2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2　微切口1　平面向量数量积的求解策略

这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2　微切口1　平面向量数量积的求解策略，共6页。
微切口1平面向量数量积的求解策略
基底法
例1 在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠A＝60°， eq \(AC),\s\d5(\s\up6(→))＝3 eq \(AM,\s\up6(→))， eq \(BN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)) eq \(BC,\s\up6(→))，则 eq \(AN,\s\up6(→))· eq \(BM,\s\up6(→))＝( B )
A．－ eq \f(3,2)B．－ eq \f(17,2)
C． eq \f(5,2)D．6
【解析】 如图，因为 eq \(AC,\s\up6(→))＝3 eq \(AM,\s\up6(→))，所以 eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \(AM,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)).又因为 eq \(BN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))，所以 eq \(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)))，所以 eq \(AN,\s\up6(→))· eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))))＝ eq \f(1,6) eq \(AC,\s\up6(→))2－ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))2＝ eq \f(1,6)| eq \(AC,\s\up6(→))|2－ eq \f(1,3)| eq \(AC,\s\up6(→))|·| eq \(AB,\s\up6(→))|cs ∠BAC－ eq \f(1,2)| eq \(AB,\s\up6(→))|2＝－ eq \f(17,2).
(例1)
恰当选择基底．先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．
变式1 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝EF，则 eq \(AF,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))的值为( B )
A．－ eq \f(1,4)B． eq \f(1,4)
C． eq \f(1,2)D．1
(变式1)
【解析】 如图，连接AE，则AE⊥BC，故 eq \(AE,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝0，所以 eq \(AF,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝( eq \(AE,\s\up6(→))＋ eq \(EF,\s\up6(→)))· eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AE,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(EF,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(DE,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))·( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))2－ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)| eq \(AC,\s\up6(→))|2－ eq \f(1,2)| eq \(AC,\s\up6(→))|| eq \(AB,\s\up6(→))|cs eq \f(π,3)＝ eq \f(1,2)－ eq \f(1,2)×1×1× eq \f(1,2)＝ eq \f(1,4).
坐标法
例2 (2023·开封三模)已知等腰直角三角形ABC的直角顶点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，点C在第一象限，且O为坐标原点，若|AB|＝1，∠BAO＝ eq \f(π,8)，则 eq \(OC,\s\up6(→))· eq \(OA,\s\up6(→))＝( B )
A． eq \f(1,2)－ eq \f(\r(2),4)B． eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(2),2)
C． eq \f(3,4)－ eq \f(\r(2),4)D． eq \f(1,4)＋ eq \f(\r(2),2)
【解析】 如图，由题意易得A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,8)，0))，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，sin \f(π,8)))，故可得C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,8)＋sin \f(π,8)，cs \f(π,8)))，所以 eq \(OC,\s\up6(→))· eq \(OA,\s\up6(→))＝cs eq \f(π,8)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,8)＋sin \f(π,8)))＝ eq \f(cs \f(π,4)＋1,2)＋ eq \f(1,2)sin eq \f(π,4)＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(2),2).
(例2)
“坐标运算”．如果遇到以下图形，那么可尝试建立坐标系，看能否把问题解决：①具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形；②带有直角的图形：直角梯形，直角三角形；③具备特殊角度的图形(30°，45°，60°，120°)等．
变式2 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC＝4，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝1，则 eq \(CM,\s\up6(→))· eq \(CN,\s\up6(→))的取值范围为( A )
A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(11,4)，9))B．[5，9]
C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(15,4)，9))D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(11,4)，5))
【解析】 由题意，以点C为原点，分别以CB，CA为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，2 eq \r(3))，B(2，0)，直线AB的方程为y＝－ eq \r(3)x＋2 eq \r(3).不妨设M(a，－ eq \r(3)a＋2 eq \r(3))，N(b，－ eq \r(3)b＋2 eq \r(3))，a，b∈[0，2]，a＞b，由MN＝1，知(a－b)2＋(－ eq \r(3)a＋ eq \r(3)b)2＝1，整理得a＝ eq \f(1,2)＋b，b∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))，则 eq \(CM,\s\up6(→))· eq \(CN,\s\up6(→))＝4ab－6(a＋b)＋12＝4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(5,4))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(11,4)，所以当b＝ eq \f(5,4)时， eq \(CM,\s\up6(→))· eq \(CN,\s\up6(→))有最小值 eq \f(11,4)；当b＝0时， eq \(CM,\s\up6(→))· eq \(CN,\s\up6(→))有最大值9.故 eq \(CM,\s\up6(→))· eq \(CN,\s\up6(→))∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(11,4)，9)).
(变式2)
极化恒等式
例3 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→))＝4， eq \(BF,\s\up6(→))· eq \(CF,\s\up6(→))＝－1，则 eq \(BE,\s\up6(→))· eq \(CE,\s\up6(→))＝________.
(例3)
【解析】 方法一：(极化恒等式法)设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.根据向量的极化恒等式，有 eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))2－ eq \(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4， eq \(BF,\s\up6(→))· eq \(CF,\s\up6(→))＝ eq \(FB,\s\up6(→))· eq \(FC,\s\up6(→))＝ eq \(FD,\s\up6(→))2－ eq \(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1，解得n2＝ eq \f(5,8)，m2＝ eq \f(13,8).因此 eq \(BE,\s\up6(→))· eq \(CE,\s\up6(→))＝ eq \(EB,\s\up6(→))· eq \(EC,\s\up6(→))＝ eq \(ED,\s\up6(→))2－ eq \(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝ eq \f(7,8).
方法二：(坐标法)以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设A(3a，3b)，B(－c，0)，C(c，0)，则有E(2a，2b)，F(a，b)， eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→))＝(3a＋c，3b)·(3a－c，3b)＝9a2－c2＋9b2＝4， eq \(BF,\s\up6(→))· eq \(CF,\s\up6(→))＝(a＋c，b)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2＝－1，则a2＋b2＝ eq \f(5,8)，c2＝ eq \f(13,8)，故 eq \(BE,\s\up6(→))· eq \(CE,\s\up6(→))＝(2a＋c，2b)·(2a－c，2b)＝4a2－c2＋4b2＝ eq \f(7,8).
方法三：(基向量法) eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→))＝( eq \(DA,\s\up6(→))－ eq \(DB,\s\up6(→)))·( eq \(DA,\s\up6(→))－ eq \(DC,\s\up6(→)))＝ eq \f(4\(AD,\s\up6(→))2－\(BC,\s\up6(→))2,4)＝ eq \f(36\(FD,\s\up6(→))2－\(BC,\s\up6(→))2,4)＝4， eq \(BF,\s\up6(→))· eq \(CF,\s\up6(→))＝( eq \(DF,\s\up6(→))－ eq \(DB,\s\up6(→)))·( eq \(DF,\s\up6(→))－ eq \(DC,\s\up6(→)))＝ eq \f(4\(FD,\s\up6(→))2－\(BC,\s\up6(→))2,4)＝－1，因此 eq \(FD,\s\up6(→))2＝ eq \f(5,8)， eq \(BC,\s\up6(→))2＝ eq \f(13,2)， eq \(BE,\s\up6(→))· eq \(CE,\s\up6(→))＝( eq \(DE,\s\up6(→))－ eq \(DB,\s\up6(→)))·( eq \(DE,\s\up6(→))－ eq \(DC,\s\up6(→)))＝ eq \f(4\(ED,\s\up6(→))2－\(BC,\s\up6(→))2,4)＝ eq \f(16\(FD,\s\up6(→))2－\(BC,\s\up6(→))2,4)＝ eq \f(7,8).
(例3)
变式3 边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时， eq \(PM,\s\up6(→))· eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围是__ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))__.
【解析】 如图，设正方形ABCD的内切圆为圆O，当弦MN的长度最大时，MN为圆O的一条直径， eq \(PM,\s\up6(→))· eq \(PN,\s\up6(→))＝( eq \(PO,\s\up6(→))＋ eq \(OM,\s\up6(→)))·( eq \(PO,\s\up6(→))－ eq \(OM,\s\up6(→)))＝| eq \(PO,\s\up6(→))|2－| eq \(OM,\s\up6(→))|2＝| eq \(PO,\s\up6(→))|2－ eq \f(1,4)，当P为正方形ABCD的某边的中点时，| eq \(OP,\s\up6(→))|min＝ eq \f(1,2)；当P与正方形ABCD的顶点重合时，| eq \(OP,\s\up6(→))|max＝ eq \f(\r(2),2)，即 eq \f(1,2)≤| eq \(OP,\s\up6(→))|≤ eq \f(\r(2),2)，因此， eq \(PM,\s\up6(→))· eq \(PN,\s\up6(→))＝| eq \(PO,\s\up6(→))|2－ eq \f(1,4)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4))).
(变式3)
极化恒等式：①取第三边的中点，连接向量的起点与中点；②利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；③利用平面几何方法或用正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积．
极化恒等式之矩形大法
如图，在矩形ABCD中，若对角线AC和BD交于点O，P为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：①PA2＋PC2＝PB2＋PD2 ；② eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PC,\s\up6(→))＝ eq \(PB,\s\up6(→))· eq \(PD,\s\up6(→)).
例4 在平面内， eq \(AB1,\s\up6(→))⊥ eq \(AB2,\s\up6(→))，| eq \(OB1,\s\up6(→))|＝| eq \(OB2,\s\up6(→))|＝1， eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \(AB1,\s\up6(→))＋ eq \(AB2,\s\up6(→)).若| eq \(OP,\s\up6(→))|＜ eq \f(1,2)，则| eq \(OA,\s\up6(→))|的取值范围是( D )
A． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),2)))B． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，\f(\r(7),2)))
C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，\r(2)))D． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2)，\r(2)))
【解析】 如图，由矩形大法知| eq \(OB1,\s\up6(→))|2＋| eq \(OB2,\s\up6(→))|2＝| eq \(OA,\s\up6(→))|2＋| eq \(OP,\s\up6(→))|2，所以12＋12＝| eq \(OA,\s\up6(→))|2＋| eq \(OP,\s\up6(→))|2＝2，所以| eq \(OA,\s\up6(→))|2＝2－| eq \(OP,\s\up6(→))|2.因为| eq \(OP,\s\up6(→))|＜ eq \f(1,2)，所以0≤| eq \(OP,\s\up6(→))|2＜ eq \f(1,4)，所以 eq \f(7,4)＜2－| eq \(OP,\s\up6(→))|2≤2，所以 eq \f(7,4)＜| eq \(OA,\s\up6(→))|2≤2，解得 eq \f(\r(7),2)＜| eq \(OA,\s\up6(→))|≤ eq \r(2).
(例4)
变式4 在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为矩形ABCD所在平面上一点，满足PA＝2，PC＝ eq \r(21)，则 eq \(PB,\s\up6(→))· eq \(PD,\s\up6(→))＝__0__.
【解析】 由矩形大法知 eq \(PB,\s\up6(→))· eq \(PD,\s\up6(→))＝ eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PC,\s\up6(→)).因为| eq \(PA,\s\up6(→))|2＋| eq \(PC,\s\up6(→))|2＝4＋21＝25＝| eq \(AC,\s\up6(→))|2，所以PA⊥PC，所以 eq \(PB,\s\up6(→))· eq \(PD,\s\up6(→))＝ eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PC,\s\up6(→))＝0.