还剩3页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2 微切口1 离心率的计算
展开
这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2 微切口1 离心率的计算，共5页。
微切口1离心率的计算
结合定义构建“a，b，c”关系求离心率
例1 (2023·海安期末)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，若△PF1F2是以F1为顶点的等腰三角形，且cs∠F1PF2＝eq \f(3,4)，则椭圆C的离心率e＝__eq \f(2,5)__．
【解析】 由题知△PF1F2是以F1为顶点的等腰三角形，所以|PF1|＝|F1F2|＝2c．因为点P在椭圆C上，根据椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，故|PF2|＝2a－2c．因为cs∠F1PF2＝eq \f(3,4)，故在△PF1F2中，由余弦定理可得cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2·|PF1|·|PF2|)＝eq \f(3,4)，即eq \f(4c2＋2a－2c2－4c2,2·2c·2a－2c)＝eq \f(3,4)，可得 2a＝5c，即e＝eq \f(2,5)．
代入方程构建“a，b，c”关系求离心率
例2 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，过点F与x轴垂直的直线与直线AB交于点P．若线段OP的中点在椭圆C上，则椭圆C的离心率为( A )
A．eq \f(\r(,7)－1,2)B．eq \f(\r(,7)－1,3)
C．eq \f(\r(,5)－1,2)D．eq \f(\r(,5)－1,3)
【解析】 由题意知F(－c,0)，A(a,0)，B(0，b)．直线AB的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，过点F且与x轴垂直的直线方程为x＝－c，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,a)＋\f(y,b)＝1，,x＝－c，))可得x＝－c，y＝eq \f(a＋cb,a)，故Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(a＋cb,a)))，OP的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(c,2)，\f(a＋cb,2a)))，代入椭圆方程得eq \f(c2,4a2)＋eq \f(a＋c2,4a2)＝1⇔eq \f(c2,a2)＋eq \f(c,a)－eq \f(3,2)＝0⇔e2＋e－eq \f(3,2)＝0，解得e＝eq \f(\r(,7)－1,2)(负值舍去)．
借助隐含条件构建“a，b，c”关系求离心率
例3 (2023·温州三模)如图，A，B是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，P是圆O：x2＋y2＝a2上不同于A，B的动点，线段PA与椭圆C交于点Q，若tan∠PBA＝3tan∠QBA，则椭圆的离心率为( D )
(例3)
A．eq \f(1,3)B．eq \f(\r(2),3)
C．eq \f(\r(3),3)D．eq \f(\r(6),3)
【解析】 设Q(acsθ，bsinθ)，则tan∠PAB＝tan∠QAB＝eq \f(bsinθ,acsθ＋a)，tan∠QBA＝eq \f(bsinθ,a－acsθ)，两式相乘得tan∠PAB·tan∠QBA＝eq \f(b2,a2)①．因为直径所对的角是直角，所以∠PAB＋∠PBA＝eq \f(π,2)，所以tan∠PAB·tan∠PBA＝1②，①÷②得eq \f(tan∠QBA,tan∠PBA)＝eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，故e＝eq \r(1－\f(1,3))＝eq \f(\r(6),3)．
变式3 (2023·潍坊一模)已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点F2与抛物线C2：y2＝2px(p＞0)的焦点重合，点P为C1与C2的一个交点，若△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为4，C2的准线与C1交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(9,2)，则C1的离心率为( B )
A．eq \f(9,4)B．eq \f(5,4)
C．eq \f(9,5)D．eq \f(7,4)
【解析】 由题设知F1(－c，0)，F2(c,0)，又点F2与抛物线C2的焦点重合，即c＝eq \f(p,2)＞0．联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(－c2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,a2＋b2＝c2，))则y＝±eq \f(b2,a)，故|AB|＝eq \f(2b2,a)＝eq \f(9,2)，即4b2＝9a．如图，△PF1F2的内切圆与△PF1F2各边的切点为D，E，K，所以|PD|＝|PE|，|DF1|＝|KF1|，|EF2|＝|KF2|，又|PF1|－|PF2|＝2a，则(|PD|＋|DF1|)－(|PE|＋|EF2|)＝|DF1|－|EF2|＝|KF1|－|KF2|＝2a，所以K为双曲线右顶点．又△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为4，即a＝4，故b2＝9，则c＝5，所以离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)．
(变式3)
利用几何性质求离心率的范围
例4 已知F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l：x＝eq \f(a2＋b2,a)，且PQ⊥l，垂足为Q．若四边形QPF1F2为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是( B )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,2),2)，1))B．(eq \r(,2)－1,1)
C．(0，eq \r(,2)－1)D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(,2),2)))
【解析】 设P(x0，y0)，则Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋b2,a)，y0))，因为四边形QPF1F2为平行四边形，所以|PQ|＝|F1F2|，所以eq \f(a2＋b2,a)－x0＝2c，即x0＝eq \f(a2＋b2,a)－2c＝eq \f(2a2－c2－2ac,a)∈(－a，a)，所以－1＜eq \f(2a2－c2－2ac,a2)＜1，所以－1＜2－e2－2e＜1，又0＜e＜1，所以eq \r(,2)－1＜e＜1．
变式4 (2023·合肥一检)已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线PF1与y轴交于点Q．若AQ∥PF2，则双曲线E的离心率的取值范围为__(eq \r(2)＋1，＋∞)__．
【解析】 如图，根据题意可得F1(－c,0)，F2(c，0)，A(a，0)，设P(x1，y1)，则直线PF1的方程为y＝eq \f(y1,x1＋c)(x＋c)，所以直线PF1与y轴的交点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(cy1,x1＋c)))．由AQ∥PF2可得kAQ＝kPF2，即eq \f(\f(cy1,x1＋c)－0,0－a)＝eq \f(y1,x1－c)，整理得(a＋c)x1＝c2－ac，即x1＝eq \f(c2－ac,a＋c)．又因为P为双曲线右支上一点，所以x1≥a，当x1＝a时，AQ，PF2共线，与题意不符，即x1＞a，x1＝eq \f(c2－ac,a＋c)＞a，整理得c2－a2－2ac＞0，即e2－2e－1＞0，解得e＞eq \r(2)＋1或e＜1－eq \r(2)(舍去)，即双曲线E的离心率的取值范围为(eq \r(2)＋1，＋∞)．
(变式4)
利用已知不等关系求离心率的范围
例5 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若|AQ|≥2|AP|，则该双曲线的离心率的取值范围是( C )
A．(1，eq \r(,3)]B．[eq \r(,3)，＋∞)
C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(,21),3)))D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,21),3)，＋∞))
【解析】 由题意，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，不妨设双曲线的渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(b,a)x，,x2＋y2＝c2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝a，,y＝b))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－a，,y＝－b，))所以Q(a，b)，P(－a，－b)．又A为双曲线的左顶点，则A(－a，0)，所以|AQ|＝eq \r(,a＋a2＋b2)，|AP|＝eq \r(,[－a－－a]2＋b2)＝b，因为|AQ|≥2|AP|，所以eq \r(,a＋a2＋b2)≥2b，即4a2≥3(c2－a2)，所以e2≤eq \f(7,3)，又e＞1，所以e∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(,21),3)))．
(例5)
1．求离心率的方法：
求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数a，b，c的比例关系(只需找出其中两个参数的关系即可)，通常有两个方向：
(1) 利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形)，那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距，从而可求解．
(2) 构建方程通过坐标运算求解：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用a，b，c进行表示，再利用条件列出等式求解．
2．离心率的范围问题：
在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：
(1) 题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求．例如椭圆对横坐标的范围有要求．如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用a，b，c表示，且该点坐标的范围就是求离心率范围的突破口．
(2) 通过一些不等关系得到关于a，b，c的不等式，进而解出离心率．
注：在求解离心率范围时要注意，椭圆：e∈(0,1)，双曲线：e∈(1，＋∞)．
微切口1离心率的计算
结合定义构建“a，b，c”关系求离心率
例1 (2023·海安期末)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，若△PF1F2是以F1为顶点的等腰三角形，且cs∠F1PF2＝eq \f(3,4)，则椭圆C的离心率e＝__eq \f(2,5)__．
【解析】 由题知△PF1F2是以F1为顶点的等腰三角形，所以|PF1|＝|F1F2|＝2c．因为点P在椭圆C上，根据椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，故|PF2|＝2a－2c．因为cs∠F1PF2＝eq \f(3,4)，故在△PF1F2中，由余弦定理可得cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2·|PF1|·|PF2|)＝eq \f(3,4)，即eq \f(4c2＋2a－2c2－4c2,2·2c·2a－2c)＝eq \f(3,4)，可得 2a＝5c，即e＝eq \f(2,5)．
代入方程构建“a，b，c”关系求离心率
例2 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，过点F与x轴垂直的直线与直线AB交于点P．若线段OP的中点在椭圆C上，则椭圆C的离心率为( A )
A．eq \f(\r(,7)－1,2)B．eq \f(\r(,7)－1,3)
C．eq \f(\r(,5)－1,2)D．eq \f(\r(,5)－1,3)
【解析】 由题意知F(－c,0)，A(a,0)，B(0，b)．直线AB的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，过点F且与x轴垂直的直线方程为x＝－c，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,a)＋\f(y,b)＝1，,x＝－c，))可得x＝－c，y＝eq \f(a＋cb,a)，故Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(a＋cb,a)))，OP的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(c,2)，\f(a＋cb,2a)))，代入椭圆方程得eq \f(c2,4a2)＋eq \f(a＋c2,4a2)＝1⇔eq \f(c2,a2)＋eq \f(c,a)－eq \f(3,2)＝0⇔e2＋e－eq \f(3,2)＝0，解得e＝eq \f(\r(,7)－1,2)(负值舍去)．
借助隐含条件构建“a，b，c”关系求离心率
例3 (2023·温州三模)如图，A，B是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，P是圆O：x2＋y2＝a2上不同于A，B的动点，线段PA与椭圆C交于点Q，若tan∠PBA＝3tan∠QBA，则椭圆的离心率为( D )
(例3)
A．eq \f(1,3)B．eq \f(\r(2),3)
C．eq \f(\r(3),3)D．eq \f(\r(6),3)
【解析】 设Q(acsθ，bsinθ)，则tan∠PAB＝tan∠QAB＝eq \f(bsinθ,acsθ＋a)，tan∠QBA＝eq \f(bsinθ,a－acsθ)，两式相乘得tan∠PAB·tan∠QBA＝eq \f(b2,a2)①．因为直径所对的角是直角，所以∠PAB＋∠PBA＝eq \f(π,2)，所以tan∠PAB·tan∠PBA＝1②，①÷②得eq \f(tan∠QBA,tan∠PBA)＝eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，故e＝eq \r(1－\f(1,3))＝eq \f(\r(6),3)．
变式3 (2023·潍坊一模)已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点F2与抛物线C2：y2＝2px(p＞0)的焦点重合，点P为C1与C2的一个交点，若△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为4，C2的准线与C1交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(9,2)，则C1的离心率为( B )
A．eq \f(9,4)B．eq \f(5,4)
C．eq \f(9,5)D．eq \f(7,4)
【解析】 由题设知F1(－c，0)，F2(c,0)，又点F2与抛物线C2的焦点重合，即c＝eq \f(p,2)＞0．联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(－c2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,a2＋b2＝c2，))则y＝±eq \f(b2,a)，故|AB|＝eq \f(2b2,a)＝eq \f(9,2)，即4b2＝9a．如图，△PF1F2的内切圆与△PF1F2各边的切点为D，E，K，所以|PD|＝|PE|，|DF1|＝|KF1|，|EF2|＝|KF2|，又|PF1|－|PF2|＝2a，则(|PD|＋|DF1|)－(|PE|＋|EF2|)＝|DF1|－|EF2|＝|KF1|－|KF2|＝2a，所以K为双曲线右顶点．又△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为4，即a＝4，故b2＝9，则c＝5，所以离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)．
(变式3)
利用几何性质求离心率的范围
例4 已知F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l：x＝eq \f(a2＋b2,a)，且PQ⊥l，垂足为Q．若四边形QPF1F2为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是( B )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,2),2)，1))B．(eq \r(,2)－1,1)
C．(0，eq \r(,2)－1)D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(,2),2)))
【解析】 设P(x0，y0)，则Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋b2,a)，y0))，因为四边形QPF1F2为平行四边形，所以|PQ|＝|F1F2|，所以eq \f(a2＋b2,a)－x0＝2c，即x0＝eq \f(a2＋b2,a)－2c＝eq \f(2a2－c2－2ac,a)∈(－a，a)，所以－1＜eq \f(2a2－c2－2ac,a2)＜1，所以－1＜2－e2－2e＜1，又0＜e＜1，所以eq \r(,2)－1＜e＜1．
变式4 (2023·合肥一检)已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线PF1与y轴交于点Q．若AQ∥PF2，则双曲线E的离心率的取值范围为__(eq \r(2)＋1，＋∞)__．
【解析】 如图，根据题意可得F1(－c,0)，F2(c，0)，A(a，0)，设P(x1，y1)，则直线PF1的方程为y＝eq \f(y1,x1＋c)(x＋c)，所以直线PF1与y轴的交点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(cy1,x1＋c)))．由AQ∥PF2可得kAQ＝kPF2，即eq \f(\f(cy1,x1＋c)－0,0－a)＝eq \f(y1,x1－c)，整理得(a＋c)x1＝c2－ac，即x1＝eq \f(c2－ac,a＋c)．又因为P为双曲线右支上一点，所以x1≥a，当x1＝a时，AQ，PF2共线，与题意不符，即x1＞a，x1＝eq \f(c2－ac,a＋c)＞a，整理得c2－a2－2ac＞0，即e2－2e－1＞0，解得e＞eq \r(2)＋1或e＜1－eq \r(2)(舍去)，即双曲线E的离心率的取值范围为(eq \r(2)＋1，＋∞)．
(变式4)
利用已知不等关系求离心率的范围
例5 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若|AQ|≥2|AP|，则该双曲线的离心率的取值范围是( C )
A．(1，eq \r(,3)]B．[eq \r(,3)，＋∞)
C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(,21),3)))D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,21),3)，＋∞))
【解析】 由题意，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，不妨设双曲线的渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(b,a)x，,x2＋y2＝c2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝a，,y＝b))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－a，,y＝－b，))所以Q(a，b)，P(－a，－b)．又A为双曲线的左顶点，则A(－a，0)，所以|AQ|＝eq \r(,a＋a2＋b2)，|AP|＝eq \r(,[－a－－a]2＋b2)＝b，因为|AQ|≥2|AP|，所以eq \r(,a＋a2＋b2)≥2b，即4a2≥3(c2－a2)，所以e2≤eq \f(7,3)，又e＞1，所以e∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(,21),3)))．
(例5)
1．求离心率的方法：
求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数a，b，c的比例关系(只需找出其中两个参数的关系即可)，通常有两个方向：
(1) 利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形)，那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距，从而可求解．
(2) 构建方程通过坐标运算求解：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用a，b，c进行表示，再利用条件列出等式求解．
2．离心率的范围问题：
在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：
(1) 题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求．例如椭圆对横坐标的范围有要求．如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用a，b，c表示，且该点坐标的范围就是求离心率范围的突破口．
(2) 通过一些不等关系得到关于a，b，c的不等式，进而解出离心率．
注：在求解离心率范围时要注意，椭圆：e∈(0,1)，双曲线：e∈(1，＋∞)．
相关学案
2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2 微切口4 三角形中的特殊线段： 这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2 微切口4 三角形中的特殊线段，共6页。
2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2 微切口3 两直线斜率乘积为e2－1的应用： 这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2 微切口3 两直线斜率乘积为e2－1的应用，共5页。
2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2 微切口2 多面体的外接球与内切球： 这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2 微切口2 多面体的外接球与内切球，共8页。
