高中数学苏教版 (2019)必修第二册12.4 复数的三角形式当堂检测题

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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修第二册12.4 复数的三角形式当堂检测题，共29页。

考点一、复数的三角形式的概念
1.复数的辐角
(1)定义：以x轴的非负半轴为始边、向量??所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi的辐角。
(2)辐角主值
[0，2π)内的辐角θ的值叫作复数z=a+bi的辐角主值，记作arg z，即0≤arg z<2π。非零复数与它的模和辐角主值一一对应。
(3)常用的有关辐角主值的结论
当a∈R+ 时arg a=0 ，arg(-a)=π,arg(ai)=?2，arg(-ai)=3?2，arg0可以是[0，2π)中的任一角。
2.复数相等两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。
3.复数的三角形式
复数z=a+bi可以用复数的模r和辐角θ来表示：z=r(csθ+isinθ)，其中，，。r(csθ+isinθ)叫作复数z的三角形式，而a+bi叫作复数z的代数形式。
考点二、复数的三角形式的乘除法
1.复数的乘法与乘方把复数?1，?1分别写成三角形式 ?1=?1cs?1+?sin?1,?2=?2.(csθ2+isinθ2)。则 ?1·?2=?1cs?1+?sin?1⋅?2cs?2+?sin?2=?1?2cs?1+?2+?sin?1+?2。这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.上面的结果可以推广到n个复数相乘：
z1∙z2∙⋯∙??=[?1cs?4+sin?1]⋅[?2cs?2+sin?2]⋯∙[??cs?n+sin?n]=?1∙?2∙?ncs?1+?2+∙∙∙+θn+?sin?1+?2+∙∙∙+θn。
因此，如果 ?1=?2=⋯=??=?,?1=?2=⋯=??=?,
就有 [?cs?+?sin?]n=?ncsn?+?sin???∈?∗。
这就是说，复数的 ??∈?∗次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍。
2.复数的除法
设 ?1=?1cs?1+?sin?1,?2=?2cs?2+?sin?2,则z₁除以z₂的商：?1cs?1+?sin?1?2(????2+?????2)=r1?2[cs?1−?2+?sin(?1−?2)]。
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。
【题型归纳】
题型一：复数的三角表示
1．若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（）
A．B．
C．D．
2．复数的三角形式为（）
A．B．
C．D．
3．复数的三角形式为（）
A．B．
C．D．
题型二：复数的辅角
4．任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（）
A．B．C．D．
5．已知复数的辐角为，的辐角为，则复数等于（）
A．B．C．D．
6．复数都可以表示，其中为的模，称为的辐角．已知复数满足，则的辐角为（）
A．B．C．D．
题型三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义
7．已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（）
A．B．
C．－iD．＋i
8．化简：
(1)；(2)．
9．计算：
(1)(2)
(3)(4)
【双基达标】
一、单选题
10．棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣茣弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
11．下列各式中已表示成三角形式的复数是（）.
A．B．
C．D．
12．已知的三角形式为，则的三角形式是（）.
A．B．
C．D．
13．设，，则（）
A．B．C．D．
14．复数的三角形式是（）
A．B．
C．D．
15．已知，则（）
A．B．C．D．
16．1748年，瑞士某著名数学家欧拉发现了复指函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，设复数，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（）
A．B．C．D．
17．将下列复数化为三角形式：
(1)；(2)．
18．将下列复数化为三角形式：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
【高分突破】
一：单选题
19．棣莫弗定理：若两个复数，，则，已知，，则的值为（）
A．B．C．D．
20．复数的三角形式是（）
A．B．
C．D．
21．把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（）
A．，B．C．D．
22．复数化成三角形式，正确的是（）
A． B．
C．D．
23．设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（）
A．B．C．D．
24．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的编号是（）
A．①②③B．②④C．①②D．①③
25．已知复数，则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为
A．B．C．D．
二、多选题
26．下列关于复数，，，结论正确的是（）
A．B．若，则
C．若，则是虚数D．若满足，则的最小值为1
27．欧拉公式（其中是虚数单位，）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）
A．复数对应的点位于第一象限B．复数的模长等于
C．为纯虚数D．
28．著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是（）
A．
B．若复数满足，则
C．若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则
D．复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直
29．任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）
A．
B．当，时，
C．当，时，
D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数
三、填空题
30．已知复数､满足，若和的幅角之差为，则___________.
31．设复数，那么的共轭复数的代数形式是______．
32．设，，则的三角形式为___________.
33．欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，若复数，则z的实部为_____.
34．若复数，，则的辐角的主值为______．
35．欧拉公式（其中为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当时，，根据欧拉公式，若将所表示的复数记为，则将复数表示成三角形式为________．
四、解答题
36．计算：
(1)；
(2)．
37．已知，，其中，且，，求的值．
38．一般地，任何一个复数（，）都可以表示成形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来，（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”.
(1)画出复数对应的向量，并把表示成三角形式；
(2)已知，，，其中，.试求（结果表示代数形式）.
【答案详解】
1．A
【解析】
【分析】
根据复数的三角形式的定义直接判断.
【详解】
复数的模为1，辐角为，
所以复数的三角形式为.
故选：A
2．B
【解析】
【分析】
利用诱导公式可得结果.
【详解】
由诱导公式可知，
，
因此，.
故选：B.
3．C
【解析】
【分析】
结合复数的三角形式的概念可以直接求解.
【详解】
因为，辐角主值为，所以
故选：C.
4．A
【解析】
【分析】
将复数写成三角形式，可得结果.
【详解】
复数，因此，复数的辐角主值为.
故选：A.
5．B
【解析】
【分析】
设，根据辐角的定义得到方程组，解得即可；
【详解】
解：设，
因为的辐角为，所以
因为的辐角为，所以
解得，所以
故选：B
6．C
【解析】
【分析】
根据题意，先求出复数，再结合，即可求出.
【详解】
由得，
故，
所以.
故选C．
7．D
【解析】
【分析】
利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.
【详解】
故选:D.
【点睛】
本题考查了复数三角形式的乘法法则，意在考查学生的计算能力，是基础题.
8．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)利用复数三角形式的乘法法则直接进行计算作答.
(2)利用复数三角形式的除法法则直接进行计算作答.
(1)
.
(2)
.
9．(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
利用复数三角形式的乘除法法则运算即可.
(1)
原式
(2)
原式
(3)
原式
(4)
原式
10．C
【解析】
【分析】
根据棣莫弗公式及诱导公式代入计算即可．
【详解】
解：由己知得，
复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：C．
11．B
【解析】
【分析】
复数的三角表示为，对比选项得到答案.
【详解】
复数的三角表示为：，其中，B选项满足.
故选：B.
12．B
【解析】
【分析】
根据三角形式的表达式知，的三角形式是，根据诱导公式判断选项符合的即可.
【详解】
由题知，的三角形式是，
结合诱导公式知，，
故选：B
13．B
【解析】
【分析】
首先求，再求，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值.
【详解】
，复数对应的点是，位于第三象限，且，所以.
故选：B
14．C
【解析】
【分析】
根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.
【详解】
，
故选：C.
15．B
【解析】
【分析】
先对，然后再化为复数的三角形式可得答案
【详解】
所以，
故选：B
16．C
【解析】
【分析】
根据题设定义的欧拉公式写出的三角形式，由复数的几何性质写出的三角形式，进而求，即可知其虚部.
【详解】
由题意知：，而，
∴，即虚部为.
故选：C.
17．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式直接可得；
（2）根据诱导公式直接转化即可.
(1)
(2)
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
求出各复数的模和辐角，化简成的形式即可得解.
(1)
(2)
(3)
(4)
.
19．B
【解析】
【分析】
推导出，求出的值，即可得出的值.
【详解】
由已知条件可得，
，，
以此类推可知，对任意的，，
，
所以，
，
因此，.
故选：B.
20．C
【解析】
【分析】
直接根据复数三角形式的除法法则求解即可．
【详解】
解：∵
，
故选：C．
21．B
【解析】
【分析】
由题可知，即可求出，再根据对应的坐标即可得出它的辐角主值.
【详解】
由题可知，
则，
，
可知对应的坐标为，则它的辐角主值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的三角形式，属于基础题.
22．B
【解析】
【分析】
直接根据特殊角的三角函数值计算可得;
【详解】
解: 因为，
所以
故选：B
【点睛】
本题考查复数的基本概念，考查了复数的三角形式，属于基础题．
23．A
【解析】
【分析】
先把复数化为三角形式，再根据题中的条件求出复数，利用复数相等的条件得到和的值，求出.
【详解】
因为，
所以，
设，，，
则，
，
即，，，
故
.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的几何意义及复数的综合运算，较难. 解答时要注意将、化为三角形式然后再计算.
24．A
【解析】
【分析】
根据题设中的公式和复数运算法则逐项计算后可得正确的选项.
【详解】
因为，故，故①正确.
，
所以，，故③正确，④错误.
而.
故②正确，
故选：A．
【点睛】
本题考查新定义下复数的计算，考查了复数的三角形式及其运算，本题的关键是理解定义中给出的计算方法．
25．A
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算得，进而可得共轭复数，从而得解.
【详解】
因为，所以，对应点的坐标为.
故选A
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.
26．ACD
【解析】
【分析】
根据复数的三角形式乘法运算可判断A的正误，令，即可知B的正误，由虚数的性质即知C的正误，根据的几何意义为到圆上的点的距离，可求的最小值.
【详解】
A：根据复数的三角形式乘法运算，可知等价于，的模相乘，辐角相加，即，正确；
B：，若，，此时，错误；
C：若，则一定不是实数，即是虚数，正确；
D：由题意知：等价于到圆上的点的距离，故的最小值为，正确.
故选：ACD
27．BD
【解析】
【分析】
根据欧拉公式的定义，有、、、，结合对应三角函数值及复数三角形式的除法运算即可知各选项的正误.
【详解】
A：，而，则、，故位于第二象限，错误；
B：，则其模长为，正确；
C：，则为实数，错误；
D：，正确；
故选：BD
28．ABD
【解析】
【分析】
对于A：根据已知得，再由对数运算可判断；
对于B：由已知计算得，由此可判断；
对于C：由已知得对应的向量坐标为，对应的向量坐标为，根据垂直的坐标表示可判断；
对于D:根据向量垂直的坐标表示可判断．
【详解】
∵，∴，故A正确；
∵，∴．故B正确；
∵对应的向量坐标为，对应的向量坐标为，
∴，即，又，，∴，或．故C不正确；
∵，复数，两者对应向量坐标为、，∴两向量垂直．故D正确，
故选：ABD.
29．AC
【解析】
【分析】
利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，，则，可得，，A选项正确；
对于B选项，当，时，，B选项错误；
对于C选项，当，时，，则，C选项正确；
对于D选项，，
取，则为偶数，则不是纯虚数，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.
30．
【解析】
【分析】
分别设，，可得，由题意可得或，即可得，再代入计算即可求解.
【详解】
因为，设，，
所以
由题意可知或，
当时，，
，
当时，，
，
综上所述：，
故答案为：.
31．##-i+
【解析】
【分析】
计算，再计算共轭复数得到答案.
【详解】
，故.
故答案为：.
32．
【解析】
【分析】
先将化简，然后计算，再转化为三角形式即可
【详解】
因为，
，
所以
，
故答案为：
33．
【解析】
【分析】
由题意，根据实部的概念，利用三角函数的诱导公式计算.
【详解】
z的实部等于,
故答案为：.
34．.
【解析】
【分析】
首先求出，然后根据复数三角形式下的几何意义即可求出辐角主值.
【详解】
，
所以的辐角的主值为.
故答案为：.
35．
【解析】
【分析】
根据欧拉公式，先求出，再进行复数的除法运算，最后再表示为三角形式.
【详解】
因为，
所以.
故答案为：
36．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)利用复数三角形式的乘法法则直接进行计算作答.
(2)利用复数三角形式的除法法则直接进行计算作答.
(1)
.
(2)
.
37．
【解析】
【分析】
结合复数的三角形式以及辐角与模的概念，结合三角恒等变换即可求出结果.
【详解】
因为，，又，则，，得，所以，．由，，得，．又，所以．又由，得，所以．所以
38．(1)图象见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据对应的点在第四象限画出图象，求得复数的模和辅角即可；
（2）根据，进而求得，，再利用复数的乘法求解.
(1)
因为对应的点在第四象限，
所以对应的向量如图所示.
易得，，，
所以.
所以.
(2)
因为，
所以.
又，，
所以.
所以.
所以，
，
.