2024九年级数学下册第三章圆单元测试卷（附答案北师大版）

这是一份2024九年级数学下册第三章圆单元测试卷（附答案北师大版），共5页。
　圆(时间：100分钟　　满分：120分)　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是( C )A．2.5 B．3 C．5 D．102．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，OC，若OB＝BC，则∠BAC等于( C )A．60° B．45° C．30° D．20°eq \o(\s\up7(),\s\do5(第2题图))　　　eq \o(\s\up7(),\s\do5(第3题图))　　　eq \o(\s\up7(),\s\do5(第5题图))3．(2023·重庆)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为( B )A．30° B．40° C．50° D．60°4．下列说法正确的是( B )A．三点确定一个圆 B．经过圆心的直线是圆的对称轴C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等5．(2023·泰安)如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是( A )A．25° B．30° C．35° D．40°6．(2023·凉山州)如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2eq \r(3)，则OC＝( B )A．1 B．2 C．2eq \r(3) D．4eq \o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))　　　eq \o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))　　　eq \o(\s\up7(),\s\do5(第8题图))7．(2023·温州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD.若∠AOD＝120°，AD＝eq \r(3)，则∠CAO的度数与BC的长分别为( C )A．10°，1 B．10°，eq \r(2) C．15°，1 D．15°，eq \r(2)8．(2023·连云港)如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB，BC，CD，AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是( D )A．eq \f(41,4)π－20 B．eq \f(41,2)π－20 C．20π D．209．(2023·荆州)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(eq \x\to(AC))，点O是这段弧所在圆的圆心，B为eq \x\to(AC)上一点，OB⊥AC于D.若AC＝300eq \r(3) m，BD＝150 m，则eq \x\to(AC)的长为( B )A．300π m B．200π m C．150π m D．100eq \r(3)π meq \o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))　　　eq \o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))　　　eq \o(\s\up7(),\s\do5(第12题图))10．如图，⊙O的直径AB＝8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD＝10，则BF的长是( A )A．eq \f(8\r(17),9) B．eq \f(10\r(17),9) C．eq \f(8\r(15),9) D．eq \f(10\r(15),9)二、填空题(每小题3分，共15分)11．一个扇形的弧长是8π cm，圆心角是144°，则此扇形的半径是__10__cm.12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，若以点A为圆心，以4为半径作⊙A，则点A，点B，点C，点D四点中在⊙A外的是__点C__．13．(河南中考)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在eq \x\to(AD)上，∠BAC＝22.5°，则eq \x\to(BC)的长为__eq \f(5π,4)__．eq \o(\s\up7(),\s\do5(第13题图))　　　eq \o(\s\up7(),\s\do5(第14题图))　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ eq \f(\r(3),3)x＋ eq \f(2\r(3),3)与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为__2 eq \r(3)__．15．如图，在▱ABCD中，AD＝12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接OC.若OC＝AB，则▱ABCD的周长为__24＋6 eq \r(5)__．三、解答题(共75分)16．(8分)如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在内部作正方形ABMN，连接MC.求∠BCM的大小．解：∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠ABC＝120°，AB＝BC.∵四边形ABMN为正方形，∴∠ABM＝90°，AB＝BM.∴∠MBC＝120°－90°＝30°，BM＝BC.∴∠BCM＝∠BMC.∴∠BCM＝eq \f(1,2)×(180°－30°)＝75°17．(9分)如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED.连接BC，CD.求证：(1)△AOE≌△CDE；(2)四边形OBCD是菱形．证明：(1)在△AOE和△CDE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝CE，,∠AEO＝∠CED，,OE＝DE，))∴△AOE≌△CDE(SAS)(2)连接OC，∵AE＝CE，∴OD⊥AC，∵OE＝DE，∴CE垂直平分OD，∴CD＝CO，∴△OCD为等边三角形，∴∠COD＝60°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴BC∥OD，∴∠BCO＝∠COD＝60°，而OB＝OC，∴△OCB为等边三角形，∴BC＝OC，∴OB＝BC＝CD＝OD，∴四边形OBCD是菱形18．(9分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，3)，B(3，3)，C(4，2).(1)请在图中作出经过点A，B，C三点的⊙M，并写出圆心M的坐标；(2)若D(1，4)，则直线BD与⊙M的位置关系是__相切__．解：(1)如图所示，圆心M的坐标为(2，1)19．(9分)如图，已知在⊙O中，eq \x\to(AB)＝eq \x\to(BC)＝eq \x\to(CD)，OC与AD相交于点E.求证：(1)AD∥BC；(2)四边形BCDE为菱形．证明：(1)连接BD，∵eq \x\to(AB)＝eq \x\to(CD)，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC(2)连接CD，BD，设OC与BD相交于点F，∵AD∥BC，∴∠EDF＝∠CBF，∵eq \x\to(BC)＝eq \x\to(CD)，∴BC＝CD，BF＝DF，又∠DFE＝∠BFC，∴△DEF≌△BCF(ASA)，∴DE＝BC，∴四边形BCDE是平行四边形，又BC＝CD，∴四边形BCDE是菱形20．(9分)(2023·绍兴)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E.(1)若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；(2)若OB＝2，BD＝1，求CE的长．解：(1)∵AE⊥CD于点E，∴∠AEC＝90°，∴∠ACD＝∠AEC＋∠EAC＝90°＋25°＝115°　(2)∵CD是⊙O的切线，∴半径OC⊥DE，∴∠OCD＝90°，∵OC＝OB＝2，BD＝1，∴OD＝OB＋BD＝3，∴CD＝eq \r(OD2－OC2)＝eq \r(5).∵∠OCD＝∠AEC＝90°，∴OC∥AE，∴eq \f(CD,CE)＝eq \f(OD,OA)，∴eq \f(\r(5),CE)＝eq \f(3,2)，∴CE＝eq \f(2\r(5),3)21．(10分)(2023·张家界)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD.(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若AD＝10，cos B＝eq \f(3,5)，求FD的长．解：(1)连接OC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC＋∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD.∴∠DCF＋∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∵OC是⊙O的半径，∴FC是⊙O的切线　(2)∵∠B＝∠ADC，cos B＝eq \f(3,5)，∴cos ∠ADC＝eq \f(3,5)，在Rt△ACD中，cos ∠ADC＝eq \f(3,5)＝eq \f(CD,AD)，AD＝10，∴CD＝AD·cos ∠ADC＝10×eq \f(3,5)＝6，∴AC＝eq \r(AD2－CD2)＝8，∴eq \f(CD,AC)＝eq \f(3,4)，∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴eq \f(CD,AC)＝eq \f(FC,FA)＝eq \f(FD,FC)＝eq \f(3,4)，设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x＋10，又∵FC2＝FD·FA，即(4x)2＝3x(3x＋10)，解得x＝eq \f(30,7)(取正值)，∴FD＝3x＝eq \f(90,7)22．(10分)(2023·临沂)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点．(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠ABC＝75°，BC＝2，求eq \x\to(CD)的长．解：(1)连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OA＝OB＝OC，∵AB＝AC，∴△OAB≌△OAC(SSS)，∴∠OAB＝∠OAC，又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，∵AE∥BC，∴∠OAE＝∠AFB＝90°，∴OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，∴AE是⊙O的切线　(2)∵∠ACB＝∠ABC＝75°，∴∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，∴△BOC是等边三角形，∠COD＝180°－∠BOC＝120°，∴OC＝BC＝2，∴leq \x\to(CD)＝eq \f(120π×2,180)＝eq \f(4π,3)，∴eq \x\to(CD)的长是eq \f(4π,3)23．(11分)问题背景：如图1，在四边形ACBD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD.探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处(如图2)，易证点C，A，E在同一条直线上，且△CDE是等腰三角形，所以CE＝eq \r(2)CD，从而得出结论：AC＋BC＝eq \r(2)CD.简单应用：(1)在图1中，若AC＝eq \r(2)，BC＝2eq \r(2)，则CD＝__3__；(2)如图3，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，eq \x\to(AD)＝eq \x\to(BD)，若AB＝13，BC＝12，求CD的长；(3)如图4，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n(m