河南省周口恒大中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省周口恒大中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

试卷考试时间：120分钟 满分：150
第I卷（选择题）
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1. 已知sinα>sinβ，，，则( )
A. α＋β>πB. α＋β<π
C. D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 对，不等式恒成立，则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
4. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. 4B. 8C. D.
5. 已知函数（，且）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知是R上的奇函数，且当时，，则时=（ ）
A. B.
C. D.
7. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
8. “”是“直线与圆相切”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
二．多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9. 已知，，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为6
C. 的最大值为0D. 的最小值为
10. 下列函数中，图象关于y轴对称是（ ）
A. B.
C D.
11. 若，，且，则下列说法正确的是（ ）
A 有最大值B. 有最大值2
C. 有最小值4D. 有最小值
12. 已知，则下列不等式正确是（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知幂函数在上是减函数，则n的值为________．
14. 已知A＝{x|≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，，则实数a的取值范围是___．
15. 函数的定义域为______．
16 下面有四个说法
（1）且且；
（2）且；
（3）；
（4）
其中正确的是__________________.
四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）
17. 设，计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
18. 已知角满足.
（1）若角是第一象限角，求的值；
（2）若角是第三象限角，，求的值.
19. 已知，，用，表示．
20. 已知向量，，函数，.
(1)若的最小值为11，求实数m的值；
(2)是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
21. 已知函数.
（1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（2）若的最小值为-2，求实数的值.
22. 已知函数，
（1）当时，判断并证明的奇偶性；
（2）是否存在实数，使得是奇函数？若存在，求出；若不存在，说明理由．
2023-2024学年高一上学期数学期末考试卷
数学试题
试卷考试时间：120分钟 满分：150
第I卷（选择题）
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1. 已知sinα>sinβ，，，则( )
A. α＋β>πB. α＋β<π
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为，所以，且，
则由，得，即；故选A.
点睛：本题考查正弦函数的单调性和诱导公式，解决本题的难点是如何将不在同一单调区间上的角转化到同一个单调区间上（利用诱导公式），再利用正弦函数的单调性进行求解.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合交集运算求解即可.
【详解】解：因为，
所以
故选：D
3. 对，不等式恒成立，则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对分成和且两种情况，结合一元二次不等式恒成立，求得的的取值范围.
【详解】当时，原不等式化为恒成立.
当且时，要使对，不等式恒成立，则需即，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选D.
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
4. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. 4B. 8C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出函数解析式，再代入计算可得.
【详解】幂函数的图象经过点，，
则，即，所以，解得，
所以，则
故选：A
5. 已知函数（，且）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数是减函数求出的范围，再在同一直角坐标系中，画出函数和函数的图象，根据方程的交点个数数形结合，从而可得出答案.
【详解】解：函数上单调递减，
则，解得，
在同一直角坐标系中，画出函数和函数的图象，如图：
由图象可知，在上，有且仅有一个解，
故在上，有且仅有一个解，
当即时，
由，
即，则，
解得或1（舍去），
当时，方程可化为符合题意；
当，即时，由图象可知，符合条件，
综上：的取值范围为.
故选：C.
6. 已知是R上的奇函数，且当时，，则时=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据时函数的表达式，可得时，再利用奇函数的定义，即可算出当时函数的表达式．
【详解】解：设，则，
当时，，
当时，，
又是上的奇函数，
，
当时，，
故选：．
【点睛】本题考查了函数求解析式和函数的奇偶性，一般将变量设在所要求解的范围内，利用奇偶性转化为已知范围进行求解．属于基础题．
7. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】解：命题“，”为存在量词命题，
其否定为：，.
故选：D
8. “”是“直线与圆相切”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】若，则圆圆心，
则到直线的距离为，等于半径，此时圆与直线相切，充分性成立；
若直线与圆相切，
则圆心到直线距离为，解得或，所以必要性不成立，
综上可得，”是“直线与圆相切充分不必要条件.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查推理与论证能力.
二．多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9. 已知，，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为6
C. 的最大值为0D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据均值不等式和不等式的性质判断AB，消元思想和函数性质的应用判断CD即可.
【详解】对于A：，
当且仅当时取到等号，A正确；
对于B：，
当且仅当时取到等号，B错误；
对于C：，所以，所以，
因为，所以，
当且仅当取到等号，C正确；
对于D：，
由函数性质易知在单调递增，所以，
所以，故D错误，
故选：AC
10. 下列函数中，图象关于y轴对称的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据偶函数的定义进行逐一判断即可.
【详解】图象关于y轴对称的函数是偶函数.
A：该函数的定义域为全体实数，
因为，所以该函数是偶函数，符合题意；
B：该函数的定义域为全体非零实数，
因为，所以该函数是偶函数，符合题意；
C：该函数的定义域为全体实数，
因为，所以该函数是偶函数，符合题意；
D：，显然，所以该函数不是偶函数，不符合题意，
故选：ABC
11. 若，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值B. 有最大值2
C. 有最小值4D. 有最小值
【答案】AC
【解析】
【分析】利用基本不等式逐一判断即可.
【详解】对于A，，
当且仅当时取等号，
所以有最大值，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，
当且仅当时取等号，
所以有最大值，故B错误；
对于C，，
当且仅当，即时取等号，
所以有最小值4，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以有最小值，故D错误.
故选：AC.
12. 已知，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用诱导公式结合正弦函数的单调性可判断A选项；利用辅助角公式结合正弦函数的单调性可判断BD选项；利用零点存在定理结合诱导公式可判断C选项.
【详解】当时，，，
对于A选项，，且，
所以，，
因为函数在上为增函数，故，A对；
对于B选项，因为，则，
因为，即，
因为函数在上为增函数，则，B对；
对于C选项，因为函数在上单调递增，
且，，
所以，存在，使得，则，
此时，，C错；
对于D选项，因为，则，
因为，即，
因为函数在上为增函数，则，D对.
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知幂函数在上是减函数，则n的值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由于是幂函数，则，又在上是减函数，所以，分别计算即可.
【详解】由于是幂函数，所以，解得或.
又在上是减函数，所以，
分别代入、检验，只有符合题意.
故答案为：1.
14. 已知A＝{x|≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，，则实数a的取值范围是___．
【答案】a＜4
【解析】
【分析】由A与B，以及A与B的交集不为空集，确定出a的范围即可．
【详解】解：∵A＝{x|≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，且，
∴a＜4，
故答案为：a＜4．
15. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数表达式直接求定义域即可.
【详解】由题意得，，所以且，
即函数的定义域为.
故答案为：
16. 下面有四个说法
（1）且且；
（2）且；
（3）；
（4）
其中正确的是__________________.
【答案】（3）（4）
【解析】
【分析】取特殊值计算排除（1）（2）；分别简单证明得到（3）（4）正确；得到答案.
【详解】（1）取得到，错误；
（2）取得到，错误；
（3）则，故，正确；
（4），正确；
故答案为（3）（4）
【点睛】本题考查了命题真假判断，意在考查学生的推断能力，取特殊值排除可以简化运算，是解题的关键.
四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）
17. 设，计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）1 （2）5
【解析】
【分析】（1）所求表达式分子分母同时除以，代入求解即可；
（2）将分子看成，所求表达式分子分母同时除以，代入求解即可；
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式.
18. 已知角满足.
（1）若角是第一象限角，求的值；
（2）若角是第三象限角，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系先求得的值，进而求得的值；
（2）先利用三角函数诱导公式化简，进而求得的值.
【小问1详解】
由题意和同角三角函数基本关系式，有，
消去得，
解得或，
又角是第一象限角，则．
【小问2详解】
因为角是第三象限角，所以，
，
所以.
19. 已知，，用，表示．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得，再利用换底公式化简可得.
【详解】，，
.
20. 已知向量，，函数，.
(1)若的最小值为11，求实数m的值；
(2)是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) . (2)存在，
【解析】
【分析】(1)求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．
(2)由得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．
【详解】解：(1)∵
∴
∵
∴
.
令
∴
∵，对称轴为
①当即时，当时，
∴舍去.
②当即时，当时，
∴.
③即时，当时，
∴舍去.
综上，.
(2)令，即
∴或
∵有四个不同的零点.
∴和在上共有四个不同的实根，
∴
∴
∴.
【点睛】本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
21. 已知函数.
（1）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
（2）若的最小值为-2，求实数的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）将原题进行转化，找到等价的不等式，分离出参数k后转化为求函数的最值问题即可；
（2）利用换元法，得到等式y，分情况讨论求出f（x）的最小值，令其为﹣2即可求出k值．
【详解】（1）∵4x+2x+1＞0，∴f（x）＞0恒成立，等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，
即k＞﹣2x﹣2﹣x恒成立，
∵﹣2x﹣2﹣x＝﹣（2x+2﹣x）≤﹣2，当且仅当2x＝2﹣x即x＝0时取等号，
∴k＞﹣2；
（2），
令，则，
当时，无最小值，舍去；
当时，最小值不是﹣2，舍去；
当时，，最小值为，
综上所述，.
【点睛】本题考查复合函数的单调性、函数的恒成立问题及函数的最值问题，考查转化思想，综合性较强．
22. 已知函数，
（1）当时，判断并证明奇偶性；
（2）是否存在实数，使得是奇函数？若存在，求出；若不存在，说明理由．
【答案】（1）偶函数；（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）定义法判断函数奇偶性是常用的方法，定义域区间关于原点对称的函数，若，则为偶函数，若，则函数为奇函数；（2）f（x）是R奇函数，则对任意x∈R恒成立.
试题解析：（1），当时，， 3分
， ∴f（x）是偶函数． 6分
（2）假设存在实数a使得f（x）是奇函数，
∵，，
要使对任意x∈R恒成立，即恒成立， 9分
有，即恒成立， 12分
∴. 14分
考点：函数奇偶性判断和应用.