高中数学3.3 抛物线综合训练题

这是一份高中数学3.3 抛物线综合训练题，共31页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2022·江苏高三专题练习）设抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，且．设直线与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）．则直线过定点（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023·全国高三专题练习）已知A、B是抛物线的两点，为坐标原点，若且的内心恰是此抛物线的焦点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国高二课时练习）过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
4．（2023·安徽高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为F，倾斜角为的直线过点，若上恰存在3个不同的点到的距离为，则的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·渝中·重庆巴蜀中学高三开学考试）设抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，若，则的面积为（ ）
A．B．C．5D．
6．（2023·全国高二课时练习）已知抛物线y2＝4x，直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为（ ）
A．2B．C．D．1
7．（2023·江西高三月考（文））给定抛物线，F是其焦点，直线，它与E相交于A，B两点，如果且，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·广东高三月考）已知直线过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点，且，，成等差数列，则直线的斜率（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河南许昌·高二期末（理））已知抛物线．如图，过焦点作斜率为直线交抛物线于，两点，交抛物线的准线于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全国高三专题练习（理））已知直线：与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2023·江苏省阜宁中学高二月考）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线的准线上，线段与抛物线交于点M．下列判断正确的是（ ）
A．不可能是等边三角形
B．可能是等腰直角三角形
C．
D．
12．（2023·全国高三月考）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，的延长线交抛物线的准线于点，已知，则（ ）
A．B．抛物线的方程为C．D．
13．（2023·江苏南通·高二期末）过抛物线的焦点的直线与相交于，两点.若的最小值为，则（ ）
A．抛物线的方程为
B．的中点到准线的距离的最小值为3
C．
D．当直线的倾斜角为时，为的一个四等分点
14．（2023·湖北荆州·高二期末）已知抛物线的焦点为为抛物线上一动点，直线交抛物线于两点，点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在直线，使得两点关于对称
B．的最小值为6
C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D．若分别以为切点的抛物线的两条切线的交点在准线上，则两点的纵坐标之和的最小值为4
15．（2023·全国高二专题练习）已知抛物线的焦点为，直线经过点交于A，两点，交轴于点，若，则（ ）
A．B．点的坐标为
C．D．弦的中点到轴的距离为
三、填空题
16．（2023·全国高二专题练习）已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则_________
17．（2023·全国高二专题练习）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点，且与抛物线交于、两点，则的面积为__________．
18．（2023·全国高二课时练习）已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________．
19．（2023·全国高二课时练习）已知抛物线C：的焦点为F，过点P（0，﹣1）斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C交于A、B两点，AB的中点Q到x轴的距离为3，若M是直线l上的一个动点，E（3，0），则||MF|﹣|ME||的最大值为 __.
四、解答题
20．（2023·全国高二专题练习）已知抛物线的顶点为，焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）过作直线交抛物线于两点.若直线、分别交直线：于、两点，求的最小值.
21．（2023·山西平城·大同一中高二月考）已知抛物线，（）的焦点与椭圆的右焦点重合.
（1）求抛物线的方程.
（2）直线与抛物线交于，两点，当为何值时，以为直径的圆，恒过原点.
22．（2023·重庆高二月考）作斜率为的直线l与抛物线交于两点（如图所示），点在抛物线C上且在直线l上方．
（Ⅰ）求C的方程并证明．直线和的倾斜角互补．
（Ⅱ）若直线的倾斜角为，求的面积的最大值.
23．（2023·河北张家口·高二期末）已知抛物线经过点．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）经过点的直线l与抛物线C相切于点B（点B在第一象限），O是坐标原点，圆O与直线l相切于点E，设，求实数λ的值．
24．（2023·全国高二课时练习） 已知抛物线C：y2＝4x，A，B，其中m>0，过B的直线l交抛物线C于M，N.
（1）当m＝5，且直线l垂直于x轴时，求证：△AMN为直角三角形；
（2）若＝＋，当点P在直线l上时，求实数m，使得AM⊥AN.
25．（2023·全国高二课时练习）已知抛物线C：x2＝8y，点F是抛物线的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，点M的坐标为（2，﹣2）．
（1）分别过A，B两点作抛物线C的切线，两切线的交点为M，求直线l的斜率；
（2）若直线l过抛物线的焦点F，试判断是否存在定值λ，使得＝
26．（2023·全国高二专题练习）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，Q在抛物线C上，且|QF|=.
（1）求抛物线C的方程及t的值；
（2）若过点M（0，t）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，N为AB的中点，O是坐标原点，且，求直线l的方程.
27．（2023·浙江丽水·高二期中）在直角坐标系中，已知点，，直线，交于，且它们的斜率满足：.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设过点的直线交曲线于，两点，直线与分别交直线于点，，是否存在常数，使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
28．（2023·广东深圳·高二期末）已知双曲线C:的左右顶点分别是且经过点，双曲线的右焦点到渐近线的距离是，不与坐标轴平行的直线l与双曲线交于P、Q两点（异于），P关于原点O的对称点为S.
（1）求双曲线C的标准方程;
（2）若直线与直线相交于点T，直线OT与直线PQ相交于点R，证明：在双曲线上存在定点E，使得的面积为定值，并求出该定值.
29．（2020·宝山·上海交大附中高二期中）已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线在轴上方交上双曲线于点，且，的面积为.
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线实轴右端点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值.
30．（2023·贵州师大附中高二月考（理））已知抛物线C：的焦点为F，M为抛物线C上一点，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l：与C交于M.N两点，在x轴上是否存在定点P，使得当m变化时，总有∠OPM=∠OPN成立？若存在，求出点P的坐标；不存在，请说明理由.
参考答案
1．C
【详解】
∵是抛物线上一点，且．∴，
解得，即抛物线的方程为．
依题意可知直线的斜率不为，设直线的方程为，，，
由消去得，则，．
因为，所以，即．
化简得．由得，所以直线的方程为，
所以直线经过定点．
故选：C
2．C
【详解】
因为A、B是抛物线的两点，为坐标原点， ，
所以A、B两点关于轴对称，
设点A在轴上方，坐标为（），则，
所以,
设交轴于点,则,
因为,所以,
因为的内心恰是此抛物线的焦点，
所以平分，
所以由三角形角平分线的性质得,即，
化简得, ,
解得,
因为,所以,
所以直线的方程为
故选：C.
3．C
当直线的斜率不存在时，直线符合题意．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得．
当时，符合题意；当时，由，可得，
即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有3条．
故选：C
4．B
【详解】
由题意，抛物线的焦点为，
因为直线的倾斜角为，所以直线，
设直线与抛物线相切，
联立方程组，可得，
则，解得，且 ，
故两平行线间的距离，解得，
所以抛物线的方程为，则准线方程为.
故选：B.
5．C
【详解】
依题意，，即，抛物线方程为：，准线：，
如图，过点B作直线BM//l交AC于M，
由抛物线定义知：，显然四边形BMCD是矩形，则，
而，则，于是得直线AB的斜率，直线AB方程，
由消去x得：，解得，，于是得点A，B纵坐标分别为4，-1，则，
从而得，而点F到直线l的距离为h=2，
所以的面积为.
故选：C
6．D
【详解】
设直线l的方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线l与抛物线方程，化简可得，y2﹣4my﹣4n＝0，
由韦达定理可得，y1+y2＝4m，
∵，
∴4m＝4，即m＝1，
∴直线l的方程为y＝x﹣n，
∴k＝1．
故选：D
7．C
【详解】
直线与抛物线方程联立得：，
因为直线与抛物线相交于A，B两点，所以，设，
因此有，且，
由，代入中得：
且，解得：，
函数在时单调递减，所以，因此，
所以或
故选：C
8．D
【详解】
根据题意可得直线的斜率存在.因为抛物线：的焦点，所以直线的方程可设为，与抛物线方程联立得：，设，
因此，
因为，，成等差数列，所以，
于是有，化简得：，而，所以解得：
或（舍去），因为，所以，
解得，
故选：D
9．D
【详解】
由题意，准线方程为，直线方程是，设，
由得，所以，，
在中令得，
由得，
所以，，解得（舍去）．
故选：D．
10．B
【详解】
设，联立方程组，整理得，
则，可得，
由点为的中点，所以
设，因为，可得，
又由点在抛物线上，可得，
即，解得或（舍去），
所以抛物线的标准方程为.
故选：B.
11．AC
【详解】
若是等边三角形，则边长为1，且点的横坐标为，纵坐标为，此时，∴不可能是等边三角形，故A正确；
若是等腰直角三角形，则只可能是，∴，故B不正确；
过点作准线的垂线交准线于点，则，，故C正确，D不正确.
故选：AC
12．AB
对A，因为，所以，抛物线的准线为，过点和点分别向直线作垂线，垂足分别为，．因为直线经过焦点，所以，．过点向线段作垂线，垂足为，则易得．在中，，，，则.在中，，故选项A正确；
对B，设准线与轴交于点，易得在中，，，则抛物线的方程为，故选项B正确；对C，当点在轴上方时，易得直线的倾斜角为60°，当点在轴下方时，易得直线的倾斜角为120°，即，由题意可得，，则，整理可得，易得，故选项C错误；
对D，设直线的倾斜角为60°，则直线的方程为，与抛物线的方程联立消去可得，则，，故选项D错误
故选：AB.
13．ABD
【详解】
当直线的斜率不存在时，
因为直线过抛物线的焦点，所以的方程为：，
由 可得，此时，
当直线的斜率存在时，
设的方程为：，，，
由可得：，
所以，，
所以，
对于A：由以上证明可知：当直线的斜率不存在时，，可得，
所以抛物线的方程为，故选项A正确；
对于B：的中点到准线的距离的最小值为，故选项B正确；
对于C：当直线的斜率不存在时，，，此时 ，
故选项C不正确；
对于D：当直线的倾斜角为时，直线的方程为：，
由可得：，即，
解得：或，
所以，，
所以，所以为的一个四等分点，故选项D正确；
故选：ABD
14．BCD
解：由于抛物线的焦点，
对于A，假设存在直线，使得，两点关于直线对称，
则设直线的方程为，联立，所以，
所以△，即，
设，，，，线段的中点为，所以，
所以，，因为点在直线上，
所以，解得，与矛盾，故A不正确；
对于B：设为抛物线的准线，则准线的方程为，过点作于点，
则，当且仅当，， 三点共线时等号成立，
所以的最小值为6，故B正确；
对于C：当直线过焦点时，设，，
则以为直径的圆心为的中点，，，
所以圆心到轴的距离为，
由抛物线的定义可得为点到准线的距离，即，所以，
所以当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切，故C正确；
对于D：设，，，，由，即，所以，
则切线的方程为，即，
同理切线的方程为，
联立，解得，，
由题意，点在准线上，则，所以，
所以，
所以当时，取得最小值4，故D正确；
故选：BCD．
15．CD
由于得到，故A错误；抛物线方程为，
过B点作BD垂直于y轴，垂足为D点，则,
因为，所以,
所以，
即,代入抛物线方程，解得,故B错误；
不妨取点的坐标为，
所以直线的方程为：，
联立抛物线方程得到：，
韦达定理可知：，
由抛物线的弦长公式可知：，故C正确；
弦的中点到轴的距离为，故D正确；
故选：CD.
16．
【详解】
过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,且,
则直线的斜率存在，设直线为，且
所以 ，整理可得，
设，则，且（1）
由，则 （2）,
将（1）（2）联立可求出或（舍去）
所以.
故答案为：
17．
【详解】
由题意可得抛物线焦点，直线的方程为，
代入并化简得，即，解得或，
设点、，则，，
因此，.
故答案为：．
18．
设点，依题意得点在以为焦点，以直线为准线的抛物线上，
A点的轨迹为. 由题意可知：过点且斜率为的直线方程为，
由消去，得，当时，显然不符合题意；
当时，依题意得中，化简得，解得或.
因此的取值范围为.
故答案为：
19．1
【详解】
因为抛物线C的方程为，所以焦点，
根据题意直线l的方程为，
设，联立，得，
所以，所以，
所以，
因为AB的中点Q到x轴的距离为3，所以，解得，
所以直线l的方程为，
设点关于直线l的对称点为，所以，且，
解得，
所以点F关于直线l的对称点为，
所以，当M在射线与直线l的交点时，取等号，
故答案为：1.
20．（1）；（2）.
【详解】
（1）设抛物线的方程为：，则，解得：，
抛物线的方程为；
（2）由题意知：直线斜率存在，可设其方程为：，
由消去整理得：，
设，，，，
由解得点的横坐标为：，
同理可得点的横坐标为：，
，
令，则，
当时，，
当时，，
综上所述，当，即时，的最小值是.
21．（1）；（2），.
（1）由题意，椭圆的右焦点为，抛物线的焦点为，
所以，解得，所以抛物线的方程为.
（2）因为直线与抛物线交于，两点，设，
联列方程组，可得，
所以，，
由，解得，
以为直径的圆，恒过原点，则，可得，
又由，，
可得
，解得或，
所以当或时，为直径的圆，恒过原点.
22．
（Ⅰ）、在抛物线上，，抛物线C的方程为
设在抛物线上
，
直线和的倾斜角互补.
（Ⅱ）、设直线的方程为：其中，
由（Ⅰ）可知，，
直线的方程为：，化简得：，直线的距离为，
令，，令， ，在上单调递增；令， ，在上单调递减；
当时，取最大值
23．（1）；（2）.
解：（1）∵抛物线经过点，
∴
∴抛物线的标准方程为.
（2）依题意，知直线的斜率存在，设方程为.
由，得①.
则，得或（舍）.
方程①为，得.
∴点的坐标为，.
由题意，且为等腰直角三角形，，
∴.
∴.
24．
（1）证明：由题意，l：x＝5，代入y2＝4x中，解得，
不妨取M(5,)，N(5,－)，则，
∴，
∴AM⊥AN，即△AMN为直角三角形，得证．
（2）由题意，四边形OAPB为平行四边形，则kBP＝kOA＝2，
设直线l：y＝2(x－m)，，联立，得y2－2y－4m＝0，
由题意，判别式Δ＝4＋16m>0，y1＋y2＝2，y1y2＝－4m，
∵AM⊥AN，则，又，
∴，化简得(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0，即y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0，
∴，解得m＝6，故m＝6时，有AM⊥AN.
25．（1）；（2）存在λ＝2.
解：（1），，，，
抛物线方程，
求导可得，
过点的切线方程为，过点的切线方程为，
点为两切线的交点，
，，
过，的直线方程为，化简可得，，
．
（2）由题意可知，，过点的直线为，
设直线与抛物线交于，，，，
联立直线与抛物线方程，，
由韦达定理可得，，，
，同理可得，，
，
，
存在，使得．
26．（1）y2=4x，2；（2）或.
（1）因抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，则其准线为：，又Q在抛物线C上，
由抛物线定义知：，解得p=2，即抛物线C的方程为y2=4x，
将Q的坐标代入y2=4x，得t=2，
所以抛物线C的方程为y2=4x，t的值是2；
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，由(1)知M(0，2)，
显然直线l的斜率存在，设直线l：y=kx+2(k≠0)，
由消去y得k2x2-4(1-k)x+4=0，显然，k≠0，，解得，且，
于是得，
而，且点A，B，M，N都在直线l上，从而得，
则有，又N是AB的中点，即x0=，
从而得，即，整理得，
因此有，解得或，均满足题意，
所以直线l的方程为或.
27．（1）；（2）存在，.
(1)设，由，，得，，
∵，∴，
整理得：.
(2)存在常数，使.证明如下：
由题意，直线的斜率存在，且过点，
设直线的方程为，，，
联立，得，
由韦达定理得，，.
.
所以.
直线的方程为，取，得，
直线的方程为，取，得.
所以
.
∴.
∴.
故存在常数，使.
28．（1）；（2）存在，定值为.
【详解】
（1）设双曲线的右焦点，一条渐近线为，
则由题可得，解得，
所以双曲线的标准方程为；
（2）设，
设直线，
联立直线与双曲线可得，
由可得，所以，
则，
，
由题，
由三点共线可得，即，
由三点共线可得，即，
相加可得，
所以直线，
联立直线可得可得，
因此点在定直线上，
则使得的面积为定值的点一定为过点M且与直线平行的直线与双曲线的交点，此时，则.
29．（1）；（2）.
【详解】
（1）设、，则，
将点的坐标代入双曲线的方程得，可得，，，
，
，轴，所以，，
由双曲线的定义可得，，则，
，，，
因此，双曲线的方程为；
（2）双曲线的两条渐近线为，，
易知，渐近线的倾斜角为，则，
，
，
由平面向量数量积的定义可得.
30．
(1)∵ M为抛物线C上一点，且，
∴M到抛物线C的准线的距离为4，
∴
∴
∴ ，
∴抛物线C的方程为：；
(2)设存在x轴上的点，使得∠OPM=∠OPN成立，
则直线MP的斜率与直线NP的斜率之和为0，设，
则，化简可得
联立直线l与抛物线C的方程可得，化简可得，
由已知，为方程的解，
∴ ，，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ 存在点P(-4,0) 使得当m变化时，总有∠OPM=∠OPN成立.