两点,总有,则椭圆离心率的取值范围为________.
16．在棱长为2的正方体中,动点E在正方体内切球的球面上,则的取值范围是________.
四、解答题
17．求适合下列条件的曲线方程:
（1）与椭圆有相同的焦点,且过点的椭圆的标准方程;
（2）渐近线方程为,经过点双曲线的标准方程.
18．记为等差数列的前n项和,已知,.
（1）求的通项公式;
（2）求,并求的最小值.
19．如图,在棱长为2的正方体中,点M是的中点.
（1）求到平面BDM的距离;
（2）求证:平面平面.
20．已知数列满足,
（1）记,写出,并求数列的通项公式;
（2）求数列的前20项和.
21．已知抛物线的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
（1）若,求l的方程;
（2）若,求.
22．已知椭圆的离心率,且椭圆C经过点.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆C交于B,D两点,B关于x轴的对称点为A,求证:直线AD与x轴交于定点Q.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意可知焦点在x轴上,,即,
所以左焦点坐标为,
故选:A.
2．答案：C
解析：因为在空间直角坐标系中,易得平面xOy的法向量为,
平面xOz的法向量为
因为点,,所以,
易判断与,不平行,所以直线AB不垂直坐标平面xOy,也不垂直坐标平面xOz,故BD错误;
因为,所以直线AB不平行坐标平面xOy,故A错误;
因为,所以直线AB平行坐标平面xOz,故C正确;
故选:C.
3．答案：A
解析：由已知可得,,.
所以解下4个圆环最少需要移动7次.
故选:A.
4．答案：D
解析：由题意可知该抛物线的焦点坐标为或,
所以其对应标准方程为为或.
故选:D
5．答案：B
解析：圆心到直线的距离,
因为,
即,所以圆与直线的位置关系是相交,
故选:B
6．答案：B
解析：在中,因为,
所以,则,
所以,
故选:B
7．答案：C
解析：双曲线C的两条渐近线方程为,
抛物线E的焦点为,准线方程为,不妨取,,
为正三角形,由对称性可知,直线AF的倾斜角为,则,解得,
所以双曲线C的两条渐近线方程为.
故选:C
8．答案：D
解析：设的内切圆半径为r,椭圆方程为,
则,,,即,
又,
所以,
由于,
所以.
故选:D
9．答案：AD
解析：对于选项A,有,,且,由椭圆定义可知选项A正确;
对于选项B,有,,且,轨迹为射线,不符合双曲线的定义可知选项B错误;
对于选项C,有,,且,轨迹为线段AB的垂直平分线,不符合抛物线的定义可知选项C错误;
对于选项D,有,,且,设点,则,化简可得,可知选项D正确;
故选:AD
10．答案：ABC
解析：当,时,公差,,故A正确;
因为是正项等差数列,所以,即,且,
所以公差d的取值范围是,故D错误;
因为,所以的取值范围是,故B正确;
,当为整数时,的最大值为29,故C正确;
故选:ABC.
11．答案：CD
解析：如图所示:
由题意圆的标准方程为,其圆心为,半径为,
所以抛物线的焦点为圆心,
又,,构成等差数列,
所以,
又因为,,
所以,即,
不妨设,,由抛物线定义可知:,即,
当直线斜率不存在时:;
当直线斜率存在时:设直线l的方程为,
代入抛物线方程得,
所以,解得,
所以直线l的方程为或.
故选:CD.
12．答案：BC
解析：因为双曲线E与双曲线共渐近线,
所以可设双曲线E的方程为,又双曲线E过点,
所以,即,所以双曲线E的标准方程是,故A错误;
设,,由A,B在双曲线E上,得两式相减,
得,即,
又AB的中点为,所以,,所以,
直线l的方程为,即,故B正确;
设直线,代入曲线E的方程得,,令,得
,解得,则切线方程为,
即直线AP的方程为,故C正确;
设,由选项C同理可得直线BP的方程为,由点P在直线上运动,可设,
因为点P在AP与BP上,所以,因此直线l的方程为,
即,令,解得,
所以直线l恒过点,故D错误.
故选:BC.
13．答案：
解析：因为,
当时,,
当时,,
所以.
故答案为:.
14．答案：5
解析：抛物线,所以焦点为,准线方程为,
当时,所以,因为,所以点B在抛物线内部,
如图,
过B作准线的垂线垂足为,交抛物线于,
由抛物线的定义,可知,
故.
即当,,B三点共线时,距离之和最小值为5.
故答案为:5.
15．答案：
解析：如图,
设椭圆右焦点为,由对称性知是平行四边形,,
,,
设,,由椭圆定义知,则,当且仅当时等号成立,
在中,由余弦定理得,
又,,,解得.
故答案为:.
16．答案：
解析：取AB的中点为M,连接EM,则,
所以
,
正方体内切球的半径为,即,
设正方体内切球的球心为O,面ABCD的中心为,连接,OM,,
由正方体的性质知:面ABCD,所以面ABCD,
所以,所以,所以,
所以,,
所以的取值范围是:.
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）与椭圆有相同的焦点,则椭圆的焦点为,所以,
设椭圆的方程为,将代入可得,,
所以椭圆的标准方程为.
（2）由渐近线方程为,设双曲线的方程为,,
代入点可得,解得,
所以双曲线的标准方程为.
18．答案：（1）;
（2）,最小值为–16.
解析：（1）[方法一]:【通性通法】【最优解】公式法
设等差数列的公差为d,由得,,解得:,所以.
[方法二]:函数+待定系数法
设等差数列通项公式为,易得,由,即,即,解得:,,所以.
（2）[方法1]:邻项变号法
由可得.当,即,解得,所以的最小值为,
所以的最小值为.
[方法2]:函数法
由题意知,即,
所以的最小值为,所以的最小值为.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）以D为坐标原点,以DA,DC,为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,
所以,,,,
所以,,,
设平面BDM的一个法向量为,
因为,所以,
令,则,,所以,
设到平面的距离为,
所以.
（2）因为,,,
所以,,
设平面的一个法向量为,
因为,所以,
令,则,,所以,
又因为平面MBD的一个法向量,
所以,所以,
所以平面平面.
20．答案：（1）;;
（2）
解析：（1）由题意知显然2n为偶数,则,,
所以,即,且,
所以是以3为首项,3为公差的等差数列,
于是,,.
故数列的通向公式为.
（2）由题意知数列满足,,,,
所以.
所以数列的奇数项是以1为首项,3为公差的等差数列;
由知数列的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列.
从而数列的前20项和为:
.
故的前20项和为310.
21．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）设直线l方程为:,,
由抛物线焦半径公式可知:
联立得:
则
,解得:
直线的方程为:,即:
（2）设,则可设直线l方程为:
联立得:
则
,
,
则
22．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由离心率可得,
将点代入椭圆方程可得,又;
解得,
所以椭圆C的方程为
（2）设点,,则,直线PB的方程为,
直线PB与椭圆联立,消去x,得,
则可得,,
易知,得
由题意,直线AD的方程为,
令,所以点Q的横坐标,
所以直线AD与x轴交于定点