2024南京师大附中高一上学期1月期末考试数学含解析

这是一份2024南京师大附中高一上学期1月期末考试数学含解析，共23页。试卷主要包含了本试卷共4页，包括单项选择题， 若，则， 若函数满足， 已知函数满足，则等内容，欢迎下载使用。

班级：__________学号：__________姓名：__________得分：__________
注意事项：
1.本试卷共4页，包括单项选择题：（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.
2.答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的相应区域内.试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区域内.考试结束后，交回答题纸.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知角的终边过点，其中，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 设点是正三角形的中心，则向量，，是（ ）
A. 共起点的向量B. 模相等的向量C. 共线向量D. 相等向量
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是定义在上的偶函数，对任意，且，都有，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
6. 设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知定义在上的函数满足，当时，.若对任意，都有，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知常数，函数在区间上单调，则不可能等于（ ）
A. B. 2C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若函数满足：①对定义域内的任意，，都有；②当时，，则称为“函数”.下列函数是“函数”的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数满足，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递增D. 在区间上有两个零点
11. 已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，.下列命题正确的是（ ）
A. B. 是周期为2的周期函数
C. 直线与图象有且仅有2个交点D. 的值域为
12. 设，都是定义域为区间的函数，若存在，使得对任意，，都有成立，则称在上相对于满足条件.下列命题正确的是（ ）
A. 若，，在区间上相对于满足条件，则的最小值为
B. 若，，则在区间上相对于满足条件
C. 设为实数，若，，在区间上相对于满足条件，则的最大值为
D. 若，，在上相对于满足条件，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. __________.
14. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇诗句.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”.若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为__________.
15. 若a，b，c均为正数，且，则的最小值是_________.
16. 设为实数，若实数是关于的方程的解，则_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18. 已知函数（，，）部分图象如图所示.若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则所得图象为函数的图象.
（1）求的解析式；
（2）当时，求的单调递减区间.
19 已知函数，函数.
（1）求不等式的解集；
（2）如果对于任意，都存在，使得，求实数的取值范围.
20. 中国政府在第七十五届联合国大会上提出.“中国将努力争取在2060年前实现碳中和.”随后，国务院印发了《关于加快建立健全绿色低碳循环发展经济体系的指导意见》.某企业去年消耗电费50万元，预计今年若不作任何改变，则今年消耗电费与去年相同.为了响应号召，节能减排，该企业决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为0.6.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装太阳能供电设备后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（，k为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）.
（1）求常数，并写出关于的函数关系式；
（2）当太阳能电池板的面积为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？
21. 已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）若函数的最小值为，求实数的值.
22. 设为常数，函数.
（1）当时，求的值域；
（2）讨论在区间上的零点的个数；
（3）设为正整数，在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数的值.
南京师大附中2023—2024学年度第1学期
高一年级期末考试数学试卷
班级：__________学号：__________姓名：__________得分：__________
注意事项：
1.本试卷共4页，包括单项选择题：（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.
2.答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的相应区域内.试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区域内.考试结束后，交回答题纸.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由交集的定义直接求解.
【详解】集合，集合，则.
故选：D
2. 已知角的终边过点，其中，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函数的定义直接求解.
【详解】角的终边过点，其中，则点到原点的距离，
所以.
故选：C
3. 设点是正三角形的中心，则向量，，是（ ）
A. 共起点的向量B. 模相等的向量C. 共线向量D. 相等向量
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量的相关概念判断.
【详解】因为点是正三角形的中心，
所以，，是模相等的向量；
向量只有大小与方向两个要素，没有起点之说；
这三个向量方向不同，不是共线向量；
这三个向量方向不同，不是相等向量.
故选：B
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数的诱导公式求解.
【详解】解：因为，
所以，
故选：A
5. 已知是定义在上的偶函数，对任意，且，都有，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断出函数在上的单调性以及函数值正负情况，结合奇偶性，可判断函数在上的单调性，以及函数值的正负情况，由此可得不等式的解集.
【详解】由题意知对任意，且，都有，，
则在上单调递减，且当时，；当时，；
又是定义在上的偶函数，则在上单调递增，，
且当时，；当时，；
不妨画出图象示意图如图：
则不等式的解集是，
故选：A
6. 设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分类讨论解不等式，判断不可能的解集.
【详解】关于的不等式，
若，不等式为，解得，此时解集为；
若，方程，解得或，
时，不等式解得或，此时解集为；
时，，不等式解得，此时解集为；
时，，不等式解集为，
时，，不等式解得，此时解集为；
所以不等式的解集不可能是.
故选：B
7. 已知定义在上的函数满足，当时，.若对任意，都有，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知利用正弦函数图象与性质、函数的周期性，结合函数图象进行求解即可.
【详解】当时，，
且定义在上的函数满足，
所以函数的大致图象为
因为，，
所以，，
所以由，可得，
当时，由的，
所以对任意，都有，
得实数的取值范围为，则实数的最大值为.
故选：B.
8. 已知常数，函数在区间上单调，则不可能等于（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦函数的单调性，由的单调区间得的取值范围，验证各选项中的值.
【详解】常数，当，有，
正弦函数的单调区间为，
函数在区间上单调，
则有，解得，
时，，满足；
时，，满足；
时，，满足；
不等式，解得，因为，则无解，
则时，函数在区间不单调；
故选：C
【点睛】方法点睛：
依题意有，区间包含于正弦函数的单调区间，可求出的取值范围.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若函数满足：①对定义域内的任意，，都有；②当时，，则称为“函数”.下列函数是“函数”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据“函数”的定义，逐项验证即可求解.
【详解】对A：由，对定义域内的任意，，不满足条件①，故A错误；
对B：由，对定义域内的任意，，，满足条件①，
当时，因在其定义域上是增函数，所以，满足条件②，故B正确.
对C：由，对定义域内的任意，，，
不满足条件①，故C错误；
对D：由，对定义域内的任意，，，满足条件①，
当时，因在其定义域上是增函数，所以，满足条件②，故D正确.
故选：BD.
10. 已知函数满足，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递增D. 在区间上有两个零点
【答案】BD
【解析】
【分析】根据满足，得到的图象关于对称，从而求得，然后逐项判断.
【详解】解：因为函数满足，
所以的图象关于对称，
所以，则，即，
因为，则，所以，
则，故A错误；
，故B正确；
由，得，因为在上不单调，故C错误；
由，得，易知在上有两个零点，故D正确.
故选：BD
11. 已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，.下列命题正确的是（ ）
A. B. 是周期为2的周期函数
C. 直线与的图象有且仅有2个交点D. 的值域为
【答案】AD
【解析】
【分析】由已知判断出时，函数的周期，结合当时的解析式，即可作出时图象，结合奇偶性，可得整个定义域上图象，由此利用周期性以及奇偶性求值，判断A；结合图象，数形结合，可判断B，C，D.
【详解】由题意知当时，有，则，
即时，2为的周期，由，得，
当时，，则，
结合为定义在上的偶函数，可作出的图象如图：
对于A，,
,
故，A正确；
对于B，由以上分析可知时，2为的周期，
结合图象，在整个定义域上不是周期函数，B错误；
对于C，在同一坐标系再作出的图象，
可知直线与的图象有且仅有1个交点，C错误；
对于D，结合图象可知的值域为，D正确，
故选：AD
12. 设，都是定义域为区间的函数，若存在，使得对任意，，都有成立，则称在上相对于满足条件.下列命题正确的是（ ）
A. 若，，在区间上相对于满足条件，则的最小值为
B. 若，，则在区间上相对于满足条件
C. 设为实数，若，，在区间上相对于满足条件，则的最大值为
D. 若，，在上相对于满足条件，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用参变分离法求函数最值可判断AC，举反例即可说明B，由题可得为增函数，利用复合函数单调性判断D．
【详解】对于A，由题知,,均有成立，
当时显然成立，
不妨设，则，即，
又，，
，，
所以，故A正确；
令，，，而，，此时，故不符合要求，B错误，
对于C，由题知,，均有成立，
当时显然成立，
当时，
即，故
则恒成立，
又，,所以，
，
即，所以的最大值为，故C正确；
对于D，由题可得在非空数集上恒成立，
当时显然成立，
不妨设，则，
成立，
令，则函数非空数集上单调递增，
，
当,时，， 单调递增，在单调递减，
所以单调递减，所以在,上单调递减，故D错误．
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. __________.
【答案】
【解析】
【分析】利用对数和指数运算求解.
【详解】解：，
故答案为：
14. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”.若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意结合圆的面积公式，列式求解，即得答案.
【详解】由题意知，即,
即，解得（）,
故答案为：
15. 若a，b，c均为正数，且，则的最小值是_________.
【答案】##
【解析】
【分析】由推出，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知a，b，c均为正数，且，
故，
则
，
当且仅当，结合，即时等号成立，
故的最小值是，
故答案为：
16. 设为实数，若实数是关于的方程的解，则_________.
【答案】##
【解析】
【分析】将已知等式变为，构造函数，结合其单调性推出，即得，由此可化简求值，即得答案.
【详解】由题意知，得，
即，
设，则在上单调递增，
则由可得，
而实数是关于的方程的解，即，
故，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是能够变形得到，从而结合的单调性推出，即，即可求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解；
（2）由，得到，分， ， ，讨论集合A求解.
【小问1详解】
当时，集合 ,
，
，
所以；
【小问2详解】
因为，
所以，
当时，，
则，解得，此时；
当时，，符合题意；
当时，，
则，解得，此时无解；
综上：实数的取值范围是.
18. 已知函数（，，）的部分图象如图所示.若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则所得图象为函数的图象.
（1）求解析式；
（2）当时，求的单调递减区间.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数图象可确定A，根据最小正周期求出，利用特殊点坐标求出，即可得的解析式；
（2）根据三角函数的平移变换可得的解析式，求出其单调递减区间，和求交集，即得答案.
【小问1详解】
由图象可知，函数最小正周期，
由，得，则,
则，结合，可得，
故；
【小问2详解】
由题意可得，
令，解得，
当时，的单调递减区间为，k取其它值时与区间无交集，
故当时，的单调递减区间为.
19. 已知函数，函数.
（1）求不等式的解集；
（2）如果对于任意，都存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数单调性解不等式；
（2）分别求出在上和在上的值域，利用包含关系求实数的取值范围.
【小问1详解】
函数，定义域R，，
函数为奇函数，
时，，则上单调递增，所以在R上单调递增，
不等式，即，得，解得，
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
函数在上单调递减，在上单调递增，
，，，则时；
在上单调递增，当时，，
依题意有：，解得.
所以实数的取值范围为.
20. 中国政府在第七十五届联合国大会上提出.“中国将努力争取在2060年前实现碳中和.”随后，国务院印发了《关于加快建立健全绿色低碳循环发展经济体系的指导意见》.某企业去年消耗电费50万元，预计今年若不作任何改变，则今年消耗电费与去年相同.为了响应号召，节能减排，该企业决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为0.6.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装太阳能供电设备后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（，k为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）.
（1）求常数，并写出关于的函数关系式；
（2）当太阳能电池板的面积为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？
【答案】20. 3000；
21. 94平方米；116.4万元
【解析】
【分析】（1）根据，即可求得k的值；结合题意即可求得关于的函数关系式；
（2）将关于的函数关系式整理变形为，利用基本不等式即可求得答案.
【小问1详解】
由题意知，解得；
则；
【小问2详解】
由于，故（万元），
当且仅当，即（）时，取得等号，
即当太阳能电池板的面积为94平方米时，取得最小值，最小值是万元.
21. 已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）若函数的最小值为，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用，即可得出结果；
（2）根据（1）得到，通过换元，从而将问题转化成二次函数的最小值为，再利用二次函数的性质即可求出结果.
【小问1详解】
因为，易知定义域为，又是偶函数，
由，得到恒成立，
整理得到，又，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，
令，因为，所以，当且仅当，即时取等号，
故，对称轴，
当，即时，，得到，
当，即时，，得到（舍去），
故.
22. 设为常数，函数.
（1）当时，求的值域；
（2）讨论在区间上的零点的个数；
（3）设为正整数，在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数的值.
【答案】22. 23. 答案见解析 24. 答案见解析
【解析】
【分析】（1）对函数化简得，然后利用换元法，，从而求解；
（2）根据（1）中换元后得，且，然后分类讨论的情况，从而求解；
（3）由（1）（2）知有两个零点，然后分类讨论的情况，根据有零点个，从而求解出的值.
小问1详解】
由题意，令，，
所以，，所以，，，
当时，，对称轴，所以，，
，所以，
故的值域为.
【小问2详解】
由（1）知，记的两零点为，，
当，即时，则，无零点；
当，即时，则，有个零点；
当，即时，则，有个零点；
【小问3详解】
由（1）（2）知，有两个零点，，
当，即时，得，在（为正整数），内零点个数为，
在内零点个数为，因为，所以；
当，即时，，在（为正整数）内零点个数为，
在内零点个数为，此时不存在；
当时，则，，在和（为正整数）内零点个数均为，
因为，所以或；
当时，则，，在（为正整数）内零点个数均为，
所以；
当，则，，在和（为正整数）内零点个数均为，
所以或；
综上的所有可能值为，，，，.
【点睛】方法点睛：（2），（3）利用换元法后得且得存在两个零点，通过对的分类讨论确定每种情况下两零点的取值，然后由来确定在上的可能的值.