高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线同步训练题，共32页。

【考点梳理】
考点一：双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
3．焦点：两个定点F1，F2.
4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.
考点二：双曲线标准方程
重难点技巧：
（1）,,表示双曲线；
（2）,,表示两条射线；
（3）,表示双曲线的一支；
（4）,表示一条射线.
【题型归纳】
题型一：双曲线的定义
1．（2023·全国高二课时练习）动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（ ）
A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线D．双曲线的一支和一条直线
2．（2023·全国高二课时练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线
C．双曲线的左支D．双曲线的右支
3．（2020·红桥·天津三中）设分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则 （ ）
A．5B．3C．7D．3或7
题型二：利用双曲线的定义求轨迹方程
4．（2023·新疆乌鲁木齐市第70中（理））已知动圆M过定点，且和定圆相切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·湖南怀化·）已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2020·南昌市铁路第一中学）已知点，，，动圆与直线切于点，分别过点且与圆相切的两条直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型三：双曲线中的焦点三角形问题
7．（2023·全国）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，为双曲线上一点，，为坐标原点.若，则（ ）
A．10B．1或9C．1D．9
8．（2023·全国高二课时练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且.若的面积为，则（ ）
A．1B．2C．4D．
9．（2023·全国高二课时练习）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
题型四：双曲线的标准方程的求法
10．（2023·全国高二课时练习）中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·江西会昌县第五中学高二开学考试（文））已知双曲线的顶点到渐近线的距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·内蒙古乌兰浩特一中高二期末（文））已知双曲线的焦点到顶点的距离为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【双基达标】
一、单选题
13．（2023·全国高二课时练习）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023·全国高二课时练习）椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a等于（ ）
A．B．C．1D．或1
15．（2023·全国高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，那么的值是（ ）
A．21B．30C．27D．15
16．（2023·银川三沙源上游学校（理））命题 “”是命题曲线表示双曲线的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
17．（2019·长沙市南雅中学高二月考）已知､为双曲线的左､右焦点，点在上，，则（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·全国高二课时练习）已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
19．（2023·江西科技学院附属中学高二月考（理））已知双曲线的左右焦点为，，过的直线交双曲线于M，N两点在第一象限），若与的内切圆半径之比为3：2，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
20．（2019·深圳市宝安中学（集团）高二期中）已知点，动圆C与直线相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
21．（2019·深圳市宝安中学（集团）高二期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
22．（2020·浙江金华第一中学高二期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，下列说法正确的是（ ）
A．若为直角三角形，则的周长是
B．若为直角三角形，则的面积是6
C．若为锐角三角形，则的取值范围是
D．若为钝角三角形，则的取值范围是
【高分突破】
一：单选题
23．（2023·江西科技学院附属中学高二月考（理））已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
24．（2023·全国高二课时练习）已知双曲线的实轴的一个端点为，虚轴的一个端点为，且，则双曲线方程为（ ）
A．B．
C．D．
25．（2023·全国高二课时练习）已知有相同焦点，的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．以上均有可能
26．（2023·玉林市育才中学高二期中（文））“”是“方程表示双曲线”的（ ）条件
A．充分不必要B．充要C．必要不充分D．既不充分又不必要
27．（2023·全国高二专题练习）若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(s，t>0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是（ ）
A．m－sB．(m－s)C．m2－s2D．－
28．（2023·江西科技学院附属中学高二月考（理））双曲线过，右焦点到渐近线的距离为2，的顶点，恰好是双曲线的两焦点，顶点在双曲线上，且，则（ ）
A．B．2C．D．
29．（2020·江苏高二课前预习）过双曲线的右支上的一点分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
30．（2023·全国高二专题练习）已知双曲线的一个焦点为，并且双曲线C的渐近线恰为矩形的边所在直线（O为坐标原点），则双曲线C的方程是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
31．（2023·全国高二）已知方程表示曲线，则（ ）
A．当时，曲线一定是椭圆
B．当或时，曲线一定是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
32．（2023·江苏省天一中学）已知双曲线的两个顶点分别为，，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线的方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
33．（2023·全国高二专题练习）在平面直角坐标系中，有两个圆C1：（x+2）2+y2＝r12和C2：（x﹣2）2+y2＝r22，其中r1，r2为正常数，满足r1+r2＜4或|r1﹣r2|＞4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是（ ）
A．两个椭圆B．两个双曲线
C．一个双曲线和一条直线D．一个椭圆和一个双曲线
34．（2023·山东潍坊·高二期末）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当，曲线为椭圆
B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为
C．“或”是“曲线为双曲线”的充要条件
D．不存在实数使得曲线为离心率为的双曲线
35．（2023·江苏高二专题练习）已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为（ ）
A．3B．6C．7D．14
36．（2023·全国高二单元测试）已知双曲线（，），，是其左、右顶点，，是其左、右焦点，是双曲线上异于，的任意一点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．直线，的斜率之积等于定值
C．使得为等腰三角形的点有且仅有8个
D．的面积为
三、填空题
37．（2020·全国高二单元测试）设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于__________．
38．（2023·安徽华星学校（理））已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________．
39．（2023·北京人大附中高二期末）已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点．则曲线C的方程为______．
40．（2023·全国高二课时练习）已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为_________________．
41．（2023·江苏高二专题练习）设，分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则__________．
四、解答题
42．（2023·全国高二专题练习）已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．
43．（2023·全国高二（文））已知椭圆的左右焦点分别为，双曲线与共焦点，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程：
（2）已知点P在双曲线上，且，求的面积．
44．（2023·全国高二专题练习）如图，若是双曲线的两个焦点.
（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
45．（2023·江苏高二专题练习）已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.
46．（2023·全国高二课时练习）设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点，且，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为．
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为这两曲线的一个交点，求的值．
47．（2023·江苏高二专题练习）已知双曲线(，)的离心率为2，过点且斜率为的直线交双曲线于，两点.且.
（1）求双曲线的标准方程.
（2）设为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，在轴的负半轴上是否存在定点.使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
焦点
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
【答案详解】
1．C
【详解】
由题意，知，当时，
，此时点的轨迹是双曲线的一支；
当时，，
点的轨迹为以为端点沿轴向右的一条射线．
故选：C.
2．D
【详解】
表示：
动点到两定点，的距离之差等于2，
而，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支．
故选：D
3．D
【详解】
解：根据双曲线的定义，，
因为，所以或
故选：D
4．A
【详解】
设定圆的圆心为，半径为，
当两圆内切时，定圆在动圆M的内部，有；
当两圆外切时有，
故，
由双曲线的定义知，
点的轨迹是以为焦点的双曲线，
且，
所以，
故圆心的轨迹方程为.
故选：A.
5．B
【详解】
设动圆的半径为，又圆与圆的半径均为，
则由已知得，
所以.
又点，
则，所以，
根据双曲线的定义可知，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支.
因为，
所以，
于是点的轨迹方程为.
故选：B.
6．A
【详解】
如图所示，设两切线分别与圆切于点，，
则，，，
所以
，
所以点的轨迹是以，为焦点，以为实轴的双曲线的右支（不含右顶点），
则，，所以，
因此点的轨迹方程为.
故选：A．
7．D
【详解】
由双曲线：得：，
由双曲线的定义知，，又，
∴或（舍去）.
又为双曲线上一点，，
∴为线段的中点，则.
故选：D.
8．D
设，.由，的面积为，
可得，∴①
由离心率为，可得，代入①式，可得.
故选：D.
9．A
【详解】
设双曲线的左焦点为，则．由题可知，，
∴，，，
∴，的周长为．
∵当，，三点共线时，最小，最小值为，
∴的周长的最小值为．
故选：A
10．A
【详解】
设双曲线方程为：，半焦距为.
在直线中，令，得，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为，∴，∴，
故选：A．
11．B
【详解】
解：双曲线的顶点为，
渐近线方程为，，
由题意可得，即为，①
双曲线的焦点设为，，
由题意可得，②
由①②可得，，
则双曲线的方程为．
故选：B．
12．B
【详解】
由题意得，解得，
所以双曲线的方程为．
故选：B．
13．C
【详解】
设双曲线的方程为：，半焦距为.
则，，则，
故，所以双曲线的标准方程为．
故选：C.
14．D
【详解】
因为双曲线的焦点在横轴上，
所以由题意可得：，
故选：D
15．C
【详解】
由题意可知，，
，，
两式相加得，
即.
故选：C
16．A
【详解】
曲线表示双曲线，则，解得，
因此是的充分不必要条件．
故选：A．
17．A
【详解】
因为，所以，所以在右支上，
所以，
又因为，所以，
所以，
故选：A.
18．B
【详解】
不妨设P是双曲线右支上一点，
在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2，
∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs∠F1PF2，
∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·，
∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴8＝4＋|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝4.
故选：B.
19．B
【详解】
设圆与的三边的切点分别为，如图，
令，，，
根据双曲线的定义可得，化简得，
由此可知，在中，轴于，同理轴于，
轴过圆心作的垂线，垂足为，易知直线的倾斜角与大小相等，不妨设圆的半径，设圆的半径，则，，所以根据勾股定理，，所以，；
故选：B
20．A
【详解】
设直线PM，PN与圆C相切的切点分别为点Q，T，如图，
由切线长定理知，MB=MQ，PQ=PT，NB=NT，于是有|PM|-|PN|=|MQ|-|NT|=|MB|-|NB|=2<6=|MN|，
则点P的轨迹是以M，N为左右焦点，实轴长2a=2的双曲线右支，虚半轴长b有，
所以点P的轨迹方程为.
故选：A
21．D
【详解】
因方程表示焦点在y轴上的双曲线，
则有，解得，
所以实数m的取值范围为.
故选：D
22．C
【详解】
解：因为双曲线，所以，
不妨设点P在第一象限，则，
若为直角三角形，
当时，则，
又，即，
所以，
，
所以，
所以的周长是，的面积是；
当时，设，
代入方程解得（负值舍去），所以，
故，所以，
所以的周长是，的面积是6，
综上所述，若为直角三角形，
则的周长是或8，
的面积是3或6，
故A、B错误；
若为锐角三角形，根据上述，则的取值范围是，故C正确；
若为钝角三角形，根据上述，则的取值范围是，故D错误.
故选：C.
23．A
【详解】
由题知，，
所以==，
解得.
故选：A
24．C
【详解】
依题意，，
所以双曲线的方程为.
故选：C
25．B
【详解】
根据椭圆与双曲线的焦点都在轴上，不妨设在第一象限，是左焦点，是右焦点，
则由椭圆与双曲线的定义有：，
可得，，即，
因为两者有公共焦点，设半焦距为，则，，
所以，所以，
所以，即，
是直角三角形．
故选：B.
26．C
【详解】
若，但是取，则不是双曲线，故不是充分条件，
若为双曲线，
则必须异号，所以，故是必要条件，
所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.
故选：C
27．A
【详解】
解：不妨设点P是两曲线在第一象限内的交点，由题意得
解得
则|PF1|·|PF2|＝＝m－s．
故选：A．
28．C
【详解】
依题意，且双曲线焦点在轴上，
焦点坐标，渐近线方程，
焦点到渐近线的距离为，
所以.
由于，所以在双曲线的右支，
结合正弦定理和双曲线的定义得
.
故选：C
29．A
【详解】
设、是双曲线的左、右焦点，也是、的圆心，
∴
，
显然其最小值为，.
故选：A.
30．A
【详解】
焦点为，，
为矩形，，根据双曲的对称性，，
又，则可解得，
则双曲线方程为.
故选：A.
31．BD
【详解】
对于A，当时，曲线是圆，故A错误；
对于B，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，
当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，故B正确；
对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C错误；
对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确．
故选BD．
32．AB
解：因为四边形的面积为，
所以，整理得，
记四边形内切圆半径为r，则，得．
又，所以，
又，联立可得，或，
所以双曲线的方程为或．
故选：AB.
33．BCD
解：根据题意圆，半径r1，圆，半径r2，所以，设圆P的半径为r，
（1）当，即两圆外离时，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，
①均内切时，，此时，
当时，此时P点的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，
当时，此时点P在C1，C2的垂直平分线上．
②均外切时|PC1|＝r+r1，|PC2|＝r+r2，此时．
此时P点的轨迹是与①相同．
③与一个内切与一个外切时，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，
|PC1|＝r﹣r1，|PC2|＝r+r2，
与圆C2内切，与圆C1外切时，同理得，
此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．
（2）当，两圆相交，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，
④均内切时轨迹和①相同．
⑤均外切时轨迹和①相同
⑥与一个内切另一个外切时，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，
|PC1|＝r1﹣r，|PC2|＝r+r2，|PC1|+|PC2|＝r1+r2
此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆．
与圆C2内切，与圆C1外切时，同理得，
此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆．
故选：BCD．
34．BCD
【详解】
对A，若，则曲线方程表示圆，故A错误；
对B，当时，曲线方程为，表示双曲线，其渐近线方程为，故B正确；
对C，要使曲线为双曲线，需满足，解得或，故“或”是“曲线为双曲线”的充要条件，故C正确；
对D，若离心率为，则，则可得，则或，两个方程均无解，故D正确.
故选：BCD.
35．AC
【详解】
连接，是的中位线，
∴，
∵，，
∴或6，
∴或3.
故选：AC.
36．ABC
【详解】
A，根据双曲线方程以及双曲线的定义可得，所以A正确；
B，设点，
有，，
直线的斜率之积
，所以B正确；
C，根据双曲线对称性分析：要使为等腰三角形，则必为腰，
在第一象限双曲线上有且仅有一个点使，
此时为等腰三角形，
也且仅有一个点使，此时为等腰三角形，
同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个，所以C正确；
D，，
设，，由双曲线的定义可得，
则，①
由余弦定理可得，②
②①得，，
则
，所以D不正确.
故选：ABC
37．12
由于，因此，，故，由于即，而，所以，，，所以，因此.
38．
对于双曲线，则，，，如下图所示：
设双曲线的右焦点为，则，
由双曲线的定义可得，则，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为：.
39．
解：双曲线的渐近线方程为,
由一条渐近线方程为,可得
椭圆的焦点为,，
可得
由可得,,
即双曲线的方程为,
故答案为:．
40．
【详解】
由圆，圆心，半径为，
圆，圆心，半径为，
设动圆心的坐标为，半径为，
则，，
，
由双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
且，，，，
双曲线的方程为，故答案为．
41．2
【详解】
由双曲线的方程可得：双曲线的实半轴长设半焦距,则,
由双曲线的定义可得,
,
在中，由余弦定理得,
即,
解得：,
故答案为：2.
42．（1）； （2）钝角三角形.
【详解】
(1)椭圆方程可化为，焦点在x轴上，且c＝，
故设双曲线方程为，
则有解得a2＝3，b2＝2.
所以双曲线的标准方程为.
(2)不妨设M点在右支上，
则有|MF1|－|MF2|＝2 ，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，
又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，而
cs ∠MF2F1＝ ，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．
43．（1）；（2）
【详解】
（1）由椭圆方程可知，
，，
,
，，
双曲线的方程；
（2）设点在双曲线的右支上，并且设，，
，
变形为，
44．（1）10或22；（2）.
解：（1）是双曲线的两个焦点，则，
点M到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，
则由双曲线定义可知，，解得或，
即点到另一个焦点的距离为或；
（2）P是双曲线左支上的点，则，
则，而，
所以，
即，
所以为直角三角形，，
所以.
45．（1）；（2）.
解：（1）依题意有又，所以，故双曲线的方程为.
（2）由已知得，设，
于是，
因此，
由于，所以当时，取得最小值，.
46．（1）椭圆方程为，双曲线方程为；（2）.
（1）由已知得，设椭圆长、短半轴长分别为、，双曲线实半轴、虚半轴长分别为、，
则解得．所以．
故椭圆方程为，双曲线方程为．
（2）不妨设、分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则，
所以．又，
故．
47．（1）；（2）存在，坐标.
（1）设双曲线的焦距为.
由双曲线的离心率为2知，所以，
从而双曲线的方程可化为.
令得.
设，.
因为，
所以，.
因为，
所以，
于是，
解得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）假设存在点()满足题设条件.
由（1）知双曲线的右焦点为.
设()为双曲线右支上一点.
当时，因为，
所以，于是，所以. 即.
当时，，.
因为，
所以.
将代入并整理得，
所以解得. 即.
综上，满足条件的点存在，其坐标.