2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划1　转化化归——切中脉胳，巧施三角变换

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角的变换是指看所给式子中的角度是否单一，不单一要化为单一角、已知角或所要求的角．
例1 (1) 若sin 2α＝ eq \f(\r(5)),\s\d5(5))，sin (β－α)＝ eq \f(\r(10),10)，且α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则α＋β的值是( A )
A． eq \f(7π,4)B． eq \f(9π,4)
C． eq \f(5π,4)或 eq \f(7π,4)D． eq \f(5π,4)或 eq \f(9π,4)
【解析】 因为α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，所以2α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2π)).因为sin 2α＝ eq \f(\r(5),5)，所以2α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，cs 2α＝－ eq \f(2\r(5),5).因为β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，所以β－α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,4)))，所以cs (β－α)＝－ eq \f(3\r(10),10)，所以cs (α＋β)＝cs [2α＋(β－α)]＝cs 2αcs (β－α)－sin 2αsin (β－α)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))－ eq \f(\r(5),5)× eq \f(\r(10),10)＝ eq \f(\r(2),2).又因为α＋β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，2π))，所以α＋β＝ eq \f(7π,4).
(2) 已知0＜β＜ eq \f(π,4)＜α＜ eq \f(π,2)，且sin α－cs α＝ eq \f(\r(5),5)，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))＝ eq \f(4,5)，则sin (α＋β)＝( D )
A．－ eq \f(3\r(10),10)B．－ eq \f(\r(15),5)
C． eq \f(\r(15),5)D． eq \f(3\r(10),10)
【解析】 因为sin α－cs α＝ eq \f(\r(5),5)，所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝ eq \f(\r(10),10).因为 eq \f(π,4)＜α＜ eq \f(π,2)，所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝ eq \f(3\r(10),10).因为0＜β＜ eq \f(π,4)，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))＝ eq \f(4,5)，所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))＝ eq \f(3,5)，所以sin (α＋β)＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4))))) ＝ eq \f(\r(10),10)× eq \f(3,5)＋ eq \f(3\r(10),10)× eq \f(4,5)＝ eq \f(3\r(10),10).
(1) 当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2) 当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
变式1 (2023·淮南二模)已知0＜α＜ eq \f(π,2)， eq \f(π,2)＜β＜π，sin α＝ eq \f(3,5)，cs (α＋β)＝－ eq \f(4,5)，则sin β＝( A )
A． eq \f(24,25)B．－ eq \f(24,25)
C．－ eq \f(24,25)或 eq \f(24,25)D．0或 eq \f(24,25)
【解析】 因为0＜α＜ eq \f(π,2)，sin α＝ eq \f(3,5)，所以cs α＝ eq \r(1－sin2α)＝ eq \f(4,5).因为0＜α＜ eq \f(π,2)， eq \f(π,2)＜β＜π，所以 eq \f(π,2)＜α＋β＜ eq \f(3π,2).因为cs(α＋β)＝－ eq \f(4,5)，所以sin (α＋β)＝± eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))\s\up12(2))＝± eq \f(3,5).当sin (α＋β)＝ eq \f(3,5)时，sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cs α－cs (α＋β)sin α＝ eq \f(3,5)× eq \f(4,5)＋ eq \f(4,5)× eq \f(3,5)＝ eq \f(24,25).因为 eq \f(π,2)＜β＜π，所以sin β＞0，故sin β＝ eq \f(24,25)满足题意．当sin (α＋β)＝－ eq \f(3,5)时，sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cs α－cs (α＋β)sin α＝－ eq \f(3,5)× eq \f(4,5)＋ eq \f(4,5)× eq \f(3,5)＝0，因为 eq \f(π,2)＜β＜π，故sin β＝0不合题意，舍去．
函数名称的变换
函数名称的变换是指看问题中的函数名称是否统一、简单，目的是化成熟悉的形式．
例2 (1) 求值： eq \f(cs 10°(1＋\r(3)tan 10°),cs 50°)＝__2__.
【解析】 eq \f(cs 10°(1＋\r(3)tan 10°),cs 50°)＝ eq \f(cs 10°＋\r(3)sin 10°,cs 50°)＝ eq \f(2sin (10°＋30°),cs 50°)＝ eq \f(2sin 40°,sin 40°)＝2.
(2) 已知函数y＝ eq \f(1,2)cs2x＋ eq \f(\r(3),2)sinx cs x＋1(x∈R)，则当y取最大值时，自变量x的集合为__ eq \b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝kπ＋ eq \f(π,6)，k∈Z__.
【解析】 y＝ eq \f(1,2)· eq \f(1＋cs 2x,2)＋ eq \f(\r(3),2)· eq \f(sin 2x,2)＋1＝ eq \f(1,4)cs 2x＋ eq \f(\r(3),4)sin 2x＋ eq \f(5,4)＝ eq \f(1,2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋ eq \f(5,4)，当y取得最大值时，2x＋ eq \f(π,6)＝2kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z，即x＝kπ＋ eq \f(π,6)(k∈Z)，故所求的自变量x的集合为 eq \b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝kπ＋ eq \f(π,6)，k∈Z.
常用函数名称变换的方法：
(1) “化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”；
(2) “切化弦”．
结构形式的变换
结构形式的变换是指根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”“逆用变形公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等．
例3 (1) 若函数f(x)＝ eq \f(2a＋sin x,2a＋cs x)(|a|＞1)的最大值和最小值分别是M，m，则M·m的值为( A )
A．1B．－1
C．2D．－2
【解析】 设y＝ eq \f(2a＋sin x,2a＋cs x)⇒2ay＋y cs x＝2a＋sin x⇒2ay－2a＝sin x－y cs x⇒sin (x－φ)＝ eq \f(2ay－2a,\r(y2＋1))(tan φ＝y)⇒ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2ay－2a,\r(y2＋1))))≤1⇒(4a2－1)y2－8a2y＋(4a2－1)≤0(*).设关于y的方程(4a2－1)y2－8a2y＋(4a2－1)＝0的两根是y1，y2(y1＜y2)，由韦达定理可得y1·y2＝ eq \f(4a2－1,4a2－1)＝1，而不等式的解为y1≤y≤y2，即y1，y2分别是函数f(x)＝ eq \f(2a＋sin x,2a＋cs x)(|a|＞1)的最小值m和最大值M，故M·m＝1.
(2) 求值：tan 20°＋tan 40°＋ eq \r(3)tan 20°·tan 40°＝__ eq \r(3)__.
【解析】 原式＝tan (20°＋40°)(1－tan 20°tan 40°)＋ eq \r(3)tan 20°tan 40°＝ eq \r(3)－ eq \r(3)tan 20°tan 40°＋ eq \r(3)tan 20°tan 40°＝ eq \r(3).
运用两角和与差的三角函数公式时，不仅要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(如tan α＋tan β＝tan (α＋β)·(1－tan αtan β)，tan αtan β＝1－\f(tan α＋tan β,tan (α＋β))))和二倍角的余弦公式的多种变形等．