高中数学12.1 复数的概念一课一练

这是一份高中数学12.1 复数的概念一课一练，共34页。
考点一 复数的有关概念
1.复数
(1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.
(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.
2.复数集
(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.
(2)表示：通常用大写字母C表示.
考点二 复数的分类
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
考点三 复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0.
考点四 复数的几何意义
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
考点五 复数的模
1.定义：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.
2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
3.公式：|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
考点六 共轭复数
1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
2.表示：z的共轭复数用eq \x\t(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi.
【题型归纳】
题型一：复数的概念和分类
1．（2023·江苏·扬州大学附属中学东部分校高一期中）下列命题中是假命题的是（ ）
A．自然数集是非负整数集B．实数集与复数集的交集为实数集
C．实数集与虚数集的交集是{0}D．纯虚数集与实数集的交集为空集
2．（2020·全国·高一课时练习）在下列命题中，正确命题的个数是（ ）
①两个复数不能比较大小；
②若和都是虚数，且它们的虚部相等，则；
③若，是两个相等的实数，则必为纯虚数.
A．0B．1C．2D．3
3．（2023·全国·高一课时练习）复数的知识结构图如图所示，其中四个方格中的内容分别为（ ）
A．实数.纯虚数､无理数､有理数B．实数､虚数､负实数､正实数
C．实数､虚数､无理数､有理数D．实数､虚数､有理数､无理数
题型二：虚部单位i的性质
4．（2022·全国·高一专题练习）若复数z满足，则z的虚部是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高一专题练习）若复数，则z的虚部是（ ）
A．B．C．2D．
6．（2023·全国·高一单元测试）若且，则（ ）
A．且B．且
C．且D．且
题型三：复数实部和虚部
7．（2022·安徽·高一）若复数为纯虚数，则实数x的值为（ ）
A．B．10C．100D．或10
8．（2023·江苏宿迁·高一期中）已知复数（是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全国·高一课时练习）的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能（ ）
A．B．C．D．
题型四：复数的模和参数问题
10．（2022·全国·高一）已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．（2022·福建·三明一中高一）已知设，则，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
12．（2023·全国·高一课时练习）已知复数的模等于2，则实数的值为（ ）
A．1或3B．1C．3D．2
题型五：根据相等条件求参数
13．（2023·福建福建·高一期中）已知，且，则（ ）
A．1B．C．2D．4
14．（2020·山西·大同市煤矿第四中学校高三期中（理））已知，其中，是实数，为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·广东顺德德胜学校高二期中）若，其中､，是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
题型六：求复数模的最值问题
16．（2023·湖北黄冈·高二期中）若复数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
17．（2023·江苏·泰州中学高二期中）如果复数z满足，那么的最大值是（ ）
A．B．1C．2D．
18．（2023·全国·高二专题练习）如果复数z满足，那么的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【双基达标】
一、单选题
19．（2022·山东省滕州市第五中学高一阶段练习）已知复数z满足，则复数z的虚部是（ ）．
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
20．（2022·福建省长汀县第一中学高一阶段练习）已知为虚数单位，若复数，则（ ）
A．B．C．D．
21．（2022·全国·高一单元测试）复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
22．（2022·全国·高一）若（，是虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A．1B．C．D．2
23．（2022·安徽·芜湖一中高一）若（）为实数，（）是纯虚数，则复数为（ ）
A．B．C．D．
24．（2023·全国·高一）下列关于复数的说法一定正确的是（ ）
A．是虚数B．存在x使得是纯虚数
C．不是实数D．实部和虚部均为1
25．（2023·全国·高一）设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
26．（2023·全国·高一）设m为实数，若集合，，且，求m的值.
27．（2022·重庆市实验中学高一）已知复数（是虚数单位）.
(1)若复数是实数，求实数的值；
(2)若复数是纯虚数，求实数的值.
【高分突破】
一：单选题
28．（2023·全国·高一课前预习）对于复数，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则，
C．若，则为实数
D．若，则z不是复数
29．（2022·全国·高一单元测试）已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
30．（2022·全国·高一课时练习）设复数，满足，，则（ ）
A．1B．C．D．
31．（2023·全国·高一期中）定义复数的一种运算（等式右边为普通运算），若复数，且正实数，满足，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
32．（2022·全国·高一课时练习）复数是纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．5或3B．5C．3D．10
33．（2023·江苏南通·高一期中）瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
34．（2022·福建省连城县第一中学高一阶段练习）对于复数 (，∈R)，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为纯虚数B．若，则，
C．若，则为实数D．的平方等于1
35．（2022·全国·高一）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
36．（2023·河北·沧州市一中高一阶段练习）下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）
A．复数是实数的充要条件是
B．复数是纯虚数的充要条件是
C．若、互为共轭复数，则是实数
D．若、互为共轭复数，则
37．（2023·全国·高一期中）下列说法正确的有（ ）
A．任意两个复数都不能比大小
B．若，则当且仅当时，
C．若，且，则
D．若复数z满足，则的最大值为3
38．（2022·全国·高一课时练习）满足及的复数可以是（ ）
A．B．C．D．
39．（2023·安徽省蚌埠第三中学高一阶段练习）欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．B．为纯虚数
C．复数的模长等于1D．的共轭复数为
三、填空题
40．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一阶段练习）已知复数是纯虚数，则___________.
41．（2022·全国·高一课时练习）若，则取值范围是______
42．（2022·全国·高一课时练习）若复数，则的最大值为______．
43．（2023·全国·高一课时练习）若，且，则___________.
44．（2022·全国·高一单元测试）已知复数，其中为虚数单位，为实数，当取得最大值时，_______．
45．（2023·江苏·江阴市华士高级中学高一阶段练习）已知复数z＝x＋yi（x，y∈R），且|z－2|＝，则的最大值为________.
四、解答题
46．（2022·江苏省响水中学高一期中）在复平面内，复数（其中为虚数单位，）．
(1)若复数z为纯虚数，求a的值；
(2)若复数z>0，求a的值．
47．（2022·湖南·高一课时练习）已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cs θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）.
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围.
48．（2022·湖南·高一课时练习）求实数，满足何条件时，复数是：
(1)纯虚数；
(2)实数．
49．（2022·全国·高一单元测试）当实数m分别为何值时，
(1)复数是：实数？虚数？
(2)复数纯虚数？
50．（2022·全国·高一单元测试）设复数（x，，且），又，且，求的值及Rez的取值范围．
51．（2022·全国·高一课时练习）求满足下列条件的实数x，y的值：
(1)；
(2)；
(3).
【答案详解】
1．C
【解析】
【分析】
由复数的分类，根据实数、虚数、纯虚数的定义即可知选项的正误
【详解】
自然数是大于等于0的整数集；复数分为实数和虚数两大部分，而0属于实数集，不属于虚数集，且实数是指虚部为0的复数集合，而虚数是指虚部不为0的复数集合，因此，实数与虚数没有公共元素，C是假命题
故选：C
【点睛】
本题考查了复数中实数、虚数、纯虚数的概念，由此判断数集间的关系
2．A
【解析】
对于①, 当它们都是实数时,可以比大小；对于②，根据复数相等的概念，即得解；对于③，利用纯虚数的定义，即得解.
【详解】
对于①，两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误.对于②，设，，因为，所以.当时，.当时，，故②错误.对于③，当时，是纯虚数.当时，是实数，故③错误.故选A.
【点睛】
本题考查了复数的相等，纯虚数等概念，考查了学生概念理解的能力，属于基础题.
3．C
【解析】
【分析】
由复数与实数､有理数､无理数的包含关系即可求解.
【详解】
由复数与实数､有理数､无理数的包含关系知正确.
故选：.
4．D
【解析】
【分析】
由复数的运算求出，进而得出虚部.
【详解】
，则z的虚部6，
故选：D.
5．A
【解析】
【分析】
利用，化简复数z，再求复数z的虚部.
【详解】
因为，所以，，
所以复数z的虚部是.
故选：A.
6．B
【解析】
【分析】
先化简，结合可得选项.
【详解】
因为，所以，
由，所以，所以；
故选：B.
7．A
【解析】
【分析】
根据复数为纯虚数知虚部不为0，实部为0求解即可.
【详解】
为纯虚数，
同时
，
故选：A
8．A
【解析】
【分析】
由可解得结果.
【详解】
依题意可得，解得.
故选：A.
9．B
【解析】
【分析】
根据题意列出方程，利用倍角公式转化，求解即可.
【详解】
由题意得：,
，
解得：或,
,
或或.
故选：B.
10．C
【解析】
【分析】
先把已知化简，整理出复数的实部与虚部，接下来去求即可解决.
【详解】
，
则有，，解得，
则，，故．
故选：C
11．A
【解析】
【分析】
先求得复数实部与虚部的关系，再去求的最小值即可解决.
【详解】
由，可得，可令，
则
（为锐角，且）
由，可得
则的最小值为3.
故选：A
12．A
【解析】
【分析】
利用复数模的计算公式即可得出．
【详解】
解：复数的模等于2，
，
化为：，
解得或．
故选：．
13．C
【解析】
【分析】
利用复数相等列方程组，由此求得.
【详解】
由于，
所以.
故选：C
14．A
【解析】
根据题中条件，由复数的乘法运算，得到，求出，再由复数模的计算公式，即可得出结果.
【详解】
∵，所以，即，
所以，解得，
∴.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查求复数的模，考查复数的乘法运算，以及由复数相等求参数，属于基础题型.
15．C
【解析】
【分析】
根据复数相等，求的值，再计算模.
【详解】
原式，，解得：，
.
故选：C
16．A
【解析】
【分析】
由题意分别求出复数，对应点的轨迹，再由点到直线的距离公式列式求解．
【详解】
复数对应的点为，所以点是直线上一点，
复数对应的点为.
因为表示点到定点的距离为，
所以点在以为圆心，半径为的圆上，
表示圆上一点到直线上一点的距离，其最小值为.
故选：A.
17．D
【解析】
【分析】
根据复数模的几何意义，结合复数模的运算定义进行求解即可.
【详解】
设复数、在复平面内对应的点分别为，
复数在复平面对应的点为：
由可知：复数z在复平面内对应的点到两点的距离之和为2，
而，所以点在线段上，故，
由，
当时，的最大值为：，
故选：D
18．A
【解析】
【分析】
复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．表示圆上的点与点的距离，求出即可得出．
【详解】
复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．
表示圆上的点与点的距离．
．
的最大值是．
故选：A．
【点睛】
本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程表示的圆的半径为2，而不是．
19．B
【解析】
【分析】
根据复数的概念，即可求得复数的虚部，得到答案.
【详解】
由题意，复数z满足，根据复数的概念，可得复数z的虚部为.
故选：B.
20．B
【解析】
【分析】
利用模长公式求出复数的模长.
【详解】
.
故选：B
21．D
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义求解即可.
【详解】
复数满足，其对应的点是以原点为圆心，为半径的圆上的点，
复数几何意义是复数对应的点到点的距离，
所以的最大值为，
故选：D.
22．B
【解析】
【分析】
由题意知是纯虚数，解关于的方程组得到.再代入进行化简为，进而可以求出模长.
【详解】
因为是纯虚数，所以且，解得，所以.
因为，所以.
故选：B.
23．C
【解析】
【分析】
根据复数的分类求出实数后可得结论．
【详解】
由题意，，，，
所以．
故选：C．
24．B
【解析】
【详解】
由复数，
当时，为实数，故A、C不正确；
当时，，故B正确；
由于的取值未知，故D错误；
故选：B
25．C
【解析】
【分析】
求出为纯虚数时的值，与比较，判断出结果
【详解】
，复数为纯虚数，则，解得：，所以则“”是“复数为纯虚数”的充要条件
故选：C
26．
【解析】
【分析】
利用得到，再利用复数相等进行求解.
【详解】
由题意，得，
所以，
则，即，
解得.
27．(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据复数是实数得到虚部为零即可求解；
（2）根据复数为纯虚数得到实部为零且虚部不为零即可求解.
(1)
由是实数，得
，即，解得或，
所以实数的值为或.
(2)
由是纯虚数，得
，解得，即，
所以实数的值为.
28．C
【解析】
【分析】
结合复数概念逐一判断即可.
【详解】
对A，当时，为实数，故A错；对B，根据对应关系，，，故B错；
对C，若，则为实数，C正确；对D，若，，也是复数，故D错.
故选：C
29．A
【解析】
【分析】
由题意，可判断为实数，列出等量关系和不等关系求解即可
【详解】
由题意，
故为实数
或
故选：A
30．D
【解析】
【分析】
利用性质，结合已知求出，再由即可求.
【详解】
由题设，，又，
∴，而，
∴，故.
故选：D
31．B
【解析】
【分析】
先由新定义用和表示出，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】
由题意可得,
又∵,
∴,
∴.
故选B.
32．B
【解析】
【分析】
根据复数的类型得到，解之即可.
【详解】
因为复数是纯虚数，所以，解得，
故选：B.
33．C
【解析】
【分析】
根据欧拉公式可得，根据复数的模的公式结合余弦的二倍角公式可得答案.
【详解】
根据欧拉公式可得
所以
故选：C
34．BC
【解析】
【分析】
根据复数的相关概念判断即可；
【详解】
解：对于A，当时，为实数，故A错误；
对于B，若，则解得，故B正确；
对于C，若，则为实数，故C正确；
对于D，的平方为，故D错误.
故选：BC
35．AD
【解析】
【分析】
根据复数相等的定义得解.
【详解】
，，
，，，
故选：AD.
36．ACD
【解析】
【分析】
根据复数的类型确定充要条件，可判断A、B的正误；由共轭复数的概念及性质可判断C、D的正误.
【详解】
是实数的充要条件，纯虚数的充要条件是，故A正确，B错误；
、互为共轭复数，则为实数，C、D正确；
故选：ACD
37．BD
【解析】
【分析】
通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可.
【详解】
解：对于A选项，当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；
对于B选项，复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；
对于C选项，当，满足，但，所以C不正确；
对于D选项，复数z满足，则复数z在复平面内的轨迹为单位圆，则的几何意义，是单位圆上的点到的距离，它的最大值为3，所以D正确；
故选：BD.
38．AB
【解析】
【分析】
根据复数的模的运算公式，结合已知等式通过解方程组进行求解即可.
【详解】
设，因为，所以，
，
解得：，代入中，得，所以，
故选：AB
39．BCD
【解析】
【分析】
由，将所求复数化为的形式，进而逐项判断可得其正误．
【详解】
对A，因为（其中为虚数单位，），所以，故A错；
对B，为纯虚数，故B正确；
对C，复数的模长等于，故C正确；
对D，其共轭复数为，故D正确．
故选：BCD．
40．
【解析】
【分析】
由题知，进而解方程即可.
【详解】
解：由题知，解得.
故答案为：
41．[3，7]
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义对应的点在以为圆心，2为半径的圆上，求出对应的点到的距离的最值即可.
【详解】
根据复数的几何意义可得表示对应的点在以为圆心，2为半径的圆上，
则表示对应的点到的距离，设为，
则到距离为，
所以，，
所以取值范围是.
故答案为：.
42．2
【解析】
【分析】
根据复数模的运算公式，结合余弦函数的性质进行求解即可.
【详解】
，当时，，
故答案为：
43．400
【解析】
【分析】
根据转化，可求得，同理转化即可求值.
【详解】
，又，
∴，而，
∴，则.
故答案为：
44．
【解析】
【分析】
根据复数的模的公式表示复数的模，根据二次函数的性质，求得复数z的模的最大值，由此可得答案.
【详解】
因为，所以，
当时，取得最大值，最大值为，，
故答案为：.
45．
【解析】
【分析】
根据复数z的几何意义以及的几何意义，结合图象得出最大值.
【详解】
复数且，复数z的几何意义是复平面内以点为圆心，
为半径的圆，
的几何意义是坐标原点到圆上的点的距离，
坐标原点到圆心的距离为2，所以.
故答案为：.
46．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据纯虚数的知识列式，从而求得的值.
（2）根据复数能比较大小列式，从而求得的值.
(1)
由于为纯虚数，
所以，可得．
(2)
由于与可以比较大小，所以为实数，且，
所以，可得．
47．(1)-2；
(2)[2，6]
【解析】
【分析】
（1）z1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；
（2）由z1＝z2，实部、虚部分别相等，求得关于的函数表达式，根据的范围求得参数取值范围.
(1)
由z1为纯虚数，
则解得m＝－2.
(2)
由z1＝z2，得
∴λ＝4－cs2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3.
∵－1≤sin θ≤1，
∴当sin θ＝1时，λmin＝2，
当sin θ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2，6].
48．(1)且且；
(2)或，且.
【解析】
【分析】
（1）利用复数为纯虚数，列不等式组，即可解得；
（2）利用复数为实数，列不等式组，即可解得.
(1)
要使复数为纯虚数，
只需
解得：且且.
(2)
要使复数为实数，
只需
解得：或，且.
49．(1)当或时复数为实数，当且时复数为虚数
(2)当时复数为纯虚数
【解析】
【分析】
(1)根据实数的特点列方程求m使得复数为实数，再根据虚数的特点列方程求m使得复数为虚数，(2)根据纯虚数的特点列方程求m使得复数为纯虚数.
(1)
若复数为实数，则
∴ 或，
若复数为虚数，则
∴ 且，
(2)
若复数纯虚数，则
且，
由可得或，
又时不存在，时，
所以.
50．1，
【解析】
【分析】
把复数化为代数形式，得出实部和虚部，再根据得其为实数，由虚部等于0求得可得，再根据的范围得的范围．
【详解】
因为，所以，即．又，则，即．于是，所以
51．(1)
(2)或
(3)或或或
【解析】
【分析】
（1）（2）根据实部与虚部对应关系解方程即可；（3）令实部为0且虚部为0解方程即可.
(1)
由可得，解得；
(2)
由可得，解得或
(3)
由可得，解得或，或，故答案为：或或或.