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    2024年高考数学重难点突破讲义:学案 特别策划2 微切口4 三角形中的特殊线段
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    2024年高考数学重难点突破讲义:学案 特别策划2 微切口4 三角形中的特殊线段

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    这是一份2024年高考数学重难点突破讲义:学案 特别策划2 微切口4 三角形中的特殊线段,共6页。

    例1 (2023·杭州一模)已知△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2c sin A cs B+2b sin A cs C= eq \r(3)a,c>a.
    (1) 求角A的大小;
    【解析】 因为2c sin A cs B+2b sin A cs C= eq \r(3)a,所以由正弦定理得2sin C sin A cs B+2sin B sin A cs C= eq \r(3)sin A.因为A∈(0,π),sin A>0,所以sin C cs B+sin B cs C= eq \f(\r(3),2),即sin (B+C)= eq \f(\r(3),2).因为A+B+C=π,所以sin A= eq \f(\r(3),2).因为c>a,所以A为锐角,A= eq \f(π,3).
    (2) 若b=2,BC边上的中线AD= eq \r(7),求△ABC的面积.
    【解析】 因为 eq \(AD,\s\up6(→))= eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(AC,\s\up6(→))),所以 eq \(AD,\s\up6(→))2= eq \f(1,4)( eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(AC,\s\up6(→)))2, 即4 eq \(AD,\s\up6(→))2= eq \(AB,\s\up6(→))2+2 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))+ eq \(AC,\s\up6(→))2,而b=2,BC边上的中线AD= eq \r(7),故| eq \(AB,\s\up6(→))|2+2| eq \(AB,\s\up6(→))|-24=0,解得| eq \(AB,\s\up6(→))|=4,所以S△ABC= eq \f(1,2)bc sin A= eq \f(1,2)×2×4× eq \f(\r(3),2)=2 eq \r(3).
    1.中线长定理:在△ABC中,AD是边BC上的中线,则AB2+AC2=2(BD2+AD2).
    推导过程:
    在△ABD中,cs B= eq \f(AB2+BD2-AD2,2AB·BD),
    在△ABC中,cs B= eq \f(AB2+BC2-AC2,2AB·BC),
    联立两个方程可得AB2+AC2=2(BD2+AD2).
    2.向量法: eq \(AD,\s\up6(→))2= eq \f(1,4)(b2+c2+2bc cs A).
    推导过程:由 eq \(AD,\s\up6(→))= eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(AC,\s\up6(→))),
    得 eq \(AD,\s\up6(→))2= eq \f(1,4)( eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(AC,\s\up6(→)))2= eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))2+ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→))2+ eq \f(1,2)| eq \(AB,\s\up6(→))|| eq \(AC,\s\up6(→))|cs A,所以 eq \(AD,\s\up6(→))2= eq \f(1,4)(b2+c2+2bc cs A).
    变式1 在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c sin A=a cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C-\f(π,6))),点M是线段AB的中点,且CM=1.
    (1) 求角C的大小;
    【解析】 因为c sin A=a cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C-\f(π,6))),a=2R sin A,c=2R sin C,所以sin C sin A=sin A cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C-\f(π,6))).因为sin A≠0,所以sin C=cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C-\f(π,6))),即sin C= eq \r(3)cs C,tan C= eq \r(3).因为C∈(0,π),所以C= eq \f(π,3).
    (2) 求边c的取值范围.
    【解析】 因为∠AMC+∠BMC=π,所以cs ∠AMC+cs ∠BMC=0,所以 eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))\s\up12(2)+12-b2,c)+ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))\s\up12(2)+12-a2,c)=0,所以c2+4=2(a2+b2).因为c2=a2+b2-2ab cs C=a2+b2-ab,即 eq \f(2c2,c2+4)=1- eq \f(1,\f(b,a)+\f(a,b)).在锐角三角形ABC中,有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0<A<\f(π,2),,A+\f(π,3)>\f(π,2),))所以 eq \f(π,6)<A< eq \f(π,2),tan A> eq \f(\r(3),3).因为 eq \f(b,a)= eq \f(sin B,sin A)= eq \f(sin (A+C),sin A)= eq \f(\f(1,2)sin A+\f(\r(3),2)cs A,sin A)= eq \f(1,2)+ eq \f(\r(3),2tan A)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),2)),所以 eq \f(2c2,c2+4)=1- eq \f(1,\f(b,a)+\f(a,b))∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(3,5))),所以 eq \f(4,3)≤c2< eq \f(12,7),即 eq \f(2\r(3),3)≤c< eq \f(2\r(21),7).
    与角平分线相关
    例2 (2023·潍坊模拟)在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(c-b)·sin C=(a-b)(sin A+sin B).
    (1) 求角A的大小;
    【解析】 因为(c-b)sin C=(a-b)(sin A+sin B),所以由正弦定理可得(c-b)c=(a-b)(a+b),整理得b2+c2-bc=a2,由余弦定理可得cs A= eq \f(b2+c2-a2,2bc)= eq \f(bc,2bc)= eq \f(1,2).又因为A∈(0,π),所以A= eq \f(π,3).
    (2) 若D为BC上的点,AD平分角A,且b=3,AD= eq \r(3),求 eq \f(BD,DC).
    【解析】 因为D为BC上的点,AD平分角A,则S△ABC= eq \f(1,2)bcsin A= eq \f(\r(3),4)bc.又由S△ABC= eq \f(1,2)AC·AD sin eq \f(A,2)+ eq \f(1,2)AB·AD sin eq \f(A,2)= eq \f(1,4)·AD(b+c)= eq \f(\r(3),4)(b+c),可得bc=b+c.又因为b=3,所以3c=3+c,解得c= eq \f(3,2).因为 eq \f(S△ABD,S△ACD)= eq \f(AB,AC)= eq \f(BD,DC),所以 eq \f(BD,DC)= eq \f(c,b)= eq \f(1,2).
    如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
    1.利用角度的倍数关系:∠BAC=2∠BAD=2∠CAD.
    2.内角平分线定理:AD为△ABC的内角∠BAC的平分线,则 eq \f(AB,AC)= eq \f(BD,DC).
    3.等面积法:因为S△ABD+S△ACD=S△ABC,所以 eq \f(1,2)c·AD sin eq \f(A,2)+ eq \f(1,2)b·AD sin eq \f(A,2)= eq \f(1,2)bc sin A,所以(b+c)AD=2bc cs eq \f(A,2),整理得AD= eq \f(2bc cs \f(A,2),b+c)(角平分线长公式).
    变式2 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a sin B=b sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A+\f(π,3))).
    (1) 求角A的大小;
    【解析】 因为a sin B=b sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A+\f(π,3))),所以由正弦定理得sin A sin B=sin B sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A+\f(π,3))).因为sin B≠0,所以sin A=sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A+\f(π,3))),所以sin A= eq \f(1,2)sin A+ eq \f(\r(3),2)cs A,即 eq \f(1,2)sin A= eq \f(\r(3),2)cs A,所以tan A= eq \r(3).因为A∈(0,π),所以A= eq \f(π,3).
    (2) 若AB=3,AC=1,∠BAC的内角平分线交BC于点D,求AD的长.
    【解析】 方法一:因为S△ABC=S△ABD+S△ADC,所以 eq \f(1,2)AB·AC·sin ∠BAC= eq \f(1,2)AB·AD·sin ∠BAD+ eq \f(1,2)AD·AC·sin ∠DAC,所以 eq \f(1,2)×3×1×sin eq \f(π,3)= eq \f(1,2)×3×AD×sin eq \f(π,6)+ eq \f(1,2)×AD×1×sin eq \f(π,6),所以AD= eq \f(3\r(3),4).
    方法二:在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cs ∠BAC=32+12-2×3×1×cs eq \f(π,3)=7,所以BC= eq \r(7).在△ABD中,由正弦定理得 eq \f(BD,sin ∠BAD)= eq \f(AB,sin ∠ADB).在△ADC中,由正弦定理得 eq \f(DC,sin ∠DAC)= eq \f(AC,sin ∠ADC).因为sin ∠BAD=sin ∠DAC,sin ∠ADB=sin ∠ADC,所以 eq \f(BD,DC)= eq \f(AB,AC)= eq \f(3,1),所以DC= eq \f(\r(7),4).在△ADC中,由余弦定理得DC2=AD2+AC2-2AD·AC·cs ∠DAC,设AD=x,则 eq \f(7,16)=x2+1-2x· eq \f(\r(3),2),即x2- eq \r(3)x+ eq \f(9,16)=0,解得x= eq \f(3\r(3),4)或 eq \f(\r(3),4).在△ABC中,由余弦定理得cs C<0,所以C是钝角.在△ADC中,AD>AC,所以AD= eq \f(3\r(3),4).
    方法三:在△ABD中,由正弦定理得 eq \f(BD,sin ∠BAD)= eq \f(AB,sin ∠ADB).在△ADC中,由正弦定理得 eq \f(DC,sin ∠DAC)= eq \f(AC,sin ∠ADC).因为sin ∠BAD=sin ∠DAC,sin ∠ADB=sin ∠ADC,所以 eq \f(BD,DC)= eq \f(AB,AC)= eq \f(3,1).所以 eq \(AD,\s\up6(→))= eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(BD,\s\up6(→))= eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \f(3,4) eq \(BC,\s\up6(→))= eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \f(3,4)( eq \(AC,\s\up6(→))- eq \(AB,\s\up6(→)))= eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \f(3,4) eq \(AC,\s\up6(→)),所以| eq \(AD,\s\up6(→))|2= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)\(AB,\s\up6(→))+\f(3,4)\(AC,\s\up6(→))))2= eq \f(1,16)| eq \(AB,\s\up6(→))|2+ eq \f(9,16)| eq \(AC,\s\up6(→))|2+ eq \f(3,8) eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))= eq \f(1,16)×9+ eq \f(9,16)×1+ eq \f(3,8)×3×1× eq \f(1,2)= eq \f(27,16),所以AD= eq \f(3\r(3),4).
    与高线相关
    例3 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cs C= eq \f(a-c sin B,b).
    (1) 求角B的大小;
    【解析】 由余弦定理,得 eq \f(a2+b2-c2,2ab)= eq \f(a-c sin B,b),所以a2+b2-c2=2a(a-c sin B),所以b2=a2+c2-2ac sin B.又因为b2=a2+c2-2ac cs B,所以sin B=cs B,则tan B=1.因为B∈(0,π),所以B= eq \f(π,4).
    (2) 若边AB上的高为 eq \f(c,4),求cs C.
    【解析】 因为△ABC的面积S= eq \f(1,2)ac sin B= eq \f(\r(2),4)ac= eq \f(c2,8),所以a= eq \f(\r(2),4)c.由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cs B= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)c))2+c2-2× eq \f(\r(2),4)c×c× eq \f(\r(2),2)= eq \f(5,8)c2,所以b= eq \f(\r(10),4)c,所以cs C= eq \f(a-c sin B,b)= eq \f(\f(\r(2),4)c-\f(\r(2),2)c,\f(\r(10),4)c)=- eq \f(\r(5),5).
    1.若h1,h2,h3分别为△ABC的边a,b,c上的高,则h1∶h2∶h3= eq \f(1,a)∶ eq \f(1,b)∶ eq \f(1,c)= eq \f(1,sin A)∶ eq \f(1,sin B)∶ eq \f(1,sin C).
    2.求高一般采用等面积法,即求某边上的高,需要求出面积和底边长度.
    3.高线的两个作用:(1) 产生直角三角形;(2) 与三角形的面积相关.
    等分线问题
    例4 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2-b2=ac cs B- eq \f(1,2)bc.
    (1) 求角A的大小;
    【解析】 由题意得a2-b2=ac cs B- eq \f(1,2)bc,结合余弦定理可得a2-b2=ac· eq \f(a2+c2-b2,2ac)- eq \f(1,2)bc,所以b2+c2-a2=bc,所以cs A= eq \f(b2+c2-a2,2bc)= eq \f(1,2).因为A∈(0,π),所以A= eq \f(π,3).
    (2) 若a=6,2 eq \(BD,\s\up6(→))= eq \(DC,\s\up6(→)),求线段AD长的最大值.
    【解析】 因为2 eq \(BD,\s\up6(→))= eq \(DC,\s\up6(→)),所以 eq \(AD,\s\up6(→))= eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)),则| eq \(AD,\s\up6(→))|2= eq \f(1,9)(b2+4c2+2bc).因为b2+c2-a2=bc,且a=6,所以b2+c2-bc=36,则| eq \(AD,\s\up6(→))|2=4× eq \f(b2+4c2+2bc,b2+c2-bc)=4× eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,c)))\s\up12(2)+4+2×\f(b,c),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,c)))\s\up12(2)+1-\f(b,c)).令 eq \f(b,c)=t,则| eq \(AD,\s\up6(→))|2=4× eq \f(t2+4+2t,t2+1-t)=4+ eq \f(12(t+1),t2-t+1).令u=t+1(u>1),则| eq \(AD,\s\up6(→))|2=4+ eq \f(12u,u2-3u+3)=4+ eq \f(12,u+\f(3,u)-3)≤4+ eq \f(12,2\r(3)-3)=16+8 eq \r(3),当且仅当u= eq \r(3)时取等号,所以AD长的最大值为2 eq \r(3)+2.
    如图所示,在△ABC中,若点D是边BC上的点,且 eq \(BD,\s\up6(→))=λ eq \(DC,\s\up6(→))(λ≠-1),则向量 eq \(AD,\s\up6(→))= eq \f(\(AB,\s\up6(→))+λ\(AC,\s\up6(→)),1+λ).在向量线性表示(运算)有关的问题中,若能熟练利用此结论,往往能有“化腐朽为神奇”之功效.
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