2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划2　微切口2　三角函数中与ω相关的问题探究

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C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，－\f(1,3)))D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,6)，－\f(2,3)))
【解析】 因为函数f(x)＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω＜0)的最小正周期T＝ eq \f(2π,|ω|)，所以π－ eq \f(π,2)≤ eq \f(1,2)× eq \f(2π,|ω|)，即－2≤ω＜0.当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，ωπ＋ eq \f(π,3)≤ωx＋ eq \f(π,3)≤ eq \f(ωπ,2)＋ eq \f(π,3)，依题意知－π＋2kπ≤ωπ＋ eq \f(π,3)＜ eq \f(π,2)ω＋ eq \f(π,3)≤2kπ，k∈Z，解得－ eq \f(4,3)＋2k≤ω≤－ eq \f(2,3)＋4k，k∈Z.又－2≤ω＜0，所以当k＝0时成立，ω∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3))).
已知f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在给定区间上的单调性，求ω的取值范围：
①根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤ eq \f(1,2)T，求得0＜ω≤ eq \f(π,x2－x1)；②以单调递增为例，利用[ωx1＋φ，ωx2＋φ]⊆ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)，解得ω的范围；③结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω(不含参数)的取值范围．
变式1 (2023·烟台模拟)已知函数f(x)＝|sin ωx|＋|cs ωx|(ω＞0)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))上单调递增，则ω的取值范围是__ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))__.
【解析】 f(x)＝ eq \r(1＋2|sin ωx||cs ωx|)＝ eq \r(1＋|sin 2ωx|)＝ eq \r(1＋\r(\f(1－cs 4ωx,2)))，ω＞0.令2kπ≤4ωx≤(2k＋1)π，k∈Z，得 eq \f(kπ,2ω)≤x≤ eq \f((2k＋1)π,4ω)，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2ω)，\f((2k＋1)π,4ω)))，k∈Z，ω＞0，所以只需 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2ω)≤\f(π,4)，,\f((2k＋1)π,4ω)≥π，))k∈Z，解得2k≤ω≤ eq \f(2k＋1,4)，k∈Z，ω＞0，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2k≤\f(2k＋1,4)，,\f(2k＋1,4)＞0，))解得－ eq \f(1,2)＜k≤ eq \f(1,6).又k∈Z，所以k＝0，所以0＜ω≤ eq \f(1,4)，即ω的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4))).
最值(值域)与ω的取值范围
例2 已知f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)，且函数y＝f(x)恰有两个极大值点在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上，则ω的取值范围是( B )
A．(7，13]B．[7，13)
C．(7，10]D．[7，10)
【解析】 因为0≤x≤ eq \f(π,3)，ω＞0，所以 eq \f(π,6)≤ωx＋ eq \f(π,6)≤ eq \f(ωπ,3)＋ eq \f(π,6).又因为f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上恰有2个极大值点，所以由正弦函数图象可知， eq \f(5π,2)≤ eq \f(ωπ,3)＋ eq \f(π,6)＜ eq \f(9π,2)，解得7≤ω＜13.
极值、最值与“ω ”结合的问题，可以画出简图，利用三角函数的最值或周期，列出关于ω的不等式，通过解不等式求参数的最值或范围．
变式2 已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的图象过点(0，1)，且在区间(π，2π)内不存在最值，则ω的取值范围是( D )
A． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,6)))B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(7,12)))
C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,6)))∪ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(7,12)))D． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,6)))∪ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))
【解析】 因为函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图象过点(0，1)，所以f(0)＝2sin φ＝1，即sin φ＝ eq \f(1,2).又0＜φ＜ eq \f(π,2)，所以φ＝ eq \f(π,6)，所以f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6))).令ωx＋ eq \f(π,6)＝ eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，即x＝ eq \f(π,3ω)＋ eq \f(kπ,ω)，k∈Z，所以当x＝ eq \f(π,3ω)＋ eq \f(kπ,ω)，k∈Z时，函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)取最值．因为f(x)在区间(π，2π)内不存在最值，ω＞0，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,3ω)＋\f(kπ,ω)≤π，,\f(π,3ω)＋\f((k＋1)π,ω)≥2π，))k∈Z，解得 eq \f(1,3)＋k≤ω≤ eq \f(2,3)＋ eq \f(k,2)，k∈Z.当k＜－1时，ω不存在；当k＝－1时，－ eq \f(2,3)≤ω≤ eq \f(1,6)，又ω＞0，所以0＜ω≤ eq \f(1,6)；当k＝0时， eq \f(1,3)≤ω≤ eq \f(2,3)，当k＞0时，ω不存在．综上，ω的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,6)))∪ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3))).
零点与ω的取值范围
例3 已知a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(ωx,2)，sin ωx))，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(ωx,2)，\f(1,2)))，ω＞0，若函数f(x)＝a·b－ eq \f(1,2)在区间(π，2π)上没有零点，则ω的取值范围是( D )
A． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8)))B． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,8)))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8)))∪ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,8)，1))D． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8)))∪ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(5,8)))
【解析】 f(x)＝sin2 eq \f(ωx,2)＋ eq \f(1,2)sinωx－ eq \f(1,2)＝ eq \f(1－cs ωx,2)＋ eq \f(1,2)sin ωx－ eq \f(1,2)＝ eq \f(1,2)(sin ωx－cs ωx)＝ eq \f(\r(2),2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,4))).因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则周期T≥2π，即 eq \f(2π,ω)≥2π，ω≤1.当x∈(π，2π)时，ωx－ eq \f(π,4)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωπ－\f(π,4)，2ωπ－\f(π,4))).综上， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ωπ－\f(π,4)≥kπ，,2ωπ－\f(π,4)≤(k＋1)π，))k∈Z，解得k＋ eq \f(1,4)≤ω≤ eq \f(k,2)＋ eq \f(5,8)(k∈Z).因为0＜ω≤1，当k＝0时， eq \f(1,4)≤ω≤ eq \f(5,8)，当k＝－1时，0＜ω≤ eq \f(1,8).综上，ω∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8)))∪ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(5,8))).
已知零点个数求ω的取值范围：对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关；若在区间上至多含有k个零点，需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值．
变式3 (2023·辽宁联考)设函数f(x)＝sin (ωx＋φ)－ eq \f(1,2)(ω＞0)，若对于任意实数φ，函数f(x)在区间[0，2π]上至少有3个零点，至多有4个零点，则ω的取值范围是( C )
A． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(4,3)))B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(5,3)))
C． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，2))D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7,3)))
【解析】 因为φ为任意实数，所以函数f(x)的图象可以任意平移，从而研究函数f(x)在区间[0，2π]上的零点问题，即研究函数y＝sin ωx－ eq \f(1,2)在任意一个长度为2π－0＝2π的区间上的零点问题．令y＝sin ωx－ eq \f(1,2)＝0，得sin ωx＝ eq \f(1,2)，则它在y轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为 eq \f(π,6ω)， eq \f(5π,6ω)， eq \f(13π,6ω)， eq \f(17π,6ω)， eq \f(25π,6ω)，…，则它们相邻两个零点之间的距离分别为 eq \f(2π,3ω)， eq \f(4π,3ω)， eq \f(2π,3ω)， eq \f(4π,3ω)，…，故相邻四个零点之间的最大距离为 eq \f(10π,3ω)，相邻五个零点之间的距离为 eq \f(4π,ω)，所以要使函数f(x)在区间[0，2π]上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于2π，相邻五个零点之间的距离大于2π，即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(10π,3ω)≤2π，,\f(4π,ω)＞2π，))解得 eq \f(5,3)≤ω＜2.