高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线练习，共30页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2023·全国高二）若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点的横坐标和的值分别为（ ）
A．9，2B．1，18C．9，2或1，18D．9，18或1，2
2．（2023·全国高二课时练习）已知抛物线上一点的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
3．（2023·全国高二课时练习）已知抛物线的顶点为，焦点为，直线为准线，点在抛物线上.若在直线上的射影为，且在第四象限，，则直线的倾斜角为（ ）
A．150°B．120°C．30°或150°D．60°或120°
4．（2023·浙江高二学业考试）定长为6的线段AB两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，则M到y轴距离的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
5．（2023·山西晋中·（理））已知焦点为F的抛物线的准线是直线l，点P为抛物线C上一点，且垂足为Q，点则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
6．（2023·会泽县茚旺高级中学高二月考（理））设斜率为1的直线过抛物线的焦点，且和轴交于点，若（为坐标原点）的面积为2，则（ ）．
A．4B．8C．D．
7．（2023·全国高二专题练习）如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为（ ）
A．y2＝9xB．y2＝6x
C．y2＝3xD．y2＝x
8．（2023·福建省南安市侨光中学高二月考）已知抛物线C：的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，若，则＝（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·四川省蒲江县蒲江中学高二月考（理））已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若则k的值是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·安徽滁州·高二期中（文））已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为该抛物线的焦点，抛物线上纵坐标为1的点P满足，则（ ）
A．B．4C．D．2
11．（2023·内江市教育科学研究所高二期末（文））已知直线与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则的值为（ ）
A．4B．2C．1D．
12．（2023·江西新余·高二期末（理））已知点是抛物线：上一点，点为抛物线的焦点，点，则的周长的最小值为（ ）
A．3B．1C．D．
13．（2023·安徽高二期中（文））不垂直于坐标轴的直线与双曲线的渐近线交于，两点，若线段的中点为，和的斜率满足，则顶点在坐标原点，焦点在轴上，且经过点的抛物线方程是（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·全国高二专题练习）如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置.由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上.现有一抛物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为（ ）
A．B．C．D．
15．（2020·江苏高二专题练习）已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
16．（2023·全国高二课时练习）（多选）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线．则（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时，
D．当点在曲线上时，点到直线的距离
17．（2023·全国高二课时练习）已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则（ ）
A．点的纵坐标的取值范围是
B．等于点到抛物线的准线的距离
C．圆的圆心到抛物线的准线的距离为2
D．周长的取值范围是
18．（2023·广东高州·高二期末）已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点.若线段的长是16，中点到轴的距离是6，为坐标原点，则（ ）
A．抛物线的方程是B．抛物线的准线为
C．直线的斜率为1D．的面积为
19．（2023·广东韶关·高二期末）已知，过抛物线：焦点的直线与抛物线交于，两点，为上任意一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．过与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条
B．与到抛物线的准线距离之和的最小值为3
C．若，，成等比数列，则
D．抛物线在、两点处的切线互相垂直
20．（2023·山东菏泽·高二期末）已知抛物线：，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上的另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A．
B．
C．
D．延长交的准线于点则存在实数使得
21．（2023·全国高二专题练习）已知平面上的线段及点，任取上一点，称线段长度的最小值为点到线段的距离，记作.已知线段，，点为平面上一点，且满足，若点的轨迹为曲线，，是第一象限内曲线上两点，点且，，则（ ）
A．曲线关于轴对称B．点的坐标为
C．点的坐标为D．的面积为
三、填空题
22．（2023·全国高二课时练习）抛物线上一点M到它准线的距离为2，且M到此抛物线顶点的距离等于M到它的焦点的距离，则此抛物线的焦点坐标是___________.
23．（2023·贵州师大附中高二月考（理））已知抛物线C：的焦点为F，在C上存在A.B两点满足，且点A在x轴上方，以A为切点作C的切线l，l与该抛物线的准线相交于点M，则点M到直线AB的距离为__________.
24．（2023·全国高二课时练习）抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆的一个焦点，则此抛物线的焦点到其准线的距离为___________.
25．（2023·全国高二课时练习）已知点为抛物线上一点，若点到两定点，的距离之和最小，则点的坐标为______．
26．（2023·全国高二课时练习）已知（，2，3，，2021）是抛物线上的点，是抛物线的焦点，若，则______.
四、解答题
27．（2023·江苏省阜宁中学）已知,是抛物线上的点.
（1）若点在其准线上的投影为，求的最小值；
（2）求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线的方程.
28．（2023·新疆乌鲁木齐·乌市八中高二月考（理））已知抛物线的准线为，M，N为直线上的两点，M，N两点的纵坐标之积为-8，P为抛物线上一动点，，分别交抛物线于A、B两点.
（1）求抛物线E方程；
（2）问直线是否过定点，请求出此定点；若不过定点，请说明理由
29．（2023·四川资阳·高二期末（理））平面直角坐标系中，点，直线：．动点到的距离比线段的长度大2，记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设点在上，，为上异于的两个动点，且直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出该定值．
30．（2023·四川南充·高二期末（文））已知抛物线的准线与轴的交点为.
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点.求证：为定值.
31．（2023·福建省厦门集美中学）已知抛物线的准线为，是抛物线上一点，．
（1）求抛物线的方程；
（2）设与轴的交点为，直线过定点且与抛物线交于两点．记直线的斜率分别为，若，求直线的方程.
32．（2023·全国）已知抛物线：()的焦点与双曲线：右顶点重合.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设过点的直线与抛物线交于不同的两点，，是抛物线的焦点，且，求直线的方程.
33．（2023·全国高二课时练习）已知抛物线C的方程为，它的焦点F到点M 的距离为.
（1）求抛物线C的方程；
（2）A､B､D是抛物线C上不同三点，且△ABD是以B为直角顶点的等腰直角三角形，求的最小.
34．（2023·全国高二课时练习）在平面直角坐标系内，已知抛物线的焦点为，为平面直角坐标系内的点，若抛物线上存在点，使得，则称为的一个“垂足点”.
（1）若点有两个“垂足点”为和，求点的坐标；
（2）是否存在点，使得点有且仅有三个不同的“垂足点”，且点也是双曲线上的点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
1．C
【详解】
因为点到对称轴的距离为6，
所以不妨设．
因为点到准线的距离为10，
所以，
解得或，
故选：C．
2．D
解：抛物线的准线方程是，而点到准线的距离为6
点的横坐标是，于是
代入，得，
解得或，故该抛物线的标准方程为或．
故答案选：D
3．A
由题意，知点位于第一象限.设准线与轴的交点为（如图），则.又，所以，所以，所以.由抛物线的定义可知为等腰三角形，所以，所以直线的倾斜角为150°.
故选：A．
4．C
解：抛物线的焦点为F，则抛物线的准线，
设在准线上的垂足分别为,连接,如图所示.
所求的距离
因为抛物线的通径为,
所以定长为6的线段AB两个端点在抛物线上移动时可以经过焦点,
此时三点共线，，，
则点M到y轴的最短距离为2，
故选：.
5．A
【详解】
连接PF，由抛物线的定义可知PF=PQ，
所以，
故选A.
6．D
由题意可知：
抛物线的焦点，直线的方程为，
将代入得，
∴，
∴，∴．
故选：D
7．C
【详解】
如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此抛物线的方程为y2＝3x，
故选：C.
8．B
【详解】
过点做抛物线准线的垂线，垂足为，
，
在中，，
.
故选:B.
9．C
【详解】
直线过，也即直线过抛物线的焦点，
画出图象如下图所示，
过作直线垂直于抛物线的准线，垂足为；过作直线垂直于抛物线的准线，垂足为，
过作，交于.
依题意，设，
则，，
所以直线的斜率.
故选：C
10．C
【详解】
由题意，，点，故，，
．
故选：C．
11．B
【详解】
解：设，联立得：，解得：，因为为的中点，所以，
又因为，所以有，即，点在抛物线上，代入可得，解得：.
故选：B.
12．D
【详解】
如下图所示，由题意可判断在抛物线内部，且易得点，准线方程.
根据两点间距离公式得,根据抛物线性质得，当且仅当三点共线时等号成立，故的周长的最小值为.
故选:D
13．C
【详解】
设，则，
相减得，，所以，
即，所以，．由题意设抛物线方程是，则．于是所求抛物线方程是．
故选：C．
14．B
解：由题意建立如图所示的平面直角坐标系，与重合：
设抛物线的方程为，
由题意可得，将A点坐标代入抛物线的方程可得：，
解得，所以抛物线的方程为：，
焦点的坐标为，即，
所以焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为.
故选：B.
15．B
【详解】
点到准线的距离等于点到焦点的距离，
从而到轴的距离等于点到焦点的距离减，
故.
过焦点作直线的垂线，
此时最小，
此时，，则的最小值为.
故选：B
16．AB
【详解】
由抛物线定义，知曲线是以为焦点，
直线为准线的抛物线，其方程为，故A正确；
若点在曲线上，则点也在曲线上，故曲线关于轴对称，故B正确；
由知，故C错误；
点到直线的距离，所以D错误
故选：AB
17．BCD
【详解】
∵圆的圆心为，半径，
∴与轴正半轴的交点为，
∵抛物线的焦点为，准线方程为，
由，得，故点的纵坐标，故A错误；
由抛物线的定义可得等于点到抛物线的准线的距离，故B正确；
易知圆的圆心到抛物线的准线的距离为2，故C正确；
的周长为，故D正确.
故选：BCD.
18．AD
依题意直线过抛物线的焦点，，中点到轴的距离是6，
结合抛物线的定义可知，
所以抛物线方程为，准线为，所以A正确，B错误.
抛物线焦点坐标为，设直线的方程为，
，消去并化简得，
设，则.
所以，解得.所以C错误.
当时，直线的方程为，即，原点到直线的距离为，
所以.当时，同理求得，D正确.
故选：AD
19．BCD
【详解】
解：设过的直线方程为：，又 抛物线的方程为：，
联立方程可得：化简得：
时，解得，即有两解.
又时，，所以直线与抛物线有一个交点
过与抛物线相交且有一个公共点的直线有三条，选项A错误；
，与到抛物线的准线距离之和等于，
又，选项B正确；
设，，直线的方程为，
代入抛物线的方程可得，
所以，，
因为，
所以，选项C正确；
不妨设，由得，由得，
所以抛物线在处的切线的斜率为，在处的切线的斜率为，
因为，
所以两条切线相互垂直，选项D正确．
故选：BCD．
20．ACD
【详解】
如图所示：
因为过点且轴,故,故直线
化简得,由消去并化简得,即,，故A正确；
又, 故,B,故,故B错误；
因为，故为等腰三角形，所以,而,故,即，故C正确；
直线,由 得故,所以 三点共线,故D正确．
故选：ACD．
21．BCD
【详解】
为线段，
：为线段，
又，
①当时，由题意可得，点在轴上；
②当时，，，此时点在轴上；
③当时，为点到的距离，，
此时点的轨迹是一条抛物线，准线方程为，
所以，故抛物线的标准方程为；
④当时，，，
此时点在的中垂线上，而，，中点坐标为，
所以，所以点在直线上，故选项A错误；
又，所以，解得，
故点A的坐标为，故选项B正确；
因为，又点在上，
联立方程组，可得，
所以点B的坐标为，故选项C正确；
，故直线AB的方程为，
则直线与的交点坐标为，
所以，故选项D正确.
故选：BCD.
22．
【详解】
设点到它的准线的距离为2，则，
∵M到此抛物线顶点的距离等于M到它的焦点的距离，
则，
解得
，
∴焦点坐标为
故答案为：
23．
【详解】
作出抛物线的准线l：x＝﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D，
连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E
∵3，∴设||＝m，则||＝3m，
由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得
||＝||＝m，||＝||＝3m，
∴||＝2m
因此，Rt△ABE中，cs∠BAE，得∠BAE＝60°
所以，直线AB的倾斜角∠AFx＝60°，
得直线AB的斜率为tan60°．
直线AB的方程为y（x﹣1），代入y2＝4x，可得3x2﹣10x+3＝0，
∴x＝3或x，
∵A在x轴上方，
∴A，
∴设过A的切线的斜率为k，则切线的方程为，
与联立得到，即
令，可得，
∴过A的切线的方程为，
令x＝-1，可得
∴的坐标为，又直线AB的方程为y（x﹣1）
故点M到直线AB的距离：
故答案为：
24．
【详解】
椭圆即，
所以椭圆的一个焦点为，
由于抛物线的焦点为，所以，
所以抛物线的焦点到其准线的距离为.
故答案为：
25．
【详解】
过点作抛物线准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义，知点到焦点的距离与点到准线的距离相等，
即，所以，
易知当，，三点共线时，取得最小值，
所以，此时点的坐标为．
故答案为：
26．2021
【详解】
设（，2，3，…，2021），因为是抛物线上的点，是抛物线的焦点，所以，准线为：.因此，所以，即.又由抛物线的定义，可得，所以
.
故答案为：2021
27．（1）； （2）或或.
【详解】
（1）由抛物线，可得其焦点为，如图所示，
根据抛物线的定义，可得，所以，
当点三点共线时，等号成立，
又由，所以，即的最小值为.
（2）①当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，
此时直线与抛物线只有一个交点，满足题意；
②当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，
联立方程组，整理得，
当时，方程可只有一解，此时直线方程为；
当时，令，解得，
所以直线方程为.
综上可得，直线方程为或或.
28．（1）；（2）过定点.
（1）由得，
故抛物线方程.
（2）设、、，直线方程为，
代入抛物线方程化简得，
则，
由直线的斜率
则直线的方程：，
又，即直线的方程：，
令，得，同理，
，整理得.
则，即，，故直线的方程：，即直线过定点.
29．
【详解】
（1）由已知，线段的长度等于到：的距离，
则点的轨迹是以为焦点，：为准线的抛物线，
所以，的方程为．
（2）将代入得．则
易知直线斜率存在，设为，知，直线方程为．
由得．
则，．①
则，，
因为直线，的斜率互为相反数，
所以，，
则．②
联立①②，得，
所以或．
若，则的方程为，恒过点，不合题意；
所以，即直线的斜率为定值．
30．
【详解】
（1）由题意，可得，即，
∴抛物线的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，，，
联立抛物线有，消去x得，则，
∴，，又，.
∴.
∴为定值.
31．（1）；（2）．
【详解】
（1）根据抛物线定义，，得，抛物线的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，与题意不符，
所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为，代入到中，得
，
设，，则，
，
所以直线的方程为．
32．（1）；（2）或.
【详解】
（1）由题设知，双曲线的右顶点为，
∴，解得，
∴抛物线的标准方程为.
（2）设，，
显然直线的斜率存在，故设直线的方程为，
联立，消去得，
由得，即，
∴，.
又∵，，
∴，
∴，
即，
解得或，
∴直线的方程为或.
33．（1）；（2）16.
【详解】
（1）由焦点F，距离公式可得，
解得或者（舍），
所以抛物线方程为，
（2）设，
，
由△ABD是以B为直角顶点的等腰直角三角形，
如图，分别作垂直和平行于轴的直线相交于，
过分别作垂直和平行于轴的直线相交于则
，所以，
所以，
所以（*），
由，可得，
整理可得，
由互不相等，所以，
即，带入（*）式可得：
，
当时，△ABD的面积最小，此时.
34．
（1）设，由抛物线的焦点，且和是的“垂足点”，
∴且，又，，，，
∴，解得，
∴为.
（2）假设存在满足条件，设其中的一个“垂足点”为.
由，且，.
∴，即.
若有三个“垂足点”，即关于的方程有三个不相等的实根.
∴方程可化为形式，且，
而.
∴，即
若点在双曲线号上，则，化简得，
即（a2﹣4）（4a4﹣17a2﹣32）＝0，
解得a＝±2或a＝±，此时m＝±1或m＝±，且满足
所以存在P点，其坐标为或或（，）
或（，）．