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2024年高考数学重难点突破讲义：学案 第1讲 数据分析——成对数据的统计分析
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这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：学案 第1讲 数据分析——成对数据的统计分析，共12页。
基础回归
1．已知变量x与y正相关，由观测数据算得样本平均数eq \x\t(x)＝3，eq \x\t(y)＝3.5，则由该观测数据算得的经验回归方程可能是( A )
A．eq \(y,\s\up6(^))＝0.4x＋2.3B．eq \(y,\s\up6(^))＝2x－2.4
C．eq \(y,\s\up6(^))＝－2x＋9.5D．eq \(y,\s\up6(^))＝－0.3x＋4.4
2．根据如下样本数据得到的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))中的eq \(b,\s\up6(^))＝－1.4，根据此方程预测当x＝10时，y的取值为( B )
A．－6.0B．－6.1
C．－6.2D．－6.4
【解析】 根据图表数据求出eq \x\t(x)＝eq \f(1,7)(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，eq \x\t(y)＝eq \f(1,7)(4.0＋2.5＋0.5－1－2.0－3.0－4.5)＝－0.5，把(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))代入回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝－1.4x＋eq \(a,\s\up6(^))，有－0.5＝－1.4×6＋eq \(a,\s\up6(^))，解得eq \(a,\s\up6(^))＝7.9，所以eq \(y,\s\up6(^))＝－1.4x＋7.9．当x＝10时，eq \(y,\s\up6(^))＝－1.4×10＋7.9＝－6.1．
3．(人A选必三P103练习4)随机抽取7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下：
则由样本数据可求出超市的销售额与广告支出之间的相关系数为__ 0.83__(保留两位有效数字)．
【解析】 成对数据的散点图如图所示．从散点图上可得，超市的销售额与广告支出之间呈现出线性相关关系，由数据可得eq \x\t(x)＝eq \f(1＋2＋4＋6＋10＋14＋20,7)＝eq \f(57,7)，eq \x\t(y)＝eq \f(19＋32＋44＋40＋52＋53＋54,7)＝42，eq \i\su(i＝1,7,x)iyi＝2 841，eq \i\su(i＝1,7,x)eq \\al(2,i)＝753，eq \i\su(i＝1,7, )yeq \\al(2,i)＝13 350，所以r＝eq \f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\t(x)\x\t(y),\r(,\i\su(i＝1,7,x)\\al(2,i)－7\x\t(x)2)\r(,\i\su(i＝1,7,y)\\al(2,i)－7\x\t(y)2))＝eq \f(447,\r(,\f(2 022,7))×\r(,1 002))≈0.83．
(第3题)
4．(人A选必三P134练习3)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，根据105个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：
(单位：只)
依据α＝0.05的独立性检验，分析药物A对预防疾病B的有效性(附：x0.05＝3.841)．
【解答】 零假设为H0：药物A对预防疾病B没有效果，根据列联表中数据，可得χ2＝eq \f(105×29×14－15×472,44×61×76×29)≈1.587＜3.841，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可认为H0成立，即认为药物A对预防疾病B没有效果．
举题固法
目标引领
一元线性回归模型及其应用
例1 (2023·合肥一检)研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化．某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下：
参考数据：eq \i\su(i＝1,6,y)eq \\al(2,i)＝3 160，eq \i\su(i＝1,6, )(yi－eq \x\t(y))2＝256．
参考公式：eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y), eq \i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)，r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(eq \i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)·eq \i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2))．
(1) 已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为eq \f(17,24)，求y1的值；
【解答】 因为1－eq \f(C\\al(3,7),C3y1)＝eq \f(17,24)，所以eq \f(7×6×5,y1y1－1y1－2)＝eq \f(7,24)，所以y1(y1－1)(y1－2)＝720＝10×9×8，所以y1＝10．
(2) 已知两个变量x与y之间的样本相关系数r＝eq \f(15,16)，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，据此估计昼夜温差为15 ℃时，该校新增患感冒的学生人数(结果保留整数)．
【解答】 因为eq \i\su(i＝1,6,x)i＝54，所以eq \x\t(x)＝9，所以eq \i\su(i＝1,6, )(xi－eq \x\t(x))2＝64．因为r＝eq \f(\i\su(i＝1,6, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(eq \i\su(i＝1,6, )xi－\x\t(x)2)·\r(eq \i\su(i＝1,6, )yi－\x\t(y)2))＝eq \f(\i\su(i＝1,6, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),8×16)＝eq \f(15,16)，所以eq \i\su(i＝1,6, )(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))＝8×15，所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y), eq \i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(8×15,64)＝eq \f(15,8)．又因为eq \i\su(i＝1,6, )(yi－eq \x\t(y))2＝eq \i\su(i＝1,6,y)eq \\al(2,i)－6eq \x\t(y)2＝256，解得eq \x\t(y)＝22，所以eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝22－eq \f(15,8)×9＝eq \f(41,8)，所以eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(41,8)＋eq \f(15,8)x．当x＝15时，eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(41,8)＋eq \f(15,8)×15≈33，所以可以估计，昼夜温差为15 ℃时，该校新增患感冒的学生人数为33．
一元线性回归模型应用要点
(1) 建立经验回归方程的步骤：
①计算出eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n)，x1y1＋x2y2＋…＋xnyn的值；
②利用公式计算参数eq \(a,\s\up6(^))，eq \(b,\s\up6(^))；
③写出经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))．
(2) 经验回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越接近于1时，两变量的线性相关程度越强．
变式1 (2023·济宁一模)某市航空公司为了解每年航班正点率x%对每年顾客投诉次数y(单位：次)的影响，对近8年(2015年～2022年)每年航班正点率x%和每年顾客投诉次数y的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值．
(1) 求y关于x的经验回归方程；
【解答】 eq \x\t(x)＝eq \f(600,8)＝75，eq \x\t(y)＝eq \f(592,8)＝74，则eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－8\x\t(x) \x\t(y), eq \i\su(i＝1,8, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(4 3837.2－8×75×74,93.8)＝－6，所以eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝74＋6×75＝524，所以eq \(y,\s\up6(^))＝－6x＋524．
(2) 该市航空公司预计2024年航班正点率为84%，利用(1)中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数．
【解答】 当x＝84时，eq \(y,\s\up6(^))＝20，所以估计2024年顾客对该市航空公司投诉的次数为20次．
非线性回归问题
例2 (2023·承德二模)某公司研制了一种对人畜无害的灭草剂，为了解其效果，通过实验，收集到其不同浓度x(单位：ml/L)与灭死率y的数据，得下表：
(1) 以x为解释变量，y为响应变量，在eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))和eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(c1,\s\up6(^))＋eq \(c2,\s\up6(^))lgx中选一个作为灭死率y关于浓度x(单位：ml/L)的经验回归方程，不用说明理由．
【解答】 根据表格数据可知解释变量x呈现指数增长，而响应变量y增长幅度不大，且相应的增加量大约相等，故选eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(c1,\s\up6(^))＋eq \(c2,\s\up6(^))lgx．
(2) ①根据(1)的选择结果及表中数据，求出所选经验回归方程；
②依据①中所求经验回归方程，要使灭死率不低于0.8，估计该灭草剂的浓度至少要达到多少ml/L?
【解答】 ①令ui＝lgxi，则eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(c1,\s\up6(^))＋eq \(c2,\s\up6(^))u，可得如下数据：
则eq \x\t(u)＝eq \f(1,5)(－12－10－8－6－4)＝－8，eq \x\t(y)＝eq \f(1,5)(0.1＋0.24＋0.46＋0.76＋0.94)＝0.5，eq \i\su(i＝1,5,u)eq \\al(2,i)＝(－12)2＋(－10)2＋(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＝360，eq \i\su(i＝1,5,u)iyi＝(－12)×0.1＋(－10)×0.24＋(－8)×0.46＋(－6)×0.76＋(－4)×0.94＝－15.6，所以eq \(c2,\s\up6(^))＝eq \f(－15.6－5×－8×0.5,360－5×－82)＝0.11，eq \(c1,\s\up6(^))＝0.5－0.11×(－8)＝1.38，所以eq \(y,\s\up6(^))＝1.38＋0.11u，即eq \(y,\s\up6(^))＝1.38＋0.11lgx．
②依题意，eq \(y,\s\up6(^))＝1.38＋0.11lgx≥0.8，即0.11lgx≥－0.58，即lgx≥－eq \f(58,11)，所以x≥10－eq \f(58,11)，即要使灭死率不低于0.8，则该灭草剂的浓度至少要达到10－eq \f(58,11) ml/L．
解题关键：(1) 会转化，把非线性回归方程转化为线性经验回归方程，求出线性经验回归系数，得出经验回归方程，最后转化为非线性经验回归方程．(2) 准确计算，读懂题意，会预测预报变量的值．
变式2 (2023·烟台一模)某院校研究小组以当地某水产养殖基地的黄河鲤仔鱼为研究对象，从出卵开始持续观察20天，试验期间，每天固定时段从试验水体中随机取出同批次9尾黄河鲤仔鱼测量体长，取其均值作为第ti天的观测值yi(单位：mm)，其中ti＝i，i＝1,2,3，…，20．根据以往的统计资料，该组数据(ti，yi)可以用Lgistic曲线拟合模型y＝eq \f(1,\f(1,u)＋abt)或Lgistic非线性回归模型y＝eq \f(u,1＋ea－bt)进行统计分析，其中a，b，u为参数．基于这两个模型，绘制得到如图所示的散点图和残差图．
(变式2)
(1) 你认为哪个模型的拟合效果更好？分别结合散点图和残差图进行说明；
【解答】 Lgistic非线性回归模型y＝eq \f(u,1＋ea－bt)拟合效果更好．从散点图看，散点更均匀地分布在该模型拟合曲线附近；从残差图看，该模型下的残差更均匀地集中在以残差为0的直线为对称轴的水平带状区域内．
(2) 假定u＝12.5，且黄河鲤仔鱼的体长y与天数t具有很强的相关关系．现对数据进行初步处理，得到如下统计量的值：eq \x\t(t)＝eq \f(1,20)eq \i\su(i＝1,20,t)i＝10.5，eq \x\t(z)＝eq \f(1,20)eq \i\su(i＝1,20,z)i＝－3.83，eq \x\t(w)＝eq \f(1,20)eq \i\su(i＝1,20,w)i＝－1.608，eq \i\su(i＝1,20,)(ti－eq \x\t(t))2＝665，eq \i\su(i＝1,20, )(zi－eq \x\t(z))(ti－eq \x\t(t))＝－109.06，eq \i\su(i＝1,20, )(wi－eq \x\t(w))(ti－eq \x\t(t))＝－138.32，其中zi＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,yi)－\f(1,u)))，wi＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(u,yi)－1))，根据(1)的判断结果及给定数据，求y关于t的经验回归方程，并预测第22天时仔鱼的体长(结果精确到小数点后2位)．
参考数据：e－4≈0.018 3．
【解答】 将y＝eq \f(u,1＋ea－bt)转化为lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(u,y)－1))＝a－bt，则－eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,20, )wi－\x\t(w)ti－\x\t(t), eq \i\su(i＝1,20, )ti－\x\t(t)2)＝eq \f(－138.32,665)＝－0.208，所以eq \(b,\s\up6(^))＝0.208，所以eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(w)－(－eq \(b,\s\up6(^)))·eq \x\t(t)＝－1.608＋0.208×10.5＝0.576．所以y关于t的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(12.5,1＋e0.576－0.208t)．当t＝22时，体长eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(12.5,1＋e0.576－0.208×22)＝eq \f(12.5,1＋e－4)≈12.28(mm)．
分类变量与列联表
例3 (2023·临海二模)为合理开展足球课程，某中学随机抽取了60名男生和40名女生进行调查，结果如下：回答“不喜欢”的人数占总人数的eq \f(2,5)，在回答“喜欢”的人中，女生人数是男生人数的eq \f(1,3)．
(1) 请根据以上数据填写下面的2×2列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为学生对足球的喜爱情况与性别有关；
附：x0.001＝10.828．
【解答】 由题意可知“不喜欢”的人数为(60＋40)×eq \f(2,5)＝40，所以“喜欢”的人数为(60＋40)×eq \f(3,5)＝60，由“喜欢”的人中，女生人数是男生人数的eq \f(1,3)，可知“喜欢”的人中，女生人数占比为eq \f(1,4)，故“喜欢”的人中女生人数为eq \f(1,4)×60＝15，则男生人数为60－15＝45人，进而可得2×2列联表如下：
零假设为H0：学生对足球的喜爱情况与性别无关．由列联表中的数据计算可得χ2＝eq \f(100×45×25－15×152,60×40×60×40)＝eq \f(225,16)≈14.063＞10.828，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为对足球的喜爱情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001，故有99.9%的把握认为学生对足球的喜爱情况与性别有关．
(2) 将上述调查的男、女生各自喜欢足球的比例视为概率．现对该校中的某班学生进行调查，发现该班学生喜欢足球的人数占班级总人数的eq \f(33,56)，试估计该班女生所占的比例．
【解答】 由表中数据可知，男生喜欢足球的频率为eq \f(45,60)＝eq \f(3,4)，女生喜欢足球的频率为eq \f(15,40)＝eq \f(3,8)．设该班级中女生和男生的人数分别为x，y，所以该班中喜欢足球的人数为eq \f(3,8)x＋eq \f(3,4)y，因此eq \f(3,8)x＋eq \f(3,4)y＝eq \f(33,56)(x＋y)，化简得3y＝4x，所以估计该班女生所占比例为eq \f(x,x＋y)＝eq \f(x,x＋\f(4,3)x)＝eq \f(3,7)．
在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0．|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．
变式3 (2023·合肥期末)某电视台每周制作一期“天天健身”节目，时长 60 分钟，每天固定时间播放．为调查该节目收视情况，从收看观众中随机抽取150 名，将其观看节目的日平均时间(单位：分钟)作为样本进行统计，得到的频率分布直方图如图所示．
(变式3)
(1) 请估计观众收看该节目的平均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
【解答】 由频率分布直方图可知，样本数据在[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]的频率分别为0.1,0.12,0.16,0.28,0.20,0.14，故样本数据的平均值为5×0.1＋15×0.12＋25×0.16＋35×0.28＋45×0.20＋55×0.14＝0.5＋1.8＋4＋9.8＋9＋7.7＝32.8，所以估计观众收看该节目的平均时间为32.8分钟．
(2) 在选取的 150名观众中，男、女人数相同，规定：观看平均时间不低于30分钟为满意，低于30分钟为不满意．据统计有48名男观众满意，请列出2×2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“满意度与性别有关”．
附： x0.10＝2.706．
【解答】 由(1)可知观看平均时间不低于30分钟的频率为0.28＋0.20＋0.14＝0.62，所以观看平均时间不低于30分钟的样本数为150×0.62＝93．由已知可得2×2列联表如下：
零假设为H0：满意度与性别无关，由列联表中的数据计算可得χ2＝eq \f(150×30×48－27×452,75×75×93×57)＝eq \f(150,589)≈0.254 7＜2.706＝x0.10，根据小概率值α＝0.10的独立性检验，推断H0成立，所以没有90%的把握认为“满意度与性别有关”．
随堂内化
1．(2023·大连二模)某产品的宣传费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如下表所示：
根据上表可得经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝9x＋a，则宣传费用为6万元时，销售额最接近( B )
A．55万元B．60万元
C．62万元D．65万元
【解析】 eq \x\t(x)＝eq \f(1,4)(2＋3＋4＋5)＝3.5，eq \x\t(y)＝eq \f(1,4)(24＋30＋42＋50)＝36.5，由经验回归方程过点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，得36.5＝9×3.5＋a，解得a＝5，即eq \(y,\s\up6(^))＝9x＋5．当x＝6时，eq \(y,\s\up6(^))＝9×6＋5＝59，所以销售额最接近的是60万元．
2．(2023·长沙月考)(多选)自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．如图是根据一组观测数据得到海拔6km～15km的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为y1＝－4.0x＋68.5，决定系数为Req \\al(2,1)＝0.99；根据非线性回归模型得到经验回归方程为y2＝132.9e－0.163x，决定系数为 Req \\al(2,2)＝0.99，则下列说法正确的是( ACD )
(第2题)
A．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关
B．由方程y1＝－4.0x＋68.5可知，海拔每升高1km，大气压强必定降低4.0kPa
C．由方程y1＝－4.0x＋68.5可知，样本点(11,22.6)的残差为－1.9
D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程y2＝132.9e－0.163x的预报效果更好
【解析】 对于A，由图象知，海拔高度越高，大气压强越低，所以大气压强与海拔高度负相关，故A正确；对于B，回归直线得到的数据为估计值，而非精确值，故B错误；对于C，当x＝11时，eq \(y,\s\up6(^))1＝－4.0×11＋68.5＝24.5，又由散点图知观测值为22.6，所以样本点(11,22.6)的残差为22.6－24.5＝－1.9，故C正确；对于D，随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此方程y2＝132.9e－0.163x的预报效果更好，故D正确．
3．(2023·南京、盐城期末)为调研学生对新开设的劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3 000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表：
(1) 由表中数据看出，可用线性回归模型拟合满意人数y与月份x之间的关系，求y关于x的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数；
【解答】 由题意可得eq \x\t(x)＝(2＋4＋6＋8＋10)÷5＝6，eq \x\t(y)＝(80＋95＋100＋105＋120)÷5＝100，则eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))＝(2－6)×(80－100)＋(4－6)×(95－100)＋(6－6)×(100－100)＋(8－6)×(105－100)＋(10－6)×(120－100)＝80＋10＋0＋10＋80＝180，eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \x\t(x))2＝(2－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2＝16＋4＋0＋4＋16＝40，可得eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(180,40)＝eq \f(9,2)，eq \(a,\s\up6(^))＝100－eq \f(9,2)×6＝73，故y关于x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(9,2)x＋73．令x＝12，得eq \(y,\s\up6(^))＝127，据此预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数为3 000×eq \f(127,150)＝2 540．
(2) 10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如下统计表：
请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关．
附：x0.05＝3.841．
【解答】 零假设为H0：该校的学生性别与对劳动课程是否满意无关．根据列联表中数据计算得χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq \f(15065×20－55×102,120×30×75×75)＝eq \f(25,6)≈4.167＞3.841, 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关，此推断犯错误的概率不大于0.05，故有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关．
x
3
4
5
6
7
8
9
y
4.0
2.5
0.5
－1
－2.0
－3.0
－4.5
超市
A
B
C
D
E
F
G
广告支出/万元
1
2
4
6
10
14
20
销售额/万元
19
32
44
40
52
53
54
药物A
疾病B
合计
未患病
患病
未服用
29
15
44
服用
47
14
61
合计
76
29
105
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
昼夜温
差x(℃)
4
7
8
9
14
12
新增就诊
人数y(位)
y1
y2
y3
y4
y5
y6
eq \i\su(i＝1,8,x)i
eq \i\su(i＝1,8,y)i
eq \i\su(i＝1,8,x)iyi
eq \i\su(i＝1,8, )(xi－eq \x\t(x))2
600
592
4 3837.2
93.8
浓度x/(ml/L)
10－12
10－10
10－8
10－6
10－4
灭死率y
0.1
0.24
0.46
0.76
0.94
u
－12
－10
－8
－6
－4
y
0.1
0.24
0.46
0.76
0.94
性别
对足球的喜爱情况
合计
喜欢
不喜欢
女生
男生
合计
性别
对足球的喜爱情况
合计
喜欢
不喜欢
女生
15
25
40
男生
45
15
60
合计
60
40
100
不满意
满意
总计
男
27
48
75
女
30
45
75
总计
57
93
150
宣传费用x/万元
2
3
4
5
销售额y/万元
24
30
42
50
月份x
2
4
6
8
10
满意人数y
80
95
100
105
120
满意
不满意
合计
男生
65
10
75
女生
55
20
75
合计
120
30
150
基础回归
1．已知变量x与y正相关，由观测数据算得样本平均数eq \x\t(x)＝3，eq \x\t(y)＝3.5，则由该观测数据算得的经验回归方程可能是( A )
A．eq \(y,\s\up6(^))＝0.4x＋2.3B．eq \(y,\s\up6(^))＝2x－2.4
C．eq \(y,\s\up6(^))＝－2x＋9.5D．eq \(y,\s\up6(^))＝－0.3x＋4.4
2．根据如下样本数据得到的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))中的eq \(b,\s\up6(^))＝－1.4，根据此方程预测当x＝10时，y的取值为( B )
A．－6.0B．－6.1
C．－6.2D．－6.4
【解析】 根据图表数据求出eq \x\t(x)＝eq \f(1,7)(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，eq \x\t(y)＝eq \f(1,7)(4.0＋2.5＋0.5－1－2.0－3.0－4.5)＝－0.5，把(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))代入回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝－1.4x＋eq \(a,\s\up6(^))，有－0.5＝－1.4×6＋eq \(a,\s\up6(^))，解得eq \(a,\s\up6(^))＝7.9，所以eq \(y,\s\up6(^))＝－1.4x＋7.9．当x＝10时，eq \(y,\s\up6(^))＝－1.4×10＋7.9＝－6.1．
3．(人A选必三P103练习4)随机抽取7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下：
则由样本数据可求出超市的销售额与广告支出之间的相关系数为__ 0.83__(保留两位有效数字)．
【解析】 成对数据的散点图如图所示．从散点图上可得，超市的销售额与广告支出之间呈现出线性相关关系，由数据可得eq \x\t(x)＝eq \f(1＋2＋4＋6＋10＋14＋20,7)＝eq \f(57,7)，eq \x\t(y)＝eq \f(19＋32＋44＋40＋52＋53＋54,7)＝42，eq \i\su(i＝1,7,x)iyi＝2 841，eq \i\su(i＝1,7,x)eq \\al(2,i)＝753，eq \i\su(i＝1,7, )yeq \\al(2,i)＝13 350，所以r＝eq \f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\t(x)\x\t(y),\r(,\i\su(i＝1,7,x)\\al(2,i)－7\x\t(x)2)\r(,\i\su(i＝1,7,y)\\al(2,i)－7\x\t(y)2))＝eq \f(447,\r(,\f(2 022,7))×\r(,1 002))≈0.83．
(第3题)
4．(人A选必三P134练习3)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，根据105个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：
(单位：只)
依据α＝0.05的独立性检验，分析药物A对预防疾病B的有效性(附：x0.05＝3.841)．
【解答】 零假设为H0：药物A对预防疾病B没有效果，根据列联表中数据，可得χ2＝eq \f(105×29×14－15×472,44×61×76×29)≈1.587＜3.841，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可认为H0成立，即认为药物A对预防疾病B没有效果．
举题固法
目标引领
一元线性回归模型及其应用
例1 (2023·合肥一检)研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化．某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下：
参考数据：eq \i\su(i＝1,6,y)eq \\al(2,i)＝3 160，eq \i\su(i＝1,6, )(yi－eq \x\t(y))2＝256．
参考公式：eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y), eq \i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)，r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(eq \i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)·eq \i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2))．
(1) 已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为eq \f(17,24)，求y1的值；
【解答】 因为1－eq \f(C\\al(3,7),C3y1)＝eq \f(17,24)，所以eq \f(7×6×5,y1y1－1y1－2)＝eq \f(7,24)，所以y1(y1－1)(y1－2)＝720＝10×9×8，所以y1＝10．
(2) 已知两个变量x与y之间的样本相关系数r＝eq \f(15,16)，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，据此估计昼夜温差为15 ℃时，该校新增患感冒的学生人数(结果保留整数)．
【解答】 因为eq \i\su(i＝1,6,x)i＝54，所以eq \x\t(x)＝9，所以eq \i\su(i＝1,6, )(xi－eq \x\t(x))2＝64．因为r＝eq \f(\i\su(i＝1,6, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(eq \i\su(i＝1,6, )xi－\x\t(x)2)·\r(eq \i\su(i＝1,6, )yi－\x\t(y)2))＝eq \f(\i\su(i＝1,6, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),8×16)＝eq \f(15,16)，所以eq \i\su(i＝1,6, )(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))＝8×15，所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y), eq \i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(8×15,64)＝eq \f(15,8)．又因为eq \i\su(i＝1,6, )(yi－eq \x\t(y))2＝eq \i\su(i＝1,6,y)eq \\al(2,i)－6eq \x\t(y)2＝256，解得eq \x\t(y)＝22，所以eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝22－eq \f(15,8)×9＝eq \f(41,8)，所以eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(41,8)＋eq \f(15,8)x．当x＝15时，eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(41,8)＋eq \f(15,8)×15≈33，所以可以估计，昼夜温差为15 ℃时，该校新增患感冒的学生人数为33．
一元线性回归模型应用要点
(1) 建立经验回归方程的步骤：
①计算出eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n)，x1y1＋x2y2＋…＋xnyn的值；
②利用公式计算参数eq \(a,\s\up6(^))，eq \(b,\s\up6(^))；
③写出经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))．
(2) 经验回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越接近于1时，两变量的线性相关程度越强．
变式1 (2023·济宁一模)某市航空公司为了解每年航班正点率x%对每年顾客投诉次数y(单位：次)的影响，对近8年(2015年～2022年)每年航班正点率x%和每年顾客投诉次数y的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值．
(1) 求y关于x的经验回归方程；
【解答】 eq \x\t(x)＝eq \f(600,8)＝75，eq \x\t(y)＝eq \f(592,8)＝74，则eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－8\x\t(x) \x\t(y), eq \i\su(i＝1,8, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(4 3837.2－8×75×74,93.8)＝－6，所以eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝74＋6×75＝524，所以eq \(y,\s\up6(^))＝－6x＋524．
(2) 该市航空公司预计2024年航班正点率为84%，利用(1)中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数．
【解答】 当x＝84时，eq \(y,\s\up6(^))＝20，所以估计2024年顾客对该市航空公司投诉的次数为20次．
非线性回归问题
例2 (2023·承德二模)某公司研制了一种对人畜无害的灭草剂，为了解其效果，通过实验，收集到其不同浓度x(单位：ml/L)与灭死率y的数据，得下表：
(1) 以x为解释变量，y为响应变量，在eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))和eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(c1,\s\up6(^))＋eq \(c2,\s\up6(^))lgx中选一个作为灭死率y关于浓度x(单位：ml/L)的经验回归方程，不用说明理由．
【解答】 根据表格数据可知解释变量x呈现指数增长，而响应变量y增长幅度不大，且相应的增加量大约相等，故选eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(c1,\s\up6(^))＋eq \(c2,\s\up6(^))lgx．
(2) ①根据(1)的选择结果及表中数据，求出所选经验回归方程；
②依据①中所求经验回归方程，要使灭死率不低于0.8，估计该灭草剂的浓度至少要达到多少ml/L?
【解答】 ①令ui＝lgxi，则eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(c1,\s\up6(^))＋eq \(c2,\s\up6(^))u，可得如下数据：
则eq \x\t(u)＝eq \f(1,5)(－12－10－8－6－4)＝－8，eq \x\t(y)＝eq \f(1,5)(0.1＋0.24＋0.46＋0.76＋0.94)＝0.5，eq \i\su(i＝1,5,u)eq \\al(2,i)＝(－12)2＋(－10)2＋(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＝360，eq \i\su(i＝1,5,u)iyi＝(－12)×0.1＋(－10)×0.24＋(－8)×0.46＋(－6)×0.76＋(－4)×0.94＝－15.6，所以eq \(c2,\s\up6(^))＝eq \f(－15.6－5×－8×0.5,360－5×－82)＝0.11，eq \(c1,\s\up6(^))＝0.5－0.11×(－8)＝1.38，所以eq \(y,\s\up6(^))＝1.38＋0.11u，即eq \(y,\s\up6(^))＝1.38＋0.11lgx．
②依题意，eq \(y,\s\up6(^))＝1.38＋0.11lgx≥0.8，即0.11lgx≥－0.58，即lgx≥－eq \f(58,11)，所以x≥10－eq \f(58,11)，即要使灭死率不低于0.8，则该灭草剂的浓度至少要达到10－eq \f(58,11) ml/L．
解题关键：(1) 会转化，把非线性回归方程转化为线性经验回归方程，求出线性经验回归系数，得出经验回归方程，最后转化为非线性经验回归方程．(2) 准确计算，读懂题意，会预测预报变量的值．
变式2 (2023·烟台一模)某院校研究小组以当地某水产养殖基地的黄河鲤仔鱼为研究对象，从出卵开始持续观察20天，试验期间，每天固定时段从试验水体中随机取出同批次9尾黄河鲤仔鱼测量体长，取其均值作为第ti天的观测值yi(单位：mm)，其中ti＝i，i＝1,2,3，…，20．根据以往的统计资料，该组数据(ti，yi)可以用Lgistic曲线拟合模型y＝eq \f(1,\f(1,u)＋abt)或Lgistic非线性回归模型y＝eq \f(u,1＋ea－bt)进行统计分析，其中a，b，u为参数．基于这两个模型，绘制得到如图所示的散点图和残差图．
(变式2)
(1) 你认为哪个模型的拟合效果更好？分别结合散点图和残差图进行说明；
【解答】 Lgistic非线性回归模型y＝eq \f(u,1＋ea－bt)拟合效果更好．从散点图看，散点更均匀地分布在该模型拟合曲线附近；从残差图看，该模型下的残差更均匀地集中在以残差为0的直线为对称轴的水平带状区域内．
(2) 假定u＝12.5，且黄河鲤仔鱼的体长y与天数t具有很强的相关关系．现对数据进行初步处理，得到如下统计量的值：eq \x\t(t)＝eq \f(1,20)eq \i\su(i＝1,20,t)i＝10.5，eq \x\t(z)＝eq \f(1,20)eq \i\su(i＝1,20,z)i＝－3.83，eq \x\t(w)＝eq \f(1,20)eq \i\su(i＝1,20,w)i＝－1.608，eq \i\su(i＝1,20,)(ti－eq \x\t(t))2＝665，eq \i\su(i＝1,20, )(zi－eq \x\t(z))(ti－eq \x\t(t))＝－109.06，eq \i\su(i＝1,20, )(wi－eq \x\t(w))(ti－eq \x\t(t))＝－138.32，其中zi＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,yi)－\f(1,u)))，wi＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(u,yi)－1))，根据(1)的判断结果及给定数据，求y关于t的经验回归方程，并预测第22天时仔鱼的体长(结果精确到小数点后2位)．
参考数据：e－4≈0.018 3．
【解答】 将y＝eq \f(u,1＋ea－bt)转化为lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(u,y)－1))＝a－bt，则－eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,20, )wi－\x\t(w)ti－\x\t(t), eq \i\su(i＝1,20, )ti－\x\t(t)2)＝eq \f(－138.32,665)＝－0.208，所以eq \(b,\s\up6(^))＝0.208，所以eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(w)－(－eq \(b,\s\up6(^)))·eq \x\t(t)＝－1.608＋0.208×10.5＝0.576．所以y关于t的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(12.5,1＋e0.576－0.208t)．当t＝22时，体长eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(12.5,1＋e0.576－0.208×22)＝eq \f(12.5,1＋e－4)≈12.28(mm)．
分类变量与列联表
例3 (2023·临海二模)为合理开展足球课程，某中学随机抽取了60名男生和40名女生进行调查，结果如下：回答“不喜欢”的人数占总人数的eq \f(2,5)，在回答“喜欢”的人中，女生人数是男生人数的eq \f(1,3)．
(1) 请根据以上数据填写下面的2×2列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为学生对足球的喜爱情况与性别有关；
附：x0.001＝10.828．
【解答】 由题意可知“不喜欢”的人数为(60＋40)×eq \f(2,5)＝40，所以“喜欢”的人数为(60＋40)×eq \f(3,5)＝60，由“喜欢”的人中，女生人数是男生人数的eq \f(1,3)，可知“喜欢”的人中，女生人数占比为eq \f(1,4)，故“喜欢”的人中女生人数为eq \f(1,4)×60＝15，则男生人数为60－15＝45人，进而可得2×2列联表如下：
零假设为H0：学生对足球的喜爱情况与性别无关．由列联表中的数据计算可得χ2＝eq \f(100×45×25－15×152,60×40×60×40)＝eq \f(225,16)≈14.063＞10.828，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为对足球的喜爱情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001，故有99.9%的把握认为学生对足球的喜爱情况与性别有关．
(2) 将上述调查的男、女生各自喜欢足球的比例视为概率．现对该校中的某班学生进行调查，发现该班学生喜欢足球的人数占班级总人数的eq \f(33,56)，试估计该班女生所占的比例．
【解答】 由表中数据可知，男生喜欢足球的频率为eq \f(45,60)＝eq \f(3,4)，女生喜欢足球的频率为eq \f(15,40)＝eq \f(3,8)．设该班级中女生和男生的人数分别为x，y，所以该班中喜欢足球的人数为eq \f(3,8)x＋eq \f(3,4)y，因此eq \f(3,8)x＋eq \f(3,4)y＝eq \f(33,56)(x＋y)，化简得3y＝4x，所以估计该班女生所占比例为eq \f(x,x＋y)＝eq \f(x,x＋\f(4,3)x)＝eq \f(3,7)．
在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0．|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．
变式3 (2023·合肥期末)某电视台每周制作一期“天天健身”节目，时长 60 分钟，每天固定时间播放．为调查该节目收视情况，从收看观众中随机抽取150 名，将其观看节目的日平均时间(单位：分钟)作为样本进行统计，得到的频率分布直方图如图所示．
(变式3)
(1) 请估计观众收看该节目的平均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
【解答】 由频率分布直方图可知，样本数据在[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]的频率分别为0.1,0.12,0.16,0.28,0.20,0.14，故样本数据的平均值为5×0.1＋15×0.12＋25×0.16＋35×0.28＋45×0.20＋55×0.14＝0.5＋1.8＋4＋9.8＋9＋7.7＝32.8，所以估计观众收看该节目的平均时间为32.8分钟．
(2) 在选取的 150名观众中，男、女人数相同，规定：观看平均时间不低于30分钟为满意，低于30分钟为不满意．据统计有48名男观众满意，请列出2×2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“满意度与性别有关”．
附： x0.10＝2.706．
【解答】 由(1)可知观看平均时间不低于30分钟的频率为0.28＋0.20＋0.14＝0.62，所以观看平均时间不低于30分钟的样本数为150×0.62＝93．由已知可得2×2列联表如下：
零假设为H0：满意度与性别无关，由列联表中的数据计算可得χ2＝eq \f(150×30×48－27×452,75×75×93×57)＝eq \f(150,589)≈0.254 7＜2.706＝x0.10，根据小概率值α＝0.10的独立性检验，推断H0成立，所以没有90%的把握认为“满意度与性别有关”．
随堂内化
1．(2023·大连二模)某产品的宣传费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如下表所示：
根据上表可得经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝9x＋a，则宣传费用为6万元时，销售额最接近( B )
A．55万元B．60万元
C．62万元D．65万元
【解析】 eq \x\t(x)＝eq \f(1,4)(2＋3＋4＋5)＝3.5，eq \x\t(y)＝eq \f(1,4)(24＋30＋42＋50)＝36.5，由经验回归方程过点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，得36.5＝9×3.5＋a，解得a＝5，即eq \(y,\s\up6(^))＝9x＋5．当x＝6时，eq \(y,\s\up6(^))＝9×6＋5＝59，所以销售额最接近的是60万元．
2．(2023·长沙月考)(多选)自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．如图是根据一组观测数据得到海拔6km～15km的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为y1＝－4.0x＋68.5，决定系数为Req \\al(2,1)＝0.99；根据非线性回归模型得到经验回归方程为y2＝132.9e－0.163x，决定系数为 Req \\al(2,2)＝0.99，则下列说法正确的是( ACD )
(第2题)
A．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关
B．由方程y1＝－4.0x＋68.5可知，海拔每升高1km，大气压强必定降低4.0kPa
C．由方程y1＝－4.0x＋68.5可知，样本点(11,22.6)的残差为－1.9
D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程y2＝132.9e－0.163x的预报效果更好
【解析】 对于A，由图象知，海拔高度越高，大气压强越低，所以大气压强与海拔高度负相关，故A正确；对于B，回归直线得到的数据为估计值，而非精确值，故B错误；对于C，当x＝11时，eq \(y,\s\up6(^))1＝－4.0×11＋68.5＝24.5，又由散点图知观测值为22.6，所以样本点(11,22.6)的残差为22.6－24.5＝－1.9，故C正确；对于D，随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此方程y2＝132.9e－0.163x的预报效果更好，故D正确．
3．(2023·南京、盐城期末)为调研学生对新开设的劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3 000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表：
(1) 由表中数据看出，可用线性回归模型拟合满意人数y与月份x之间的关系，求y关于x的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数；
【解答】 由题意可得eq \x\t(x)＝(2＋4＋6＋8＋10)÷5＝6，eq \x\t(y)＝(80＋95＋100＋105＋120)÷5＝100，则eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))＝(2－6)×(80－100)＋(4－6)×(95－100)＋(6－6)×(100－100)＋(8－6)×(105－100)＋(10－6)×(120－100)＝80＋10＋0＋10＋80＝180，eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \x\t(x))2＝(2－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2＝16＋4＋0＋4＋16＝40，可得eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(180,40)＝eq \f(9,2)，eq \(a,\s\up6(^))＝100－eq \f(9,2)×6＝73，故y关于x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(9,2)x＋73．令x＝12，得eq \(y,\s\up6(^))＝127，据此预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数为3 000×eq \f(127,150)＝2 540．
(2) 10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如下统计表：
请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关．
附：x0.05＝3.841．
【解答】 零假设为H0：该校的学生性别与对劳动课程是否满意无关．根据列联表中数据计算得χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq \f(15065×20－55×102,120×30×75×75)＝eq \f(25,6)≈4.167＞3.841, 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关，此推断犯错误的概率不大于0.05，故有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关．
x
3
4
5
6
7
8
9
y
4.0
2.5
0.5
－1
－2.0
－3.0
－4.5
超市
A
B
C
D
E
F
G
广告支出/万元
1
2
4
6
10
14
20
销售额/万元
19
32
44
40
52
53
54
药物A
疾病B
合计
未患病
患病
未服用
29
15
44
服用
47
14
61
合计
76
29
105
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
昼夜温
差x(℃)
4
7
8
9
14
12
新增就诊
人数y(位)
y1
y2
y3
y4
y5
y6
eq \i\su(i＝1,8,x)i
eq \i\su(i＝1,8,y)i
eq \i\su(i＝1,8,x)iyi
eq \i\su(i＝1,8, )(xi－eq \x\t(x))2
600
592
4 3837.2
93.8
浓度x/(ml/L)
10－12
10－10
10－8
10－6
10－4
灭死率y
0.1
0.24
0.46
0.76
0.94
u
－12
－10
－8
－6
－4
y
0.1
0.24
0.46
0.76
0.94
性别
对足球的喜爱情况
合计
喜欢
不喜欢
女生
男生
合计
性别
对足球的喜爱情况
合计
喜欢
不喜欢
女生
15
25
40
男生
45
15
60
合计
60
40
100
不满意
满意
总计
男
27
48
75
女
30
45
75
总计
57
93
150
宣传费用x/万元
2
3
4
5
销售额y/万元
24
30
42
50
月份x
2
4
6
8
10
满意人数y
80
95
100
105
120
满意
不满意
合计
男生
65
10
75
女生
55
20
75
合计
120
30
150
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