专题07 比例应用的常见4种压轴题型全攻略-六年级数学上册压轴题攻略(沪教版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5998" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5998 \h 1
\l "_Tc11367" 【考点一 有关比例尺在计算中的应用 】 PAGEREF _Tc11367 \h 1
\l "_Tc15074" 【考点二 4个数成比例易错题的辨析】2
\l "_Tc11504" 【考点三 比例在求图形面积中的巧用】2
\l "_Tc11577" 【考点四 比例在解决实际问题应用的拓展提高】3
\l "_Tc21571" 【过关检测】4
【典型例题】
【考点一 有关比例尺在计算中的应用】
【例题1】在一幅地图上，用厘米的线段表示千米的实际距离，那么这幅地图的比例尺是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据比例尺的意义求解即可．
【详解】解：千米厘米，
．
所以这幅地图的比例尺是．
故选：C．
【点睛】本题考查了比例尺，掌握比例尺=图上距离：实际距离是解题的关键．注意单位要统一．
【变式1】东海大桥全长千米，如果东海大桥在某张地图上的长为厘米，则这张地图的比例尺是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】该地图上距离与实际距离的比，就是东海大桥地图上的长度与实际长度的比值．
【详解】比例尺图上距离÷实际距离，比例尺．
故选：B．
【点睛】本题是对比例尺定义的考查，在求比值时注意对单位进行统一，是解决本题的关键．
【变式2】在比例尺是的地图上，量得甲城到乙城的距离是2厘米，则甲城到乙城的实际距离是（ ）
A．0.4千米B．4千米C．40千米D．400千米
【答案】C
【分析】根据“图上距离÷比例尺=实际距离”列式计算即可．
【详解】解：（厘米），
4000000厘米=40千米．
故选C．
【点睛】本题主要考查了比例尺，掌握图上距离、比例尺和实际距离三者的关系是解答本题的关键．
【变式3】在一幅比例尺是的地图上，量得A、B两地距离为9cm．一艘货轮于上午6时以每小时24千米的速度从A地开向B地．货轮到达B地的时间是（ ）．
A．15时B．19时C．21时
【答案】C
【分析】根据比例尺，得到实际距离，根据时间，路程，速度之间的关系，求得所用时间，根据出发时间即可得解．
【详解】解：A、B两地的实际距离为，
用时（小时）
∴到达时间为。
故选：C．
【点睛】本题考查比例尺，行程问题，理解比例尺的定义是解题的关键．
【考点二 4个数成比例易错题的辨析】
【例题2】下面的算式中，能组成比例的是（ ）
A．∶和2.5∶1.5B．3∶5和2.4∶40C．和3∶5D．1∶5和5∶25
【答案】D
【分析】可根据比例的性质：两外项的积等于两内项的积；也可以用求比值的方法：两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例；据此逐项分析后再选择．
【详解】解：A、因为，所以和2.5∶1.5不能组成比例；
B、因为，所以3∶5和2.4∶40不能组成比例；
C、因为，所以和3∶5不能组成比例；
D、因为，所以1∶5和5∶25能组成比例；
故选：D．
【点睛】此题考查比例的意义和性质的运用：验证两个比能否组成比例，就看两个比的比值是否相等或两内项的积是否等于两外项的积，再做出判断
【变式1】用、2、6和12这四个数组成比例，不可能是（ ）
A．1B．3C．4
【答案】B
【分析】分别取的值为1、3、4，根据比例的性质代入进行计算即可．
【详解】解：当时，有，故A选项正确，不符合题意；
当时，，故B选项错误，符合题意；
当时，，故C选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，熟练掌握此知识点是解题的关键．
【变式2】（ ）不能与1、2、3组成比例．
A．1.5B．6C．D．
【答案】D
【分析】根据成比例的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A．∵，
∴能与1、2、3组成比例，故A不符合题意；
B．∵，
∴能与1、2、3组成比例，故B不符合题意；
C．∵，
∴能与1、2、3组成比例，故C不符合题意；
D．不能与1、2、3组成比例，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了比例的定义，解题的关键是熟练掌握比例定义．
【变式3】下面的数中，能与6,8,10组成比例的是( )．
A．4.8B．1.5C．0.15D．5.4
【答案】A
【分析】根据比例的性质进行解答即可．
【详解】解：A、∵，∴能组成比例，符合题意．
B、1.5,6,8,10四个数中，任何两个数的积不等于其他两个数的积，不能组成比例，不符合题意．
C、0.15,6,8,10四个数中，任何两个数的积不等于其他两个数的积，不能组成比例，不符合题意．
D、5.4,6,8,10四个数中，任何两个数的积不等于其他两个数的积，不能组成比例，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟知两个外项的积等于两个内项的积是解题的关键．
【考点三 比例在求图形面积中的巧用】
【例题3】如图中两个正方形中阴影部分的面积比是，空白部分甲和乙的面积比是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由两个正方形中阴影部分的面积比是，且这两个三角形等底，可得这两个三角形高的比是，即，从而可算出这两个正方形的面积，则空白部分的面积等于每个正方形的面积去掉每个阴影部分的面积，从而可算出它们的面积比．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
∴，，
又∵，，
即，
∴大正方形中空白图的面积为，
小正方形空白图的面积为，
∴两空白部分的面积是，
故选：B．

【点睛】本题考查正方形面积公式的灵活运用，以及比的意义的应用，关键是根据等高的三角形面积的比等于底边的比，求出大小正方形边长的比．
【变式1】如图，阴影部分的面积是甲圆面积的，是乙圆面积的，甲、乙两个圆面积的比是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据阴影部分的面积是甲圆面积的，是乙圆面积的，可得：甲圆面积乙圆面积，再根据比例基本性即可求解．
【详解】解：由题意得：甲圆面积乙圆面积，
即：甲圆面积：乙圆面积，
故选：B
【点睛】本题考查了比例基本性质的计算，解答此题根据等量关系进行转化为比例再解答即可．
【变式2】如图，两个正方形中阴影部分的面积比是，则空白部分的面积比是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由两个正方形中阴影部分的面积比是，且这两个三角形等底，可得这两个三角形高的比是，即，从而可算出这两个正方形的面积，则空白部分的面积等于每个正方形的面积去掉每个阴影部分的面积，从而可算出它们的面积比．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
∴，，
又∵，，
即，
∴大正方形中空白图的面积为，
小正方形空白图的面积为，
∴两空白部分的面积是，
故选：D．

【点睛】本题考查正方形面积公式的灵活运用，以及比的意义的应用，关键是根据等高的三角形面积的比等于底边的比，求出大小正方形边长的比．
【变式3】如图，阴影部分与空白部分面积的比是（）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】阴影面积等于大长方形面积减去空白部分面积，由此可解．
【详解】解：空白部分面积，
阴影面积，
因此阴影部分与空白部分面积的比，
故选D．
【点睛】本题考查有理数混合运算的实际应用，解题的关键是掌握根据方格计算面积．
【考点四 比例在解决实际问题的拓展提高】
【例题4】商高是最早发现“勾股定理”的人．他提出了“勾三股四弦五”的说法，即一个直角三角形的短直角边（勾）长是3，长直角边（股）长是4，那么斜边（弦）长一定是5，也就是“勾：股：弦”．用一根长72厘米的铁丝可围成这样一个直角三角形，它的斜边（弦）长是______厘米，面积是______平方厘米．
【答案】 30 216
【分析】根据三边的比可以求出每条边的长度，又因为是直角三角形，也可以求出面积．
【详解】解：勾：（厘米）
股：（厘米）
弦：（厘米）
面积：（平方厘米）
故答案为：30，216．
【点睛】本题考查比的应用，正确计算三边长是解题的关键．
【变式1】．在一张的地图上，测得甲、乙两个城市之间的距离是12厘米，一辆货车和一辆客车同时从甲、乙两城相对出发，8小时相遇．相遇时货车与客车所行路程比是，货车和客车每小时分别行多少千米？
【答案】客车每小时行驶90千米，货车每小时行驶60千米
【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，即可求得甲、乙两地的实际距离，再除以相遇时间求得两辆车的速度和，进而利用按比例分配的方法求出客车和货车每小时行的千米数．
【详解】解：厘米，
厘米千米，
千米，
千米，
答：客车每小时行驶90千米，货车每小时行驶60千米．
【点睛】此题主要考查比例尺、图上距离和实际距离之间的关系，也考查了简单的行程问题和按比例分配的问题．
【变式2】人在正常情况下每分钟眨眼约24次，与玩电脑游戏时每分钟眨眼次数的比是．玩电脑游戏时每分钟眨眼约多少次？
【答案】玩电脑游戏时每分钟眨眼约10次
【分析】根据人在平常状态下每分钟眨眼的次数与玩电脑游戏时每分钟眨眼次数的比是12：5，把电脑游戏每分钟眨眼的次数看作单位“1”，则人在平常状态下每分钟眨眼的次数是玩电脑游戏的，根据已知一个数的几分之几是多少求这个数是多少用除法计算，据此解答即可．
【详解】（下）
答：玩电脑游戏时每分钟眨眼约10次．
【点睛】本题主要考查了对已知一个数的几分之几是多少求这个数是多少用除法计算的理解和灵活运用情况．
【变式3】配制一种混凝土所用材料的配比情况如图所示．

(1)配制120吨这样的混凝土，需要黄沙多少吨？
(2)如果现有这三种材料各20吨，水泥要全部用完，石子还需增加多少吨？
【答案】(1)需要黄沙36吨；
(2)石子需要增加30吨．
【分析】（1）由图可知，水泥、黄沙和石子的比是2：3：5，可先求出三种物品共有多少份，再除120，求出每份的重量，然后乘黄沙占的份数即可；
（2）用20除以2求出每份是多少，再求出需要石子的吨数，进而可求出需要增加的吨数．
【详解】（1）解：
（吨）
答：需要黄沙36吨；
（2）解：（吨）
（吨）
答：石子需要增加30吨．
【点睛】本题考查了比的应用，解题的关键是根据除法的意义求出每份是多少，进而分析数量关系进行解答．
【过关检测】
1．如果，那么（ ）．
A．B．C．
【答案】B
【分析】利用两内项之积等于两外项之积解答即可．
【详解】解：因为，
所以，
故选B．
【点睛】本题考查比例的性质，解题的关键在于熟知两内项积等于两外项积．
2．两个数的比值是1.2，如果比的前项扩大2倍，后项变为原来的一半，比值是（ ）
A．1.2B．2.4C．4.8D．9.6
【答案】C
【分析】根据比的性质：比的前项扩大2倍，后项变为原来的一半，比值将扩大倍，由此倍数再乘1.2即可求出比值．
【详解】解：
答：比值是4.8．
故选C
【点睛】此题考查比的性质的运用：比的前项扩大（或缩小）2倍，后项缩小（或扩大）2倍，比值将扩大（或缩小）4倍．
3．在下面各比中，能与组成比例式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据比例的性质，组成比例的计算方法即可求解．
【详解】解：、，故原选项错误，不符合题意；
、，故原选项错误，不符合题意；
、，故原选项正确，符合题意；
、，故原选项错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查比例的概念，有理数除法的运算，掌握以上知识是解题的关键．
4．下面哪组中的两个比不可以组成比例（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】C
【分析】根据比例的性质即可求解．
【详解】解：，所以和可以组成比例，A选项不符合题意；
，所以和可以组成比例，B选项不符合题意；
，所以和不可以组成比例，C选项符合题意；
，所以和可以组成比例，D选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查比例的性质，内项之积等于外项之积．
5．如果的前项增加16，要使比值不变，后项应增加（ ）．
A．20B．16C．25
【答案】A
【分析】如果比的前项增加16，16是4的4倍，即增加4倍，要使比值不变，后项也要增加4倍，得到答案．
【详解】如果比的前项增加16，16是4的4倍，即增加4倍，要使比值不变，后项也要增加4倍，即，
故选A．
【点睛】本题考查比的基本性质，掌握比的基本性质是解题的关键．
6．在一幅比例尺是的学校平面图上，量得校门口到行政楼的距离是4.5厘米，校门口到高年级教学楼的实际距离是（）米．
A．225B．450C．2250D．4500
【答案】A
【分析】根据比例尺的意义，知道在图上是1厘米的距离，实际距离是5000厘米，现在知道图上距离是4.5厘米，根据整数乘法的意义，即可求出实际距离是多少．
【详解】解：（厘米）；
22500厘米米；
即：校门口到高年级教学楼的实际距离是225米．
故选：A．
【点睛】解答此题的关键是，弄懂比例尺的意义，找准对应量，特别注意对应量的单位名称，找出数量关系，列式解答即可．
二、填空题
7．写出1个用18的因数组成的比例：( )．
【答案】（答案不唯一）
【分析】18的因数有，再根据组成的比例一定要满足两内项之积等于两外项之积进行求解即可
【详解】解：18的因数有，则满足题意的比例可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查比例的定义，解题的关键在于熟知两内项积等于两外项积．
8．如果（、），那么：．
【答案】 3 5
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：因为，
所以．
故答案为：3，5．
【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的两内项之积与两外项之积相等是解答本题的关键．
9．已知，且，则．
【答案】1
【分析】利用设法进行计算，即可解答．
【详解】解：，
设，，，
，
，
解得：，
，，，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．
10．在比例尺为的地图上，量得A与两地的距离是厘米，则A与两地的实际距离是．
【答案】
【分析】根据实际距离图上距离比例尺计算即可．
【详解】解：实际距离图上距离比例尺，可知两地实际距离为
，
【点睛】考查应用比例尺的定义，比例尺图上距离实际距离，注意单位的转化．
11．一杯盐水重120g，盐与水质量比是再加上g的盐，才能使盐与水的比是．
【答案】15
【分析】根据原来水占盐水的，求出原来水的质量，现在水占盐水的，因为水没变，所以现在盐水质量就是水的质量除以现在水占盐水的分率，再用现在的盐水质量减去原来盐水的质量就可以求出答案．
【详解】解：
（克），
（克），
所以加上15g的盐，才能使盐与水的比是．
故答案为：15．
【点睛】解题关键是抓住水的质量不变这一重要条件，求出后来盐水的质量．
12．在一幅线段比例尺为 千米的地图上，1厘米表示实际距离( )千米．把这个线段比例尺用数值比例尺表示为( )．如果甲、乙两城之间的实际距离是400千米，在该地图上应画( )厘米．
【答案】 50 8
【分析】根据比例尺等于图上距离除以实际距离进行求解即可．
【详解】解：由题意得，1厘米表示实际距离50千米，即该地图的比例尺为，则当甲、乙两城之间的实际距离是400千米，在该地图上应画厘米，
故答案为：50；；8．
【点睛】本题主要考查了比例尺的应用，熟知比例尺的定义是解题的关键．
13．如图，长方形被分成两个长方形，，为上一点，三角形的面积是平方厘米，那么长方形的面积是平方厘米．

【答案】
【分析】图中三角形的面积是平方厘米，由此我们可以求出长方形的面积，再根据有关比的解答方法进一步求出原长方形的面积．
【详解】解：，
，
平方厘米．
答：长方形的面积是平方厘米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比的应用，长方形的面积公式，根据题意列出算式是解题的关键．
14．如下图，将长方形平均分成三个小长方形，再将三个小长方形分别平均分成2份、3份、4份，那么阴影部分面积是长方形面积的（填几分之几）．

【答案】九分之五
【分析】先分别表示出每层阴影部分的小长方形的面积占各层的长方形的面积的比例，然后将它们求和计算即可获得答案．
【详解】解：根据题意，每一行都是长方形面积的，
则有 ，
即阴影部分面积是长方形面积的九分之五．
故答案为：九分之五．
【点睛】本题主要考查了分数四则混合运算的实际应用，理解题意，正确列式求解是解题关键．
15．王老师买钢笔和铅笔共36支，一共用去96元．如果将钢笔和铅笔的支数调换一下，则要246元．已知钢笔和铅笔的单价比为，每支钢笔元．
【答案】
【分析】根据题意列出算式求出一支钢笔和一支铅笔的价格之和，然后根据钢笔和铅笔的单价比为求出结果即可．
【详解】解：
（元），
（元）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了整数混合运算的意义，按比例分配解决问题，解题的关键是根据题意求出一支钢笔和一支铅笔的价格之和．
16．在一张标有比例尺是4∶1的精密零件图纸上，量得零件长是40毫米，这个零件实际长( )毫米．
【答案】10
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离得出实际距离是，进而求解即可．
【详解】解：∵比例尺是4∶1的精密零件图纸上，量得零件长是40毫米
∴实际距离是毫米．
故答案为：10．
【点睛】此题考查了比例尺，解题的关键是熟练掌握比例尺＝图上距离：实际距离．
17．在比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4厘米，上海到杭州的实际距离是千米．
【答案】170
【分析】依据实际距离＝图上距离÷比例尺，直接列式解答即可．
【详解】解：（厘米），
17000000厘米千米．
故答案为：170．
【点睛】本题主要考查了比例尺的应用，熟练掌握图上距离、实际距离和比例尺的关系是解答的关键．
18．下午点，测量得出小明的影子长，小明的身高是．同一时间，同一地点测得一棵树的影子长是．这棵树高多少米？（用比例解）
【答案】这棵树高米
【分析】设这棵树高米，根据题意列出比例式，解比例，即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：．
答：这棵树高米．
【点睛】本题考查了比例的应用，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
19．红、黄、蓝三个小队共植树100棵．红队植了总数的，黄队与蓝队植树的棵树比是，蓝队植树多少棵？
【答案】36棵
【分析】先计算红队植的树，再计算黄队与蓝队植树的总棵树，再根据所植的树的比进行计算即可．
【详解】（棵）
（棵）
（棵）
答：蓝队植树36棵．
【点睛】本题考查比的应用，题目较为基础，掌握比的意义是解题的关键．
20．在比例尺是的地图上量的甲乙两地相距．客车和货车同时从甲乙两地相对开出，货车每小时行75千米，客车每小时行70千米，两车几小时后相遇？
【答案】两车4小时后相遇．
【分析】先依据“实际距离=图上距离÷比例尺”求出两地的实际距离，再据“路程÷速度和=相遇时间”求出客车和货车的相遇时间．
【详解】解：（厘米）
厘米千米
（小时）
答：两车4小时后相遇．
【点睛】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系以及基本的数量关系“路程÷速度和=相遇时间”．
21．如图，把一个等边三角形各边中点连接起来组成第二个等边三角形，再把第二个等边三角形各边中点连接起来组成第三个等边三角形，按照这样的规律，第四个三角形的面积是第一个三角形的面积的几分之几？

【答案】
【分析】依据等底等高的三角形面积相等，组成第二个三角形的面积是总面积的，依此类推即可得出第三个三角形的面积是总面积的，第四个三角形的面积是第一个三角形的面积的，据此解答即可．
【详解】解：由题意可知：组成第二个三角形的面积是总面积的，
依此类推即可得出第三个三角形的面积是总面积的，
第四个三角形的面积是第一个三角形的面积的
即第四个三角形的面积是第一个三角形的面积的．
【点睛】本题考查了比的应用，熟练掌握三角形的面积公式，找到规律是解题的关键．