2024年高考数学重难点突破讲义:学案 特别策划2 微切口2 多面体的外接球与内切球
展开例1 (1) 若四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上,AB,AC,AD两两垂直,且AB=eq \r(,3),AC=2,AD=3,则球O的表面积为( B )
A.64πB.16π
C.4πD.π
【解析】 四面体ABCD的外接球O即为以AB,AC,AD为长、宽、高的长方体的外接球,所以球O的外接球半径R=eq \f(1,2)eq \r(,AB2+AC2+AD2)=2,所以球O的表面积S=4πR2=16π.
(2) (鳖臑模型)已知P,A,B,C为球O的球面上的四个点,若PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=1,AC=BC=eq \r(,2),则球O的表面积为( D )
A.2πB.3π
C.4πD.5π
【解析】 在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,故可将三棱锥P-ABC补形成如图所示的长方体.若P,A,B,C为球O的球面上的四个点,则该长方体的各顶点亦在球O的球面上.设球O的半径为R,则该长方体的体对角线长为2R,即2R=eq \r(,PA2+AC2+BC2)=eq \r(,5),从而有S球O=4πR2=5π.
(例1(2))
(3) 如图,在三棱锥A-BCD中,BC⊥BD,BC=3,BD=AD=4,BD⊥AD,则三棱锥A-BCD的外接球表面积为__32π__.
(例1(3))
【解析】 将三棱锥A-BCD置于如图的长方体中,原三棱锥的外接球即为长方体的外接球,由题可知,长方体的长、宽、高分别为3,4,eq \r(,7),故外接球半径r=eq \f(\r(,32+42+\r(,7)2),2)=2eq \r(,2),所以外接球表面积为4πr2=32π.
(例1(3))
(4) 在三棱锥P-ABC中,PA=BC=2eq \r(,5),PB=AC=eq \r(,13),AB=PC=5,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是__29π__.
【解析】 由题意,PA=BC=2eq \r(,5),PB=AC=eq \r(,13),PC=AB=5,将三棱锥P-ABC放到长方体中,可得长方体的三条面对角线分别为2eq \r(,5),eq \r(,13),5.设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,即eq \r(,a2+b2)=2eq \r(,5),eq \r(,c2+b2)=eq \r(,13),eq \r(,a2+c2)=5,解得a=4,b=2,c=3.长方体的体对角线即为三棱锥和长方体公共外接球的直径2R,所以(2R)2=a2+b2+c2=29,故S球=4πR2=29π.
补形法适用的四种常见三棱锥:
①墙角模型——三条棱两两垂直,如图(1);
②鳖臑模型——四个面都是直角三角形的,如图(2);
③共直角边模型——两个共直角边的直角三角形组成的三棱锥,如图(3);
④对棱相等模型——三组对棱分别相等,如图(4).
图(1) 图(2) 图(3) 图(4)
外接球单面定球心法
例2 (1) (2023·广东联考)(侧棱相等的棱锥)已知在四面体V-ABC中,VA=VB=VC=eq \r(3),AB=eq \r(2),∠ACB=eq \f(π,4),则该四面体外接球的表面积为__eq \f(9π,2)__.
【解析】 如图,因为VA=VB=VC=eq \r(3),所以V在平面ABC的射影为△ABC的外心O′.又AB=eq \r(2),∠ACB=eq \f(π,4),所以由正弦定理得△ABC的外接圆的半径r=eq \f(\r(2),2sin\f(π,4))=1,故VO′=eq \r(,2).设四面体外接球的半径为R,(eq \r(2)-R)2=R2-1,解得R=eq \f(3\r(2),4),所以外接球的表面积为4πR2=4πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)))2=eq \f(9π,2).
(例2(1))
(2) (侧棱垂直于底面的棱锥)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=4eq \r(2),BC=4,∠CAB=45°,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( C )
A.32πB.48π
C.64πD.128π
【解析】 设△ABC外接圆的半径为r,圆心为O′,根据正弦定理,则2r=eq \f(BC,sin∠CAB)=4eq \r(2),故r=2eq \r(2).设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,由OA=OP,可知△OPA为等腰三角形,过O作OQ⊥PA于Q,则Q为PA中点.由PA⊥平面ABC,OO′⊥平面ABC,知AQ∥OO′,则P,A,O′,O共面.因为PA⊥平面ABC,O′A⊂平面ABC,所以PA⊥O′A.又OQ⊥PA,故OQ∥O′A,于是四边形OQAO′为平行四边形.因为PA⊥O′A,所以四边形OQAO′为矩形,则R2=r2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(PA,2)))2=16,故外接球的表面积S=4πR2=64π.另外,此题也可以把棱锥补成直棱柱去做,请同学们自己尝试.
(例2(2))
外接球单面定球心法
步骤:(1) 定一个面外接圆圆心:选中一个面,如图,在三棱锥P-ABC中,选中底面△ABC,确定其外接圆圆心O1
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(正三角形外心就是中心,直角三角形外心在斜边中点上,,普通三角形用正弦定理定外心2r=\f(a,sinA)));
(2) ①侧棱相等的三棱锥:如图(1),PO1⊥平面ABC,则球心一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上;在直线PO1上取球心O,如图,则OP=OA=R,利用公式OA2=O1A2+OOeq \\al(2,1),可计算出球半径R.
图(1)
②侧棱垂直于底面的棱锥:如图(2),过外接圆圆心O1作底面ABC的垂线,球心O在垂线上,过球心O向PA作垂线,垂足为M,则有MA=OO1=h,OM=O1A=r;计算球半径R:利用OA=R=eq \r(r2+h2)=OP=eq \r(r2+PA-h2)求出h,从而求出Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(实际上h=\f(1,2)PA)).
图(2)
变式2 已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2eq \r(2),侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°,顶点P,A,B,C,D在球O的球面上,则球O的体积是( B )
A.16πB.eq \f(32,3)π
C.8πD.eq \f(8\r(2),3)π
【解析】 在正四棱锥P-ABCD中,连接AC,BD,设AC∩BD=O′,连接PO′,如图,则有PO′⊥平面ABCD,∠PAO′为侧棱PA与底面ABCD所成的角,即∠PAO′=45°,于是得O′P=O′A=O′B=O′C=O′D=eq \f(\r(2),2)AB=2,因此,顶点P,A,B,C,D在以O′为球心,2为半径的球面上,即点O与O′重合,所以球O的体积是V=eq \f(4,3)π×23=eq \f(32,3)π.
(变式2)
外接球双面定球心法
例3 在四棱锥S-ABCD中,侧面SAD⊥底面ABCD,侧面SAD是正三角形,底面ABCD是边长为2eq \r(3)的正方形,则该四棱锥外接球表面积为( C )
A.5πB.10π
C.28πD.16π
【解析】 如图,连接AC,BD,设AC∩BD=O1,取AD中点E,连接O1E,SE,由题意知O1E⊥AD,SE⊥AD,O1为正方形ABCD外接圆的圆心.又因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,O1E⊂平面ABCD,所以O1E⊥平面SAD, 同理SE⊥平面ABCD.设等边三角形SDA的外接圆的圆心为O2,过O2作O1E的平行线,过O1作SE的平行线,两平行线交于点O,则OO1⊥平面ABCD,OO2⊥平面SAD,所以O为四棱锥S-ABCD外接球的球心,半径为R.由题知等边三角形SDA的外接圆半径SO2=eq \f(2,3)SE=eq \f(2,3)eq \r(SA2-AE2)=eq \f(2,3)eq \r(SA2-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AD))2)=2(或在等边三角形SDA中,由正弦定理得eq \f(2\r(3),sin\f(π,3))=2SO2,解得SO2=2).又因为OO2=eq \f(1,2)AB=eq \r(3),所以R=OS=eq \r(O2S2+O2O2)=eq \r(22+\r(3)2)=eq \r(7),所以四棱锥S-ABCD外接球表面积为4πR2=4π×(eq \r(7))2=28π.
(例3)
外接球双面定球心法
如图,在三棱锥P-ABC中:
①选定底面△ABC,定△ABC外接圆圆心O1;
②选定面△PAB,定△PAB外接圆圆心O2;
③分别过O1作平面ABC的垂线,过O2作平面PAB的垂线,两垂线交点即为外接球球心O.
变式3 在三棱锥A-BCD中,△ABD和△CBD均为边长为2的等边三角形,且二面角A-BD-C的平面角为60°,则三棱锥的外接球的表面积为( D )
A.eq \f(7,3)πB.eq \f(28,9)π
C.eq \f(13,9)πD.eq \f(52,9)π
【解析】 如图,取BD中点H,连接AH,CH,因为△ABD和△CBD均为边长为2的等边三角形,所以AH⊥BD,CH⊥BD,则∠AHC为二面角A-BD-C的平面角,即∠AHC=60°.设△ABD和△CBD外接圆圆心分别为E,F,则由AH=2×eq \f(\r(3),2)=eq \r(3),可得AE=eq \f(2,3)AH=eq \f(2\r(3),3),EH=eq \f(1,3)AH=eq \f(\r(3),3),分别过E,F作平面ABD,平面BCD的垂线,则三棱锥的外接球球心一定是两条垂线的交点,记为O,连接AO,HO,则由△OHE≌△OHF可得∠OHE=eq \f(1,2)∠AHC=30°,所以OE=tan30°·HE=eq \f(1,3),则R=OA=eq \r(AE2+OE2)=eq \r(\f(13,9)),则三棱锥外接球的表面积为4πR2=4π×eq \f(13,9)=eq \f(52π,9).
内切球
例4-1 (等体积法)在正四棱锥P-ABCD中,PA=5,AB=6,则该四棱锥内切球的表面积是( C )
A.eq \f(4π,7)B.eq \f(24π,7)
C.eq \f(36π,7)D.eq \f(72π,7)
【解析】 过点P作PO⊥平面ABCD,则O为正方形ABCD的中心,连接OA,如图,因为AB=6,所以OA=3eq \r(2),所以OP=eq \r(PA2-OA2)=eq \r(25-18)=eq \r(7),则四棱锥P-ABCD的体积V=eq \f(1,3)×62×eq \r(7)=12eq \r(7),四棱锥P-ABCD的表面积S=6×6+eq \f(1,2)×6×eq \r(25-9)×4=84.设四棱锥P-ABCD内切球的半径为r,内切球的球心为O′,由V=VO′-ABP+VO′-BCP+VO′-CDP+VO′-ADP+VO′-ABCD,可得V=eq \f(1,3)S·r,即12eq \r(7)=eq \f(1,3)×84r,解得r=eq \f(3\r(7),7),故四棱锥P-ABCD内切球的表面积是4πr2=eq \f(36π,7).
(例4-1)
内切球等体积法
例如,在四棱锥P-ABCD中,内切球为球O,求球半径r.方法如下:
VP-ABCD=VO-ABCD+VO-PBC+VO-PCD+VO-PAD+VO-PAB,即VP-ABCD=eq \f(1,3)S四边形ABCD·r+eq \f(1,3)S△PBC·r+eq \f(1,3)S△PCD·r+eq \f(1,3)S△PAD·r+eq \f(1,3)S△PAB·r,可求出r.
例4-2 (独立截面法)已知球与圆台的上、下底面和侧面都相切.若圆台的侧面积为16π,上、下底面的面积之比为1∶9,则球的表面积为( A )
A.12πB.14π
C.16πD.18π
【解析】 依据题意,球内切于圆台,画出两者的轴截面,球的截面为圆,圆台的轴截面为等腰梯形ABCD,如图所示,过点B作CD的垂线,垂足为E,设球的半径为R,则BE=2R,设圆台的母线为l,即BC=l,上、下底面的面积之比为1∶9,即eq \f(πr\\al(2,1),πr\\al(2,2))=eq \f(r\\al(2,1),r\\al(2,2))=eq \f(1,9),r2=3r1.由圆的切线长定理可知,r1+r2=l⇒l=4r1,圆台的侧面积为π(r1+r2)l=4πr1l=16πreq \\al(2,1)=16π,解得r1=1,则2R=BE=eq \r(l2-2r12)=2eq \r(3),即R=eq \r(3),则球的表面积S=4πR2=12π.
(例4-2)
内切球独立截面法
(1) 画出过经过球心和切点的大圆的截面图;
(2) 在截面中,找到和球半径相关的直角三角形;
(3) 利用相似、全等、勾股定理等平面几何知识求出内切球半径.
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