2024年高考数学重难点突破讲义：专题5　解析几何

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(1) 求抛物线的方程；
(2) 设过点F的直线交抛物线于A，B两点，斜率为2的直线l与直线MA，MB，AB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且|RN|2＝|PN|·|QN|，求直线l在x轴上截距的范围．
【思维引导◎明思路】
eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(1 ,2 ,))
【评分标准◎看过程】
(1) 因为|MF|＝2，所以p＝2，(2分)
故抛物线的方程为y2＝4x．(4分)
说明：①联立直线AB与抛物线方程得2分
②联立方程有求纵坐标思想，只需联立得到一元二次方程组，不管对错，各得1分
③有yP＝…，yR＝…形式出来，不管对错，各得1分
(2) 设AB：x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ty＋1，,y2＝4x，))可得y2－4ty－4＝0，(6分)
故y1y2＝－4，y1＋y2＝4t，
设直线l：x＝eq \f(y,2)＋n，由题设可得n≠1且t≠eq \f(1,2)．
设直线MA：y＝eq \f(y1,x1＋1)(x＋1)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(y1,x1＋1)x＋1，,x＝\f(y,2)＋n，))可得yP＝eq \f(2n＋1y1,2x1＋2－y1)，同理可得yQ＝eq \f(2n＋1y2,2x2＋2－y2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ty＋1，,x＝\f(y,2)＋n，))可得yR＝eq \f(2n－1,2t－1)．(10分)
由|RN|2＝|PN|·|QN|得yeq \\al(2,R)＝|yP|·|yQ|，所以eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2n－1,2t－1)))2＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2n＋1y2,2x2＋2－y2)×\f(2n＋1y1,2x1＋2－y1)))，
整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n－1,n＋1)))2＝(2t－1)2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y1y2,2x2＋2－y22x1＋2－y1)))，化简得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,n－1)))2＝eq \f(3＋4t2,2t－12)．(13分)
令S＝2t－1，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,n－1)))2＝1＋eq \f(2,S)＋eq \f(4,S2)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,S)＋\f(1,4)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)，又n≠1，
解得n≤－7－4eq \r(,3)或－7＋4eq \r(,3)≤n＜1或n＞1．(15分)
【老师提醒◎防失误】
(1) 直线AB的方程与抛物线方程联立后无法进行下去；
(2) 无法合理设置未知量，思路受限制；
(3) 由|RN|2＝|PN|·|QN|，未能从中得到yeq \\al(2,R)＝|yP|·|yQ|，进而解出第二问；
(4) 思路正确，但因为计算问题，得到的双参数函数无法求最值．