2024宁波高一上学期期末考试数学含答案

这是一份2024宁波高一上学期期末考试数学含答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间 120 分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.集合U={x∈N|1 < x < 6} ， A={3, 4,5} ，则U A = ( )
A. {2} B. {1,2} C. {2,6} D. {1,2,6}
2.设p :为锐角， q :为第一象限角，则p 是q 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.下列说法中正确的是( )
1 1
A.若a b ，则 < B.若a b ，则 a2 b2
a b
a +1 a
C.若b a 0 ，则 D.若a b ，c d ，则a − c b− d
b+1 b
4. = ( )
sinɑ
1− cs ɑ
A. B. C. D.
5.已知实数a, b满足2a + a = lg2 b+ b = 2 ，则 ( )
A.1 < b < a B.a < 1 < b C.b < 1 < a D.1 < a < b
6.定义在R上的函数f (x +1) 的图象关于点(0, 2) 对称，则下列式子一定成立的是( )
A.f (−2) + f (0) = 4 B.f (−1) + f (1) = \l "bkmark1" 4
C.f (0) + f (2) = 4 D.f (1) + f (3) = \l "bkmark2" 4
7.已知函数f (x) = x−1 − + x −1 + ，则 f (x) 的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知函数f (x) = (ω > 0) ，若 f (x) 在区间 内没有零点， 则当ω取 最大值时，f () = ( )
A. 一 B. 0 C. D.1
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9.我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用 card(A) 来表示有限集合 A中元素的个数.
已知集合P = {x ∈Z| x2 < 4} ，集合 Q = {x∈Z| < 2x < 4} ，则( )
A.card(P) = card(Q) B.card(P∩Q) = 3
C.card(P∪ Q) = 6 D.card(P∪ Q) = card(P) + card(Q)
10.已知f (x) 是定义在R上且不恒为 0 的函数， 则下列选项正确的是( )
A.f (x) -f (-x) 为奇函数
B.若f (x) 是奇函数， 则y =| f (x) | 为偶函数
C.若y =| f (x) | 为偶函数，则f (x) 是奇函数
D.若f (x) 为偶函数， 则f [f (x)]为偶函数
11.已知ɑ, β 为锐角，则下列选项正确的是( )
A.若ɑ+ β=，则sinɑ= cs β B.若ɑ+ β> ，则sinɑ> cs β
C.若ɑ+ β = ，则tanɑtan β = 1 D.若ɑ+ β > ，则tanɑtan β < 1
12.已知a, b, c 均为正实数，则下列选项正确的是( )
A.若 + 3b = 2 ，则 ≥ B.若a(a + b+ c) + bc = 1，则 2a+ b+ c ≥ 2
C.若 2 + 3b = 2 ，则 a + 2 ≥2 D.若2a+ b+ c = 2 ，则 a(a + b+ c) + bc ≥ 1
a a +1 3b
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知角 的终边过点P(−3, 4) ，则 cs = ▲ .
14.已知f (x) 是定义在区间(−4, 4) 的奇函数，f (x) 的部分
图象如图所示， 则关于x的不等式f (x) < 0 的解集是 ▲ .
y
-4 -2
x
O
第 14 题图
15.经科学家研究， 地震时释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关
系为lgE = 4.8 +1.5M . 2011 年， 某海域发生里氏 9.0 级地震， 它所释放出来的能量
是 2008 年 5 月 12 日我国汶川发生里氏 8.0 级地震的 ▲ 倍.
( x2 + 2, 0 < x < 2,
16.已知函数 f (x) =〈 若函数h(x) = f (x) − ax 有两个不同的零点 x1 , x2 ，
L 2x2 − x, x > 2,
且1 < x2 − x1 < 2 ，则实数a 的取值范围是 ▲ .
四、 解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10 分）已知集合A = {x| x2 − 6x + 8 > 0} ，B = {x| m− 3 < x < m+1} .
（1）当m = 2 时，求A∩B；
（2）问题：已知 ，求实数m 的取值范围.
在① A( RB) = R ，② A B = A ，③ B( RA) =⑦ 这三个条件中任选一个，补 充在上面的问题中，并进行解答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（12 分）如图， 某地一天从 2~18 时的温度变化
曲线近似满足函数,其中
A > 0,> 0, −π < < 0 .
（1）求出这段曲线的函数解析式；
（2）人体感到舒适的温度通常在 20~24。C ，
求这段时间内人体感到舒适的时间长度.
y/°C
23
11
2
O
8
14 18 x/h
第 18 题图
19.（12 分） 已知函数f (x) = ln ， g(x) = 4x − 2x .
（1）判断函数f (x) 的奇偶性并证明；
（2）若实数a, b 满足f (a) + f (b) = 0 ，求 g(a) + g(b) 的取值范围.
20．（12 分） 已知函数f (x) = sin 2x− sin(2x+) .
（1）求函数f (x) 的单调递减区间；
（2）若将函数f (x) 的图象先向左平移个单位长度， 再将所得函数图象上各点的
横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得到函数g(x) 的图象.
(ⅰ) 求函数g(x) 的解析式；
(ⅱ)若 g(x0 ) =
，其中 x0 ∈(0,) ，求sin x0 的值.
21.（12 分） 如图， 正方形 ABCD的边长为1 ，P, Q 分别为
边BC, CD 上的点（不含端点），且满足 PAQ = ，
设PB = x ，DQ = y .
（1）求证：x+ y = 1− xy ；
（2）求线段PQ 长度的最小值.
D Q C
P
A B
第 21 题图
22．（12 分） 已知函数f (x) =| x2 + ax +1| ， a∈R .
（1）若函数f (x) 的最小值为0 ，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得关于x的方程f (x) = x 和f[f (x)] = f (x) 均有两个不相
等的实数根？若存在，求出a的值；若不存在， 说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1 ．A 2 ．A 3 ．C 4 ．D
5 ．B 6 ．C 7 ．B 8 ．C
二、选择题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。
全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9 ．AB 10 ．ABD 11 ．ABC 12 ．BC
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13 . − 14 ．(−4, −2) (0, 2) 15．10 16 ．3 < a <
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）由条件得， A = {x| x < 2 ，或 x 之 4} ，
当m = 2 时， B = {x | −1 < x < 3} ，此时A B = {x | −1 < x < 2} . ……5 分
（2）条件① , ② , ③均可以得到B 坚 A ，
此时， 令m+1 < 2 ，或 m− 3 之 4 ，
解得m < 1，或 m 之 7 . ……10 分
18.（1）由图可知， A = = 6 ，
b = = 17 ，
因为T = 2(14 − 2) = 24 ，所以 = 24 ，负 = .
因为6sin( . 2 +Q) +17 = 11 ， sin(+Q) = − 1 ，所以Q = − + 2kπ , k EZ , 又因为−π π 2π
综上， 这段曲线的函数解析式为y = 6sin( x − ) +17 ，2 < x < 18 . ……6 分 12 3
( π 2π
|6sin( 12 x − 3 ) +17 < 24, ①
（2）令〈
6sin(x − ) +17 之 20, ②
① 式显然成立，
由 ② 得，2kπ +π < π x − 2π< 2kπ + 5π , k EZ ，
6 12 3 6
解得，24k +10 < x < 24k +18 ，k EZ ，
又因为2 < x < 18 ，所以取k = 0 ，得10 < x < 18 ，
综上， 这段时间人体感到舒适的时间长度为8 小时.
19．（1）因为
1− x 1+ x
> 0 ，解得， −1< x <1，
所以函数f (x) 的定义域为(−1,1) ，
任取 −1< x <1，则 f (−x) = ln = −ln = −f (x) ，
所以函数f (x) 为奇函数.
（2）由题意， ln + ln = 0 ，得 . = 1，解得a+ b = 0 ，
所以g(a) + g(b) = 4a − 2a + 4−a − 2−a = (2a + 2−a)2 −（2a + 2−a）− 2 ，
令t = 2a + 2−a ，由a E (−1,1) 得，t E [2, ) ，
于是，g(a) + g(b) = t 2 − t − 2 ，t E [2, ) ，
2 1 2 9 7
因此， g(a) + g(b) = t − t − 2 = (t − ) − E [0, ) .
2 4 4
20．（1）f (x) = sin 2x − ( sin 2x + cs 2x)
1
2 2
1
= sin 2x − cs 2x 2 2
= sin（2x − ）
π π 3π
令 + 2kπ < 2x− < + 2kπ, k EZ ，
2 3 2
5π 11π
得递减区间为[ + kπ, + kπ], k EZ .
12 12
（2）(ⅰ) 由题意， g(x) = sin(x− )
(ⅱ)由 g(x0 ) = 得，sin(x0 − ) = ，
因为x0 E (0, π) ，则 x0 − π E (− π , π) ，所以cs(x0 − π) = 4 ，
2 6 6 3 6 5
π π
所以sin x0 = sin(x0 − + )
6 6
= sin(x0 − ) . cs + cs(x0 − ) .sin
π π π π
6 6 6 6
= . + . = ,
3 4 1 3 + 4
5 2 5 2 10
即sin x0 = .
……12 分
……5 分
……12 分
……5 分
……7 分
……12 分
π
21.（1）由经PAQ =
, 4
经DAB = ，得经BAP + 经DAQ = ,
又因为tan 经BAP = x ，tan 经DAQ = y ，
所以tan(经BAP+ 经DAQ) = x+ y = tan π = 1，
1− xy 4
即x+ y = 1− xy .
（2）在PQC 中， PQ2 = PC2 + QC2 = (1− x)2 + (1− y)2
2 2
= x + y − 2(x + y) + 2
2
= (x + y) − 2(x + y) − 2xy + 2 .
由（1）知， x+ y = 1− xy，即 xy = 1− (x+ y) ，
所以PQ2 = (x + y)2 − 2(x + y) − 2[1− (x+ y)]+ 2 = (x+ y)2 ，
故PQ = x + y .
又因为xy < ()2 ，所以1− (x+ y) < ()2 ，
解得x+ y 之 2 − 2 ，当 x = y = −1等号成立，
所以PQ的最小值为2 − 2 .
……5 分
……12 分
22.（1）函数f (x) 的最小值为0 等价于关于x 的方程x2 + ax +1 = 0有解，
所以， Δ = a2 − 4 之 0 ，
解得，a <−2 ，或 a 之 2 ，
即实数a 的取值范围为(−伪, −2] [2, +伪) ；
（2）令| x2 + ax+1|= x ，所以x > 0 ,
1
x > 0
,
此时， 可得x2 + ax+1 = 土x，即 −a 土1 = x+
x
……4 分
,
因为f (x) = x 有两个不相等的实数根，且 −a+1 > −a−1，
所以 −a +1 > 2 ，且 −a −1 < 2 ，解得， −3 < a < −1，
因此， 关于x 的方程f[f (x)] = f (x) 有两个不相等的实数根，只要考虑 −3 < a < −1即可.
令t = f (x) ，先解关于t 的方程f (t) = t ，
当-3 < a < -2时， ∫ (t) = t 有两个不相等的正实数根t1 、t2 ，
此时 ∫ (x)min = 0 ，于是∫ (x) = t1 ， ∫ (x) = t2 都至少有两个不相等的实数根，
即 ∫ [∫ (x)] = ∫ (x) 至少有四个不相等的实数根，不符合题意；
当-2 < a < -1时， ∫ (t) = t 有两个不相等的正实数根t1 、t2 ，不妨设t1 < t2 ，
要使 ∫ [∫ (x)] = ∫ (x) 有两个不相等的实数根，
当且仅当〈(t1 < ∫ (x)min ,
lt2 > ∫ (x)min .
而t1 = ∫ (t1 ) > ∫ (x)min ，
即t1 < ∫ (x)min 不成立，